母題突破1 導(dǎo)數(shù)與不等式的證明
母題 已知函數(shù)f(x)＝ex－x2.
(1)求曲線f(x)在x＝1處的切線方程；
(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，eq \f(ex＋?2－e?x－1,x)≥ln x＋1.
思路分析
?求切線方程
↓
?f?x?≥?e－2?x＋1
↓
?ex－x2－?e－2?x－1≥0
↓
?ex＋?2－e?x－1≥x2
↓
?eq \f(ex＋?2－e?x－1,x)≥x≥ln x＋1
(1)解 f′(x)＝ex－2x，f′(1)＝e－2，
又f(1)＝e－1.
∴切線方程為y－(e－1)＝(e－2)(x－1)，
即y＝(e－2)x＋1.
(2)證明 令φ(x)＝f(x)－[(e－2)x＋1]
＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)，
φ′(x)＝ex－2x－(e－2)，
令t(x)＝φ′(x)＝ex－2x－(e－2)，
t′(x)＝ex－2，
當(dāng)x∈(0，ln 2)時(shí)，t′(x)0，
∴φ′(x)在(0，ln 2)上單調(diào)遞減，
在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，
又φ′(0)＝3－e>0，φ′(1)＝0，
∴φ′(ln 2)0，x∈(x0，1)時(shí)，φ′(x)0)，
∴h′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)，
h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴h(x)min＝h(1)＝0，
∴h(x)≥0，即x≥ln x＋1，
則原不等式成立．
[子題1] 已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a，當(dāng)a＝1時(shí)，令g(x)＝eq \f(x2,2f?x?).求證：當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0，
∴φ′(x)＝ex－1>0，
∴φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴φ(x)>φ(0)＝0，
即ex－x－1>0.
要證g(x)0，
∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
∴h(x)>h(0)＝0，
∴ex－x－1－eq \f(x2,2)>0，即證原不等式成立．
方法二 即證eq \f(x2,2)＋x＋1

相關(guān)學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案，共22頁(yè)。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第5講母題突破3零點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一第5講母題突破3零點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案，共11頁(yè)。

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第5講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用學(xué)案：

這是一份2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第5講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用學(xué)案，共18頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第4講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講不等式學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第3講不等式學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部