?第2講　磁場對運(yùn)動電荷的作用



知識點(diǎn)　洛倫茲力、洛倫茲力的方向　Ⅰ
洛倫茲力公式?、?br /> 1.洛倫茲力的定義：運(yùn)動電荷在磁場中受到的力稱為洛倫茲力。
2．洛倫茲力的方向
(1)用左手定則判定：伸開左手，使拇指與其余四個(gè)手指垂直，并且都與手掌在同一個(gè)平面內(nèi)；讓磁感線從掌心垂直進(jìn)入，并使四指指向正電荷運(yùn)動的方向，這時(shí)拇指所指的方向就是運(yùn)動的正電荷在磁場中所受洛倫茲力的方向。
(2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v，即F垂直于B和v所決定的平面(注意B和v可以有任意夾角)。
由于F始終垂直于v的方向，故洛倫茲力永不做功。
3．洛倫茲力的大?。篎＝qvBsinθ，其中θ為電荷運(yùn)動方向與磁場方向之間的夾角。
(1)當(dāng)電荷運(yùn)動方向與磁場方向垂直時(shí)，F(xiàn)＝qvB。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向與磁場方向平行時(shí)，F(xiàn)＝0。
(3)當(dāng)電荷在磁場中靜止時(shí)，F(xiàn)＝0。
知識點(diǎn)　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動?、?br /> 1．兩種特殊運(yùn)動
(1)若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動。
(2)若v⊥B，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動。
2．基本公式
向心力公式：qvB＝m＝m2r。
3．導(dǎo)出公式
(1)軌道半徑：r＝。
(2)周期：T＝＝。
注意：T、f和ω的大小與軌道半徑r和運(yùn)行速率v無關(guān)，只與磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和粒子的比荷有關(guān)。比荷相同的帶電粒子，在同樣的勻強(qiáng)磁場中T、f、ω相同。

一 堵點(diǎn)疏通
1．帶電粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)，一定會受到磁場力的作用。(　　)
2．洛倫茲力的方向垂直于B和v決定的平面，洛倫茲力對帶電粒子永遠(yuǎn)不做功。(　　)
3．根據(jù)公式T＝，可知帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動周期T與v成反比。(　　)
4．用左手定則判斷洛倫茲力方向時(shí)，四指指向電荷的運(yùn)動方向。(　　)
5．帶電粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)的軌道半徑與粒子的比荷成正比。(　　)
6．當(dāng)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，若v與B夾角為銳角，帶電粒子的軌跡為螺旋線。(　　)
答案　1.×　2.√　3.×　4.×　5.×　6.√
二 對點(diǎn)激活
1．(人教版選擇性必修第二冊·P10·T2改編)下列各圖中，運(yùn)動電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是(　　)

答案　B
解析　由左手定則知A中力F的方向應(yīng)豎直向上，B中力F的方向應(yīng)豎直向下，C、D中速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行，不受洛倫茲力，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤。
2.(人教版選擇性必修第二冊·P11·T3改編)如圖所示，一束質(zhì)量、速度和電荷量不全相等的離子，經(jīng)過由正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場組成的速度選擇器后，進(jìn)入另一個(gè)勻強(qiáng)磁場中并分裂為A、B兩束，下列說法正確的是(　　)

A．組成A束和B束的離子都帶負(fù)電
B．組成A束和B束的離子質(zhì)量一定不同
C．A束離子的比荷大于B束離子的比荷
D．速度選擇器中的磁場方向垂直于紙面向外
答案　C
解析　由左手定則結(jié)合帶電粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的方向知，A、B束離子均帶正電，故A錯(cuò)誤。A、B束離子的速度相同，而A束離子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑較小，由r＝知A束離子的比荷大于B束離子的比荷，而它們的電荷量關(guān)系未知，則無法判斷離子質(zhì)量關(guān)系，故B錯(cuò)誤，C正確。速度選擇器中A、B束離子所受靜電力向右，所以所受洛倫茲力應(yīng)向左，結(jié)合左手定則可判斷磁場方向應(yīng)垂直于紙面向里，故D錯(cuò)誤。



考點(diǎn)1　洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用
1.洛倫茲力的特點(diǎn)
(1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動電荷的速度方向和磁場方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。
(2)當(dāng)電荷運(yùn)動方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。
(3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場中運(yùn)動所受的洛倫茲力的方向時(shí)，要注意使四指指向電荷運(yùn)動的反方向。
2．洛倫茲力與靜電力的比較
對應(yīng)力內(nèi)容項(xiàng)目
洛倫茲力
靜電力
產(chǎn)生條件
v≠0且v不與B平行
電荷處在靜電場中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向與場方向的關(guān)系
一定是F⊥B，F(xiàn)⊥v，且與電荷電性有關(guān)
正電荷受力與電場強(qiáng)度方向相同，負(fù)電荷受力與電場強(qiáng)度方向相反
做功情況
任何情況下都不做功
可能做正功、負(fù)功，也可能不做功
力為零時(shí)場的情況
F為零，B不一定為零
F為零，E一定為零
作用效果
只改變電荷運(yùn)動的速度方向，不改變速度大小
既可以改變電荷運(yùn)動速度的大小，也可以改變電荷運(yùn)動的方向
例1　如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個(gè)光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的勻強(qiáng)磁場與半圓形軌道所在的平面垂直。一個(gè)帶負(fù)電荷的小滑塊由靜止開始從半圓形軌道的最高點(diǎn)M滑下到最右端的過程中，下列說法中正確的是(　　)

A．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度比磁場不存在時(shí)大
B．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度比磁場不存在時(shí)小
C．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力比磁場不存在時(shí)小
D．滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場不存在時(shí)相等
(1)帶負(fù)電的滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小受磁場有無的影響嗎？
提示：因?yàn)槁鍌惼澚Σ蛔龉?，所以有無磁場對滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小無影響。
(2)運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)滑塊所受洛倫茲力方向如何？
提示：豎直向下。
嘗試解答　選D。
由于洛倫茲力不做功，故與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度不變，A錯(cuò)誤；滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度a＝，則與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度不變，B錯(cuò)誤；由左手定則可知，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力向下，而與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)所受的向心力不變，故對軌道的壓力變大，C錯(cuò)誤；由于洛倫茲力方向始終與運(yùn)動方向垂直，在任意一點(diǎn)，滑塊經(jīng)過時(shí)的速度與磁場不存在時(shí)相比均不變，則滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間磁場不存在時(shí)相等，D正確。

洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別
(1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。
(2)安培力可以做功，而洛倫茲力對運(yùn)動電荷不做功。
[變式1]　 (多選)如圖所示，兩個(gè)傾角分別為30°和60°的足夠長光滑絕緣斜面固定于水平地面上，并處于方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，兩個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小滑塊甲和乙分別從兩個(gè)斜面頂端由靜止釋放，運(yùn)動一段時(shí)間后，兩小滑塊都將飛離斜面，在此過程中(　　)

A．甲滑塊飛離斜面瞬間的速度比乙滑塊飛離斜面瞬間的速度大
B．甲滑塊在斜面上運(yùn)動的時(shí)間比乙滑塊在斜面上運(yùn)動的時(shí)間短
C．兩滑塊在斜面上運(yùn)動的位移大小相同
D．兩滑塊在斜面上運(yùn)動的過程中，重力的平均功率相等
答案　AD
解析　小滑塊飛離斜面時(shí)，洛倫茲力與重力垂直斜面的分力平衡，故mgcosθ＝qvmB，解得vm＝，所以斜面傾角越小，飛離斜面瞬間的速度越大，故甲滑塊飛離時(shí)速度較大，故A正確；滑塊在斜面上運(yùn)動的加速度恒定不變，由受力分析和牛頓第二定律可得加速度a＝gsinθ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因?yàn)榧罪w離時(shí)的速度大于乙飛離時(shí)的速度，由vm＝at得，甲在斜面上運(yùn)動的時(shí)間大于乙在斜面上運(yùn)動的時(shí)間，故B錯(cuò)誤；由以上分析和x＝可知，甲在斜面上運(yùn)動的位移大于乙在斜面上運(yùn)動的位移，故C錯(cuò)誤；由平均功率的公式得，滑塊在斜面上運(yùn)動的過程中，重力的平均功率P＝F·sinθ＝mg·sinθ＝，因sin30°＝cos60°，sin60°＝cos30°，故兩滑塊在斜面上運(yùn)動時(shí)重力的平均功率相等，故D正確。
考點(diǎn)2　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動
1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的解題思路
(1)圓心的確定
①基本思路：與速度方向垂直的直線和軌跡圓中弦的中垂線一定過圓心。
②兩種常見情形
情形一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖a所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。

情形二：已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以先通過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖b所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。
(2)半徑的確定和計(jì)算
利用幾何知識求出該圓的可能半徑(或圓心角)，并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)：
①粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。

②相對的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180°。
(3)運(yùn)動時(shí)間的確定
①由偏轉(zhuǎn)角度計(jì)算：粒子在磁場中運(yùn)動一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動的圓弧軌跡所對應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動時(shí)間由下式表示：
t＝T。
②由運(yùn)動弧長計(jì)算：t＝。
2．帶電粒子在不同邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動規(guī)律
有界勻強(qiáng)磁場是指只在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場，帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場，在磁場區(qū)域內(nèi)做一段勻速圓周運(yùn)動，也就是通過一段圓弧軌跡，然后離開磁場區(qū)域。帶電粒子在磁場中運(yùn)動的圓弧軌跡取決于粒子進(jìn)入磁場的速度大小、方向和磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度及磁場的區(qū)域邊界。常見磁場區(qū)域邊界可分為如下幾種情形：
情形一：直線邊界
直線邊界磁場又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、乙、丙所示，粒子進(jìn)出磁場具有對稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒子進(jìn)出磁場存在臨界條件。

解決這類問題的“三部曲”：畫軌跡、找圓心、定半徑。
如果粒子從同一直線邊界射入和射出，那么粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度與邊界的夾角和射出磁場時(shí)速度與邊界的夾角相等。
情形二：矩形邊界
矩形邊界磁場是指分布在矩形范圍內(nèi)的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點(diǎn)射出是常見的臨界情況。

解決該類問題的關(guān)鍵是把握臨界情況，如圖所示。常見的有如下幾種情況：(設(shè)粒子從ad邊中點(diǎn)e垂直射入)
(1)兩個(gè)臨界半徑
①從d點(diǎn)射出：r1＝。
②從c點(diǎn)射出：r＝2＋ab2。
(2)三種情況
①r≤r1，粒子從ed段射出。
②r1r2，粒子從cf段射出(不會到達(dá)f點(diǎn))。
情形三：圓形邊界
圓形邊界磁場是指分布在圓形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問題涉及兩個(gè)圓：粒子運(yùn)動軌跡的圓與磁場區(qū)域的圓，能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力，所以是近年來高考的熱點(diǎn)。
帶電粒子在圓形邊界磁場中運(yùn)動的四個(gè)結(jié)論：
(1)徑向進(jìn)出：當(dāng)粒子運(yùn)動方向與磁場方向垂直時(shí)，沿圓形磁場半徑方向射入的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長線必過磁場圓的圓心，如圖1所示。
(2)等角進(jìn)出：入射速度方向與過入射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角等于出射速度方向與過出射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進(jìn)出是等角進(jìn)出的一種特殊情況(θ＝0°)。
(3)點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁場，當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動的半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于磁場區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處的切線方向射出磁場，如圖3所示。

(4)平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌鲋凶鰣A周運(yùn)動的半徑和圓形磁場區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會從磁場區(qū)域圓周上同一點(diǎn)射出，且磁場區(qū)域圓周上該點(diǎn)的切線與帶電粒子射入磁場時(shí)的速度方向平行，如圖4所示。
情形四：四分之一平面邊界
四分之一平面邊界磁場是指分布在平面直角坐標(biāo)系中某一象限范圍的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標(biāo)軸相切或垂直是常見的臨界情況。
解決該類問題的關(guān)鍵是明確粒子射入(射出)磁場的位置坐標(biāo)，及速度方向與坐標(biāo)軸的夾角關(guān)系，然后分析粒子做圓周運(yùn)動的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P(guān)系求解問題。
情形五：三角形邊界
三角形邊界磁場是指分布在三角形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，粒子的軌跡也是一段圓弧，由于三角形有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會有不同的臨界情景。
解答該類問題主要把握以下兩點(diǎn)：
(1)射入磁場的方式
①從某頂點(diǎn)射入。
②從某條邊上某點(diǎn)(如中點(diǎn))垂直(或成某一角度)射入。
(2)射出點(diǎn)的判斷
其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進(jìn)而判定出射點(diǎn)的可能位置。
例2　(2020·遼寧省錦州市一模)如圖所示，在豎直線EOF右側(cè)足夠大的區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。質(zhì)量相同、電荷量分別為＋q和－q的帶電粒子，從O點(diǎn)以相同的速度先后射入磁場，已知v的方向與OF成θ＝30°角，兩帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用，則下列說法中不正確的是(　　)

A．兩帶電粒子回到EOF豎直線時(shí)與O點(diǎn)的距離相等
B．兩帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間相等
C．兩帶電粒子回到EOF豎直線時(shí)的速度相同
D．從射入磁場到射出磁場的過程中，兩粒子所受洛倫茲力的沖量相同
(1)如何判斷正、負(fù)粒子回到EOF豎直線時(shí)的速度是否相同？
提示：畫出兩個(gè)粒子的運(yùn)動軌跡，粒子以與直線邊界多大角度射入，就以多大角度射出。
(2)洛倫茲力屬于變力，如何求它的沖量？
提示：依據(jù)動量定理求。
嘗試解答　選B。
兩帶電粒子以與OF成θ＝30°角的速度v射入有界勻強(qiáng)磁場后，由左手定則可判斷，正粒子沿逆時(shí)針方向運(yùn)動，負(fù)粒子沿順時(shí)針方向運(yùn)動，它們的軌跡如圖所示，因正、負(fù)粒子所帶電荷量的絕對值和質(zhì)量都相同，由qvB＝m可知，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑相同，由幾何關(guān)系知，負(fù)粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度為2θ，正粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度φ＝2π－2θ，則兩段圓弧所對應(yīng)的弦長度相等，即帶電粒子回到EOF豎直線時(shí)與O點(diǎn)的距離相等，A正確；帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期T＝＝，則正、負(fù)粒子的周期相同，但是軌跡圓弧所對的圓心角不同，因此兩帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間不相等，B錯(cuò)誤；因洛倫茲力不改變速度的大小，結(jié)合幾何關(guān)系分析知，兩帶電粒子回到EOF豎直線時(shí)的速度相同，C正確；兩帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用，由動量定理得I洛＝p－p0，由于兩帶電粒子以相同的初速度射入磁場，初動量p0相等，離開磁場時(shí)速度大小相等、方向相同，末動量p相等，因此兩帶電粒子所受洛倫茲力的沖量相同，D正確。本題選說法不正確的，故選B。


1.帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的分析方法

2．作帶電粒子運(yùn)動軌跡時(shí)需注意的問題
(1)四個(gè)點(diǎn)：分別是入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直線的交點(diǎn)。
(2)六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌道半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。前面四條線構(gòu)成一個(gè)四邊形，后面兩條線為這個(gè)四邊形的對角線。
(3)三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角，其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于弦切角的兩倍。
[變式2]　(2020·河北省衡水中學(xué)4月教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)(多選)如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，MN是一豎直放置的感光板。從圓形磁場最高點(diǎn)P垂直磁場正對著圓心O射入帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質(zhì)量為m，不考慮粒子重力，關(guān)于粒子的運(yùn)動，以下說法正確的是(　　)

A．粒子在磁場中通過的弧長越長，運(yùn)動時(shí)間也越長
B．出磁場的粒子其出射方向的反向延長線也一定過圓心O
C．出磁場的粒子一定能垂直打在MN上
D．只要速度滿足v＝，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
答案　BD
解析　由r＝，tan＝，知粒子在磁場中通過的弧長s＝θr＝arctan，運(yùn)動的時(shí)間t＝＝·arctan，則v越大，s不一定越大，但時(shí)間越短，故A錯(cuò)誤；帶電粒子的運(yùn)動軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識可知，對著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長線也一定過圓心，故B正確；速度不同，粒子的軌道半徑不同，則對著圓心入射的粒子，沿不同的半徑方向射出磁場，即出射后不一定垂直打在MN上，故C錯(cuò)誤；速度滿足v＝時(shí)，粒子的軌道半徑為r＝＝R，入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、O點(diǎn)與軌跡的圓心構(gòu)成正方形，粒子出射后一定垂直打在MN板上，故D正確。
考點(diǎn)3　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的多解問題
1.帶電粒子電性不確定形成多解
受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡不同，形成多解。
如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b。

2．磁場方向不確定形成多解
有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定形成多解。
如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。
3．速度不確定形成多解
有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。常有兩種情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。
如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180°反向飛出，于是形成了多解。

4．運(yùn)動的周期性形成多解
帶電粒子在電場和磁場的組合場空間運(yùn)動時(shí)，若運(yùn)動具有周期性，則存在多解。如圖丁所示。
例3　(2020·河北省石家莊市二模)如圖所示，邊長為L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場，三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向外，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度v0為哪一值時(shí)粒子能通過B點(diǎn)(　　)

A. B.
C. D.
(1)粒子要想通過B點(diǎn)，必須偏轉(zhuǎn)一次過B點(diǎn)嗎？
提示：不是，有多解。
(2)如何確定軌道半徑？
提示：依據(jù)直線邊界磁場的結(jié)論畫出粒子可能的軌跡，得到r＝(n＝1,2,3，…)。
嘗試解答　選D。
粒子帶正電，且經(jīng)過B點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示。

所有圓弧所對圓心角均為60°，所以粒子運(yùn)動半徑r＝(n＝1,2,3，…)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB＝，解得v0＝＝(n＝1,2,3，…)，由此可知，A、B、C錯(cuò)誤，D正確。

求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動多解問題的技巧
(1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解性形成的原因。
(2)作出粒子運(yùn)動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。
(3)若為周期性的多解問題，尋找通項(xiàng)式；若是出現(xiàn)幾種周期性解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件。
[變式3－1]　(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)

A．使粒子的速度v

C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度

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