青島二中2022-2023學年第一學期期中考試——高二試題(數(shù)學)第Ⅰ卷(共60分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 若直線與直線垂直，則m的值是(    )．A  B.  C. 2或 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直，則計算即可.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得.故選：A.2. 已知空間向量，，且，則(    )A. 9 B.  C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的充要條件即可求解.【詳解】因為空間向量，，且，所以，解得：，故選：.3. 直線過點，且在x軸上的截距是在y軸上截距的2倍，則該直線的斜率是(    )．A.  B.  C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】分過直線原點和不過原點的兩類情況作討論即可求解.【詳解】若直線過坐標原點,則,此時橫縱截距都等于0,滿足題意;若直線不過坐標原點,設直線的方程為,因為直線過點,所以,解得,所以直線方程為,此時,故選:D.4. 已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是(    )．A.  B. 6 C.  D. 12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓知，該橢圓的長半軸，A是橢圓的一個焦點，設另一焦點為，而點在BC邊上，點B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長故選：D.5. 直線與圓的公共點個數(shù)為(    )．A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 1個或2個【答案】D【解析】【分析】求直線過的定點，再判斷直線與圓位置關系，【詳解】為，故過定點，在圓上，故直線與圓相切或相交，公共點個數(shù)為1個或2個，故選：D6. 已知大小為二面角棱上有兩點，，，，，，若，，，則的長為(    )．A. 22 B. 49 C. 7 D. 【答案】C【解析】【分析】過作且，連接、，易得，通過線面垂直的判定定理可得平面，繼而得到，即可求出答案．【詳解】解：過作且，連接、，則四邊形是平行四邊形，則因為，所以平行四邊形是矩形，因為，即，而，則是二面角的平面角，即，因為，即為正三角形，所以，因為，即，，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以在中，故選：C．7. 唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為(    )．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用點關于直線的找到最短距離，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求得.【詳解】由已知得關于直線的對稱點為，中點坐標為 ，且直線斜率為所以 解得，即圓心，可知，則最短總路程為故選：B8. 已知F是橢圓的一個焦點，若存在直線與橢圓相交于A，B兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是(    )．A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得離心率的取值范圍．【詳解】解：連接，與左右焦點，的連線，由，由橢圓及直線的對稱性可得四邊形為平行四邊形，，在三角形中，，所以，即，當且僅當時等號成立，又直線的斜率存在，故，即，可得，所以橢圓的離心率.故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9. 已知空間中三點，，，則(    )．A.  B. C.  D. A，B，C三點共線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的模的坐標表示即可判斷A；判斷是否成立即可判斷B；根據(jù)即可判斷C；判斷向量是否共線即可判斷D.【詳解】解：，則，故A正確；，則，所以，故B正確；，則，故C正確；因為，，，所以向量不共線，則A，B，C三點不共線，故D錯誤.故選：ABC.10. 在棱長為2的正方體中，、、分別為，，的中點，則下列選項正確的是(    )．A. B. 直線與所成角的余弦值為C. 三棱錐的體積為D. 存在實數(shù)、使得【答案】ABD【解析】【分析】以為原點，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算逐項判斷即可.【詳解】解：如圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系則，，，，，，，，，，對于A，，所以，則，故A正確；對于B，，，所以，因此，直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，又，設平面的法向量為，則，令，則，又，則點到平面的距離，又中，，則，所以，故，故C錯誤；對于D，因為，，所以，則，則四點共面，又，，所以，則共面，即存在實數(shù)、使得，故D正確；故選：ABD．11. 已知與相交于A，B兩點，則下列結(jié)論正確的是(    )．A. 直線AB的方程為B. 過A，B兩點，且過點的圓的方程為C. 與的公切線的長度為D. 以線段AB為直徑的圓的方程為【答案】AD【解析】【分析】由圓與圓的位置關系，直線方程，圓的方程對選項逐一判斷，【詳解】由解得或，即，，對于A，直線AB的方程為，故A正確，對于B，設過A，B兩點，且過點的圓的方程，得，解得，圓的方程為，故B錯誤，對于C，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為2，兩圓半徑相等，則與的公切線的長度為，故C錯誤，對于D，中點為，，則以線段AB為直徑的圓的方程為，故選：AD12. 在平面直角坐標系xOy中，方程對應的曲線為E，則(    )．A. 曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于B. 曲線E關于原點中心對稱C. 曲線E上的點到原點距離的最小值為D. 曲線E上的點到直線距離的最小值為【答案】AB【解析】【分析】對于選項B結(jié)合中心對稱的概念即可判斷；對于選項C，設曲線E上任意一點為，結(jié)合兩點間的距離公式化簡整理即可判斷；對于選項D，結(jié)合點到直線的距離公式即可判斷；對于選項A，求出與直線平行且與曲線相切的直線方程，再根據(jù)曲線的對稱性求出此直線與坐標軸圍成圖形的面積結(jié)合圖形即可得解.【詳解】解：當時，，當時，，當時，，由此作出曲線E的圖象，其中，對于選項B，因為點，點均滿足方程，則可得到曲線關于原點中心對稱，所以選項B正確；對于選項C，設曲線E上任意一點為，則其到原點的距離的平方為，且，當且僅當時取等號，所以曲線上的點到原點距離的最小值為，故選項C錯誤；對于選項D，由圖可知曲線上到直線距離最小的點位于第一象限，此時，則，曲線上任意一點為，則其到直線距離，當且僅當時，取等號，所以曲線E上的點到直線距離的最小值為，故選項D錯誤；對于選項A，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，聯(lián)立，消得，則，解得，所以所求直線方程為，令，則，令，則，由曲線的對稱性可得，以四點為頂點的正方形的四條邊與曲線相切，這個正方形的面積為，所以曲線E是封閉圖形，其圍成的面積小于，故A正確.故選：AB.第Ⅱ卷(共90分)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知的三個頂點分別是，，，則的外接圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】由為直角三角形，確定斜邊上中點坐標并求外接圓半徑，即可寫出的外接圓的方程.【詳解】由題設易知：為直角三角形，故外接圓圓心是斜邊的中點，而，所以斜邊為，則外接圓圓心為，故，綜上，的外接圓的方程為.故答案為：14. 在平面直角坐標系中，直線與曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題知直線過定點，曲線表示半圓，作出圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得答案．【詳解】解：直線過定點，曲線是圓心為半徑為1的上半圓，為右頂點，如圖所示，其中點為直線與曲線相切時的切點由圖可知，直線與曲線有公共點時，直線的斜率滿足當直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，解得或，則直線的斜率或，由圖可得，所以，于是有，即，解得：故答案為：.15. 過點，且與橢圓有相同的焦點的橢圓標準方程是______．【答案】【解析】【分析】設與已知橢圓焦點相同的橢圓的方程，將已知點的坐標代入，可得參數(shù)的值，求出橢圓的方程．【詳解】解：由題意設橢圓的方程為，，將點代入，，整理可得：，解得或(舍，所以橢圓的方程為：，故答案為：．16. 古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線以AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為1的正方體中，點P是正方體的表面(包括邊界)上的動點，若動點P滿足，則點P所形成的阿氏圓的半徑為______；三棱錐體積的最大值是______．阿波羅尼奧斯【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】以為坐標原點，為軸建立平面直角坐標系，設，利用，求出點的軌跡方程，即可得到點所形成的阿氏圓的半徑；求出即為三棱錐最大的高，然后利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】解：以為坐標原點，為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，設，因為，所以，整理得，點所形成的阿氏圓的半徑為；則當到距離最大時，三棱錐的體積最大，結(jié)合圖形可知當在上，即為三棱錐最大的高，則三棱錐體積的最大值是．故答案為：；．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 如圖，在中，為邊上的一點，，且與的夾角為.(1)設，求，的值；(2)求值.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】(1)由向量的加減運算，可得，進而可得答案.(2)用表示，利用向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為，所以..又，又因為、不共線，所以，，(2)結(jié)合(1)可得：.，因為，，且與的夾角為.所以.【點睛】本題考查了向量的加減運算、平面向量基本定理、向量的數(shù)量積運算等基本數(shù)學知識，考查了運算求解能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題目.18. 已知直線和的交點為P．(1)若直線l經(jīng)過點P且與直線平行，求直線l的方程；(2)若直線m經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，為線段的中點，求△OAB的面積．(其中O為坐標原點)．【答案】(1)4x－3y－3＝0    (2)30【解析】【分析】(1)聯(lián)立直線方程，求出交點坐標，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點斜式方程可得答案；(2)由點斜式方程，設出直線方程，求得兩點的坐標，根據(jù)中點坐標公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.【小問1詳解】由，求得，可得直線和的交點為P(－3，－5)．由于直線的斜率為，故過點P且與直線平行的直線l的方程為，即4x－3y－3＝0．【小問2詳解】由題知：設直線m的斜率為k，則直線m的方程為，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面積為．19. 如圖，在四棱錐中，．(1)若，為的中點，求證：平面；(2)若是邊長為的正三角形，平面平面，直線與平面所成角的正切值為，且，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析    (2)【解析】【分析】(1)取中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，可得出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；(2)取中點，連、，推導出平面，可得出為直線與平面所成的角，根據(jù)已知條件可求得、的長，利用錐體的體積公式可求得四棱錐的體積.【小問1詳解】證明：取中點，連接，因為、分別為、中點，所以，且，在底面中，因為，且，則且，因此且，從而四邊形是平行四邊形，所以．又因為平面，平面，所以平面．【小問2詳解】解：取中點，連、．因為是正三角形，為中點，所以，因為平面平面，面平面，平面，所以平面，從而為直線與平面所成的角．在正三角形中，因為，所以．則在直角中，，所以．直角中，，所以，因此．四邊形的面積．又因為，所以四棱錐的體積．20. 如圖，點是橢圓的短軸位于軸下方的端點，過作斜率為的直線交橢圓于點，若點的坐標為，且滿足軸，．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的左頂點為，左焦點為，點為橢圓上任意一點，求的取值范圍．【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)由已知求得的坐標，得到直線方程，求出，的坐標，得到的坐標，由，求得，得到的坐標，把的坐標代入橢圓方程求得，則橢圓方程可求；(2)由橢圓方程得，，設，則，按坐標運算得可轉(zhuǎn)換為關于的二次函數(shù)，由，即可得的取值范圍.【小問1詳解】解：由題意得，的方程為，由，則，，，由，即，即，，又在橢圓上，得，解得，所求橢圓方程；【小問2詳解】解：由橢圓方程得，則，，設，則所以，且，則由于，所以，即的取值范圍為.21. 已知圓．(1)若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；(2)若直線過點與圓相交于，兩點，求的面積的最大值，并求此時直線的方程；(3)若點是直線上的動點，過點分別作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線過定點．【答案】(1)或    (2)或    (3)證明見解析.【解析】【分析】(1)討論直線方程斜率不存在時，根據(jù)直線與圓相交弦長公式求弦長，檢驗是否符合；直線斜率存在時，設直線方程，根據(jù)直線與圓相交弦長公式，求出參數(shù)的值，即得直線的方程；(2)設直線的方程，求出圓心到直線的距離，進而求出弦長的表達式，代入面積公式中，由二次函數(shù)的最值求出其最大值，進而求出參數(shù)的值，求得直線的方程；(3)設點，，可得以為圓心，為半徑的圓的方程，則線段為該圓與圓相交形成的相交弦，兩圓方程作差可得直線的方程，即可求得直線過定點.【小問1詳解】解：圓，圓心，半徑當直線的斜率不存在時，的方程為：，此時圓心到直線的距離，則相交弦長為，符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程為：，即此時圓心到直線的距離，則相交弦長為，解得：所以此時直線的方程為：，即.綜上，直線的方程為或.【小問2詳解】解：在圓外，顯然直線的斜率存在，設直線的方程為：，則圓心到直線的距離，所以弦長，所以，當時最大，即，即，解得或，的最大值為1，所以直線的方程為：或．【小問3詳解】解：如圖，連接設點，以為圓心，為半徑的圓的方程為①又②，則線段為兩圓相交弦，故由①②得為直線的方程，即所以，解得直線過定點.22. 如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面平面ABC，為正三角形，E，F分別是PC，PB上的動點．(1)求證：；(2)若，，求三棱錐的外接球體積；(3)若E，F分別是PC，PB的中點且異面直線AF與BC所成角的正切值為，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍．【答案】(1)見解析    (2)    (3)【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)及判定定理即可；(2)建立空間直角坐標系，確定球心坐標，可得球的半徑大小即可求解；(3)建立空間直角坐標系，利用向量表示出直線PQ與平面AEF所成角的正弦值即可確定范圍.【小問1詳解】因為C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，所以,又平面平面ABC,且平面平面ABC,平面ABC,所以平面,平面,所以.【小問2詳解】以C為坐標原點，CA,CB所在直線分別為軸，軸，過C 且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標系，因為，，所以， ,因為的外接圓為圓,所以設三棱錐的外接球球心為,則有,即，解得，所以球心為，所以球的半徑,所以外接球的體積 .【小問3詳解】由E，F分別是PC，PB的中點，所以BC//EF，由(1)知，所以，所以在中，就是異面直線AF與BC所成的角,因為異面直線AF與BC所成角的正切值為,所以 , 又EF平面AEF,BC平面AEF,所以BC平面AEF，又BC平面ABC，平面EFA平面ABC=l,所以BCl,所以在平面ABC中，過點A作BC 的平行線即為直線l,以C為坐標原點，CA,CB所在直線分別為軸，軸，過C 且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標系，設AC=2.因為△PAC為正三角形，所以AE=，從而EF=2，由已知E，F分別是PC,PB的中點，所以BC=2EF=4,則 ,所以,因為BCl，所以可設，平面AEF的一個法向量為，則 ,取，得,又,設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角為.
 
 

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