感悟高考 明確備考方向
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x+2)為偶函數(shù),則f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)為奇函數(shù),則f(1-2x)=-f(2x+1),所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),即f(x)=f(x+4),故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(2x+1)為奇函數(shù),則F(0)=f(1)=0,故f(-1)=-f(1)=0,其他三個(gè)選項(xiàng)未知.故選B.
高考對(duì)此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、分段函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象等,主要考查求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)的函數(shù)值、分段函數(shù)與方程、不等式或分段函數(shù)中求參數(shù)問(wèn)題及函數(shù)圖象的識(shí)別,難度屬于中等及以上.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時(shí)在壓軸題的位置,多與導(dǎo)數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問(wèn)題相結(jié)合命題.
突破熱點(diǎn) 提升關(guān)鍵能力
(1)復(fù)合函數(shù)的定義域.①若f(x)的定義域?yàn)閇m,n],則在f(g(x))中,由m≤g(x)≤n解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域.②若f(g(x))的定義域?yàn)閇m,n],則由m≤x≤n得到g(x)的取值范圍,即為f(x)的定義域.(2)分段函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,值域等于各段函數(shù)值域的并集.
(1)對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問(wèn)題,基本方法是分段函數(shù)分段求解,即依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解;再者數(shù)形結(jié)合,利用圖象法求解.(2)注意分段求解不等式時(shí)自變量的取值范圍的大前提.利用函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化時(shí),首先判斷已知分段函數(shù)的性質(zhì),利用性質(zhì)將所求問(wèn)題簡(jiǎn)單化.形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí),應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.
答案:(2)-7　 (-∞,-2)∪(10,+∞)
熱點(diǎn)二　函數(shù)的圖象及應(yīng)用
(1)作函數(shù)圖象有兩種基本方法:一是描點(diǎn)法;二是圖象變換法,其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換.(2)利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn).
(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì),如定義域、奇偶性、單調(diào)性等,特別是利用一些特殊點(diǎn)排除不符合要求的圖象.(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想,借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律,求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問(wèn)題.求解兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí),可以先畫出已知函數(shù)完整的圖象,再觀察.
答案:(2)(2,3)
解析:(2)不妨設(shè)x10得f(2m+1)>f(m-1),即2m+1>m-1,解得m>-2.故選B.
考向2　奇偶性、周期性與對(duì)稱性典例4　(1)(2022·福建模擬預(yù)測(cè))已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(x+1)=f(1-x),且f(-1)=1,則f(2 021)=(　　)A.1B.0C.-2 021 D.-1
解析:(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x+3)=f(x+2+1)=-f(x+2-1)=f(x-1),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期為4的周期函數(shù),故f(2 021)=f(1)=-f(-1)=-1.故選D.
(2)(多選題)(2022·河北模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)f(2x+1)(x∈R)是周期為2的奇函數(shù),則下列選項(xiàng)一定正確的是(　　)A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱B.2是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期C.f(2 021)=0D.f(2 022)=0
解析:(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)(x∈R)是奇函數(shù),所以f(2x+1)=-f(-2x+1)?f(2x+1)+f(-2x+1)=0,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱,故A正確;因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)(x∈R)的周期為2,所以f(x)的周期為4,故B錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)f(2x+1)(x∈R)是周期為2的奇函數(shù),所以 f(2 021)=f(4×505+1)=f(1)=0,故C正確;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2),無(wú)法判斷f(2)的值,故D錯(cuò)誤.故選AC.
函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(1)奇偶性:具有奇偶性的函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的圖象、函數(shù)值、解析式和單調(diào)性聯(lián)系密切,研究問(wèn)題時(shí)可轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上,尤其注意偶函數(shù)f(x)的性質(zhì):f(|x|)=f(x).(2)單調(diào)性:可以用來(lái)比較大小,求函數(shù)最值,解不等式,證明方程根的唯一性等.(3)周期性:利用周期性可以轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì),把不在已知區(qū)間上的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上求解.(4)對(duì)稱性:①f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱?f(a+x)=f(a-x)?f(2a-x)=f(x);
熱點(diǎn)訓(xùn)練3　 (1)(2022·山東濟(jì)寧一模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x),則f(2 022)=(　　)A.0B.1C.-1 D.2 022
解析:(1)因?yàn)閒(x-2)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4,函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,所以f(2)=-f(0)=0,f(2 022)=f(505×4+2)=f(2)=0.故選A.

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