襄陽五中高一數(shù)學(xué)測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1. 已知集合，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的單調(diào)性求得集合A，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求得集合，進(jìn)而求其交集.【詳解】由，可得，則又，所以.故選：A2. 如圖是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧AD長(zhǎng)度是，弧BC長(zhǎng)度是，幾何圖形ABCD面積為，扇形BOC面積為，若，則（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由條件可得，然后根據(jù)扇形的面積公式可得答案.【詳解】設(shè)，則，所以，所以,故選：C3. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.  B.  C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，.故選：A4. 已知函數(shù)，時(shí)，有唯一解，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是（）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】對(duì)ω進(jìn)行分類討論，當(dāng)，通過可確定的范圍，由，得到，從而得到，再根據(jù)ω∈Z，可得的值；當(dāng)時(shí),同理可得的值.【詳解】當(dāng)時(shí),∵有唯一解，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得，解得又當(dāng)時(shí),解得,又,綜上所述, 故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求三角函數(shù)的值時(shí)，利用函數(shù)圖像求出的范圍，即可求得值，屬于中等題.5. 已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，若，則（）A. 3 B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得解，注意角所在的象限.【詳解】解：因?yàn)榻?/span>的終邊上一點(diǎn)，所以，又，所以為第四象限角，所以，又因，所以.故選：C.6. ，，的大小關(guān)系是（）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)和正弦函數(shù)在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>,所以,可得,因,所以,可得,因?yàn)?/span>,又因?yàn)?/span>,由正弦函數(shù)在上的單調(diào)性知,，即.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小;特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用和選取合適的臨界值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.7. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A. 6 B. 8 C. 12 D. 14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可以得到函數(shù)為周期函數(shù)，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成方程的根的個(gè)數(shù)，即在同一坐標(biāo)系中和圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】依題意可知，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且所以，，即函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)；令，即，在同一坐標(biāo)系中分別作出和的圖像如下圖所示：由圖像可知，兩函數(shù)圖像共有12個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)共由12個(gè)零點(diǎn).故選：C.8. 定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和．若，，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用定義形函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)大致圖象，進(jìn)一步利用分類討論思想和不等式的組的解法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的定義可轉(zhuǎn)換為滿足的整數(shù)解的的和，當(dāng)時(shí)，做出函數(shù)和的大致圖象，如圖所示：結(jié)合圖形可得的解集中整數(shù)解的個(gè)數(shù)有無數(shù)個(gè)，不符合題意當(dāng)時(shí)，，由，解得或．在內(nèi)有3個(gè)整數(shù)解，即，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，做出函數(shù)和的大致圖象，如圖所示：若，又，且，所以不等式的整數(shù)解為．只需滿足，即，解得．綜上，所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（每小題有多于一個(gè)的正確選頂，全答對(duì)得5分，部分答對(duì)得2分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分）9. 下列結(jié)論正確的是（）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、不等式的性質(zhì)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，但沒有意義，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由于，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BD10. 關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題，其中正確的是（）A. 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱【答案】BCD【解析】【分析】求得的奇偶性判斷選項(xiàng)AB；利用與是否相等判斷選項(xiàng)C；利用與是否相等判斷選項(xiàng)D.【詳解】∵的定義域?yàn)?/span>{x|x≠kπ，k∈Z}，∴為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故A錯(cuò)誤，B正確；∵∴，∴的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；又，∴，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱，故D正確．故選：BCD．11. 設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說法正確的是（）A. 的周期為B. 的單調(diào)遞減區(qū)間為C. 的對(duì)稱軸為D. 的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到【答案】BD【解析】【分析】由于函數(shù)（，是常數(shù)，）若在區(qū)間上具有單調(diào)性，可得，由可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心和相鄰和對(duì)稱軸，即可得與的值，即可得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、圖象變換逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：函數(shù)，是常數(shù)，，，若在區(qū)間上具有單調(diào)性，則，．，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，①，且，．兩式相減，可得，故或（舍去）．當(dāng)時(shí)，則由①可得，．綜上，．故它的周期為，故A錯(cuò)誤；令，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，故B正確．令，求得，，故的對(duì)稱軸為直線，，故C錯(cuò)誤；由的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：BD．12. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，為非零常數(shù)，則下列說法正確的是（）A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增C. 當(dāng)時(shí)，記函數(shù)與的圖象在的個(gè)交點(diǎn)為，則D. 當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?/span>【答案】ACD【解析】【分析】確定函數(shù)周期為2，計(jì)算得到A正確，計(jì)算得到，B錯(cuò)誤，計(jì)算函數(shù)的交點(diǎn)，相加得到C正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算最值得到值域，得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，，A正確；當(dāng)時(shí)，取，，，函數(shù)單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示，根據(jù)圖像與圖像交點(diǎn)分別為，，，，，故，C正確；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)簡(jiǎn)圖如圖所示：，根據(jù)圖像知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，現(xiàn)考慮軸上每4個(gè)單位長(zhǎng)度為一段的函數(shù)值，最大值依次變大，最小值依次變小，故只需考慮最后一段即可，，，故值域?yàn)?/span>，D正確.故選：ACD三、填空題（每小5分，共20分，把正確答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上13. 已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得與有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，結(jié)合圖象即可得答案.【詳解】解：令，則有，因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，作出的圖象，如圖所示：由此可得.故答案為：.14. 已知函數(shù)和的圖象完全相同，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將正弦型函數(shù)化余弦型求出，再利用正弦函數(shù)的圖象即可求出值域.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，則.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故答案為：.15. 若，，且，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由，得，因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為.
故答案為：.16. 對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”．已知，則曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為______．【答案】5【解析】【分析】由曲線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù).【詳解】曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)即曲線與曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù).由，可得，即，則，同一坐標(biāo)系內(nèi)作出（實(shí)線）與的圖像（虛線）.由圖像可得兩函數(shù)圖像共有5個(gè)交點(diǎn)，則曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5故答案為：5四、解答題（要求寫出必要的過程，第17題10分，第18~22題各12分，共70分．）17設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求不等式的解集．【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正切型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式即可求解；（2）根據(jù)正切函數(shù)特點(diǎn)，利用整體思想即可求解.【小問1詳解】令，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，不存在單調(diào)減區(qū)間.【小問2詳解】，所以，所以不等式的解集為，18. 某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑a（）個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值，【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）將給定的數(shù)值代入相應(yīng)的公式即可；（2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可.【小問1詳解】一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，濃度則當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).當(dāng)時(shí)，由，解得，綜合得.所以，若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí).【小問2詳解】設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)時(shí)，濃度，而，，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為.令，解得，的最小值為.19. 已知.（1）若角終邊有一點(diǎn)，且，求m的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）的值域?yàn)?/span>【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)，再由三角函數(shù)的定義即可求出的值；
 （2）對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由題意可得，，可得，；【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?/span>.20. 已知函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，其中為常數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)，若存在，均有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，由求解；（2）由，得到的值域A，由，得到的值域B，根據(jù)存在，均有，由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，則，即，又因?yàn)?/span>，所以，所以；【小問2詳解】由，得，則，即；由，得，則，即，因?yàn)榇嬖?/span>，均有，所以且，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍．21. 已知函數(shù)，．（1）求的值域；（2）若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域，（2）根據(jù)題意可得，令，則，然后根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故的值域?yàn)?/span>．【小問2詳解】由，得，因?yàn)?/span>，所以，所以，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，所以．因此的取值范圍為．22. 已知函數(shù)為定義域內(nèi)的奇函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)，由特殊值的函數(shù)值求得參數(shù)，再驗(yàn)證即可；（2）對(duì)參數(shù)的取值分類討論，根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，是奇函數(shù)，所以，解得，此時(shí)，是奇函數(shù).故.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故，則，又因?yàn)?/span>恒成立；故當(dāng)時(shí)，恒成立，符合條件.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，，所以，令，因?yàn)?/span>都在上單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，又，所以；當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以令，都是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故也是上的單調(diào)增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，故上恒成立，故在無解，即不滿足條件；綜上所述，.

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