襄陽四中2022級高一（上）數(shù)學期末測試題2023．01一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 命題“，”的否定是（）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】由全稱命題的否定即可選出答案.【詳解】命題“，”的否定是“，”故選：C.2. 集合的真子集的個數(shù)是（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求解的范圍，結(jié)合，得到集合為，利用集合真子集個數(shù)的公式即得解.【詳解】由于，，又，，，即集合故真子集的個數(shù)為：故選：C【點睛】本題考查了集合真子集的個數(shù)，考查了學生對真子集概念的理解.3. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再通過求解對應點的值，判斷，結(jié)合零點判斷定理，得出結(jié)論即可．【詳解】因為，可知在定義域為單調(diào)遞增；又因為，，，．所以，故函數(shù)的零點所在的區(qū)間為．故選：C．4. 下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A. f(x)=│cos 2x│ B. f(x)=│sin 2x│C. f(x)=cos│x│ D. f(x)= sin│x│【答案】A【解析】【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【點睛】利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；5. 《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形，若圖中所示的角為，且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析】設(shè)直角三角形較短的直角邊長為，可得出較長直角邊長為，由此可計算出小正方形和大正方形的邊長，進而可得出關(guān)于的三角等式，進而可解得的值.【詳解】設(shè)直角三角形較短的直角邊長為，則較長直角邊長為，所以，小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，由于小正方形與大正方形面積之比為，所以，，由于，則，由已知條件可得，解得，因此，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用幾何概型的概率公式求解角的正切值，解本題的關(guān)鍵在于將小正方形和大正方形的邊長用表示，并根據(jù)已知條件列出方程組求解.6. 已知，則下列函數(shù)的圖象錯誤的是（）A. 的圖象 B. 的圖象 C. 的圖象 D. 的圖象【答案】D【解析】【分析】作出的圖像，根據(jù)圖像的平移、翻折變換即可判斷．【詳解】作出，如下圖的圖像，由的圖像向右平移一個單位，故A正確；的圖像，由的圖像軸右側(cè)的翻折到左側(cè)，左側(cè)翻折到右側(cè)，故B正確；的圖像，由的圖像右側(cè)的保留不變，且把右邊的翻折到左邊，故C正確；的圖像，把軸下方的翻折到上方，圖像與一樣，故D錯誤；故選D【點睛】本題考查圖像的平移、翻折變換，需掌握圖像的變換法則，屬于基礎(chǔ)題．7. 克糖水中含有克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為，這個質(zhì)量比決定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式為(，).若，，，則A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意當，時成立，得出，用作差法比較得出，即可得出答案.【詳解】解：因為，，所以，，根據(jù)題意當，時成立，又，所以，即：，又所以，所以，故選：B.【點睛】對數(shù)運算的一般思路：（1）拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并；（2）合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算.8. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y(jié)論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 甲?乙?丙?丁四個人參加某項競賽，四人在成績公布前做出如下預測：甲說：獲獎者在乙丙丁三人中；乙說：我不會獲獎，丙獲獎；丙說：甲和丁中的一人獲獎；丁說：乙猜測的是對的.成績公布后表明，四人中有兩人的預測與結(jié)果相符，另外兩人的預測與結(jié)果不相符.已知倆人獲獎，則獲獎的是（）A. 甲 B. 乙C. 丙 D. 丁【答案】BD【解析】【分析】從四人的描述中可以看出，乙、丁的預測要么同時成立，要么同時不成立，再進行分類判斷即可得解.【詳解】由題意乙、丁的預測要么同時與結(jié)果相符，要么同時與結(jié)果不符，若乙?丁的預測成立，則丙獲獎、乙不獲獎，此時甲、丁中有一人獲獎，丙預測的成立，與題設(shè)不符；若乙?丁的預測不成立，此時甲、丙的預測均成立，則丁一定獲獎，甲一定不獲獎，若乙、丁獲獎，符合題意，若丙、丁獲獎，則四人預測均成立，與題設(shè)不符；從而獲獎的是乙和丁.故選：BD.【點睛】本題考查了推理案例的應用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10. 已知x>0，y>0，且2x+y=2，則下列說法中正確的（）A. xy的最大值為 B. 4x2+y2的最大值為2C. 4x+2y的最小值為4 D. 的最小值為4【答案】ACD【解析】【分析】在條件下結(jié)合基本不等式可以對每一個選項作出正確的判斷.【詳解】由，當時等號成立，所以A正確；，所以的最小值為2，故B不正確；由，，當時等號成立，故C正確；由，，當時等號成立，故D正確.故選：ABD.11. 關(guān)于函數(shù)，有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞增；③在有4個零點；④的最大值為2．其中正確結(jié)論的序號是（）A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可判斷是偶函數(shù)；在區(qū)間上，可判斷單調(diào)性；根據(jù)圖象即可判斷③；當且時，取得最大值2，可判斷④．【詳解】，且的定義域為R，則函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；當時，，，則當時，，則在區(qū)間為減函數(shù)，故②錯誤；畫出函數(shù)的圖象，當時，，由，得，即或，由是偶函數(shù)，得在上還有一個零點，即函數(shù)有3個零點，故③錯誤；當且時，取得最大值2，故④正確，故正確的是①④，故選：AD12. 存在函數(shù)滿足：對于任意都有（）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】AC可舉出反例，BD可寫出符合要求的函數(shù).【詳解】A選項，時得，1，函數(shù)值不唯一，A錯誤；C選項，時得函數(shù)值不唯一，C錯誤；B選項，滿足要求；D選項，滿足要求．故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】或【解析】【分析】解一元二次不等式得到解集，根據(jù)充分不必要條件可知是的真子集，列不等式組求k的范圍．【詳解】由，則，由，則或，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，則或，即或．故答案為：或．14. 若角終邊上一點P的坐標為，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】由題可得，進而即得.【詳解】由題可知角終邊上一點P的坐標為，所以，，所以的最小值為.故答案為：.15. 若是定義在R上的奇函數(shù)，當時，(為常數(shù))，則當時，_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得到，再取時，，根據(jù)函數(shù)奇偶性得到表達式.【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，則，故，時，，則.故答案為：.16. 已知函數(shù)對于一切實數(shù)均有成立，且，則當，不等式恒成立時，實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義，利用賦值法求出函數(shù)f（x）的表達式，然后根據(jù)不等式恒成立，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵對于一切實數(shù)均有成立，∴令y＝0，x＝1代入已知式，得f（1）﹣f（0）＝2，∵f（1）＝0，∴f（0）＝﹣2；令y＝0得，∴．當，不等式恒成立時，即恒成立，設(shè)，在（0，）上是增函數(shù)，∴，∴要使恒成立，則在恒成立，若a＞1時，不成立．若0＜a＜1，則有時，，∴要使在恒成立，則，故答案為：【點睛】方法點睛：利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題是解決此類問題的基本方法．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. （1）計算；（2）已知，求的值．【答案】（1）4；（2）1．【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則逐一進行化簡；（2）根據(jù)將指數(shù)換成對數(shù)，根據(jù)對數(shù)冪的運算法則進行化簡；【詳解】解：（1）＝（2），則故.【點睛】指數(shù)冪運算的一般原則（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算；（2）先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)；（3）底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)；（4）若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答.18. （1）若，化簡：；（2）若，求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的角度范圍，判斷出和的取值范圍，即可化簡求值.（2）根據(jù)已知條件，將式子化成含的式子，即可求出該式的值.【詳解】解：（1）由題意，，∴，，原式．（2）由題意，∴．19. 已知，的最小正周期為．（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求在區(qū)間上的值域．【答案】（1）；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)周期公式求的值，再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由題可得，然后正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即得值域.【小問1詳解】由的最小正周期為，所以，當時，，令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，，令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】由，得，所以由，得，所以，因此，即在區(qū)間上的值域為．20. 已知函數(shù)．（1）若對任意，恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)，若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，則，將問題轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，利用判別式小于0即可得到答案；（2）利用符合函數(shù)單調(diào)性易得在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，求出的最小值即可.【詳解】解：令，則．（1）因為，所以，則對任意，恒成立等價于對任意，恒成立.故，解得或，即的取值范圍為，（2）因為，所以，因為圖象的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．因為，所以，．因為，所以．因為，所以，即．因為，所以．因為，所以，故．因為，所以的取值范圍是．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．21. 物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設(shè)物體的初始溫度為，經(jīng)過一段時間后的溫度為，則，其中為環(huán)境溫度，為參數(shù).某日室溫為，上午8點小王使用某品牌電熱養(yǎng)生壺燒1升水（假設(shè)加熱時水溫隨時間變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達到點18分時，壺中熱水自然冷卻到.（1）求8點起壺中水溫（單位：）關(guān)于時間（單位：分鐘）的函數(shù)；（2）若當日小王在1升水沸騰時，恰好有事出門，于是將養(yǎng)生壺設(shè)定為保溫狀態(tài).已知保溫時養(yǎng)生壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當壺內(nèi)水溫高于臨界值時，設(shè)備不工作；當壺內(nèi)水溫不高于臨界值時，開始加熱至后停止，加熱速度與正常燒水一致.若小王在出門34分鐘后回來發(fā)現(xiàn)養(yǎng)生壺處于未工作狀態(tài)，同時發(fā)現(xiàn)水溫恰為.（參考數(shù)據(jù)：）①求這34分鐘內(nèi)，養(yǎng)生壺保溫過程中完成加熱次數(shù)；（不需要寫出理由）②求該養(yǎng)生壺保溫的臨界值.【答案】（1）；（2）①1次；②.【解析】【分析】（1）設(shè)待定系數(shù)法求，根據(jù)已知有求參數(shù)a，即可寫出解析式，注意定義域范圍.（2）①由題意，研究情況下從降至、從加熱至、從降至所需的時間，進而分析出加熱次數(shù)；②由（i）分析結(jié)果可知時水溫正好被加熱到，計算從降至、從加熱至的時間，列方程求值.【小問1詳解】當時，設(shè)，則，可得，所以.當時，，則，可得，綜上，.【小問2詳解】①1次，理由如下：由題意，從降至，則，可得分鐘，所以降至，所需時間分鐘，由于小王出門34分鐘，從加熱至，則，可得分鐘，則從加熱至所需時間分鐘；從降至，則，可得分鐘，則從降至所需時間分鐘；故34分鐘內(nèi)至少加熱了一次，若加熱兩次則分鐘，綜上，只加熱過一次.②由（i）知：從降溫至，所需時間為分鐘.所以在時，水溫正好被加熱到.從降至，則，可得，從加熱至，則，可得，所以在上遞減，且，即.22. 已知（，為此函數(shù)的定義域）同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②如果存在區(qū)間，使函數(shù)在區(qū)間上的值域為，那么稱，為閉函數(shù)（1）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；（2）求證：函數(shù)（）為閉函數(shù)；（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）見解析；(2)見解析；（3）【解析】【分析】（1）可判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，由閉函數(shù)定義可作出判斷；（2）按照閉函數(shù)的定義只需證明兩條：①在定義域內(nèi)單調(diào)；②該函數(shù)值域也為[﹣1，1]；（3）由是（0，+∞）上的增函數(shù)，知其符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，從而有，問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個不等非負實根，利用二次方程根的分布知識可得k的限制條件；【詳解】（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)．（2）先證y＝﹣x3符合條件①：對于任意x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，有＝＝，∴y1＞y2，故y＝﹣x3是R上的減函數(shù)．又因為y＝﹣x3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]．所以函數(shù)y＝﹣x3（x∈[﹣1，1]）為閉函數(shù)；（3）易知是（0，+∞）上的增函數(shù)，符合條件①；設(shè)函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a，b]，則有；故a，b是的兩個不等根，即方程組為：有兩個不等非負實根；設(shè)x1，x2為方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的二根，則，解得：∴k的取值范圍：．【點睛】本題考查新定義，考查導數(shù)知識的運用，解題的關(guān)鍵是理解新定義，并利用新定義求參數(shù)的值，屬于中檔題．

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