2022-2023學年江蘇省蘇州市高二上學期期末模擬數(shù)學試題 一、單選題1．直線不經(jīng)過（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】作出直線的圖象，可得出結(jié)論.【詳解】作出直線的圖象如下圖所示：由圖可知，直線不過第三象限.故選：C.2．已知向量，若，則實數(shù)的值為（    ）A．8 B．7 C． D．14【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直，則向量數(shù)量積為0，得到，解出即可.【詳解】已知向量，因為，所以，解得．故選：B．3．如圖，在四面體中，是的中點，設(shè)，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形法則先求得向量、，進而求得．【詳解】解：，，．故選：B．4．在數(shù)列中，，，則數(shù)列前5項和（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式判斷其為等差數(shù)列，表示出其通項公式，然后代入裂項相消可求【詳解】為1為首項，2為公差的等差數(shù)列，，故故選：C5．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先確定雙曲線漸近線方程，結(jié)合圓的方程可確定兩漸近線截圓所得弦長相等；利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得的值，進而根據(jù)離心率可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程得：漸近線方程為；由圓的方程知：圓心為，半徑；與圖象關(guān)于軸對稱，圓的圖象關(guān)于軸對稱，兩條漸近線截圓所得弦長相等，不妨取，即，則圓心到直線距離，弦長為，解得：，雙曲線離心率.故選：C.6．如果實數(shù)，滿足，則的范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求的范圍救等價于求同時經(jīng)過原點和圓上的點的直線中斜率的范圍，結(jié)合圖象，易得取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則表示經(jīng)過原點的直線，為直線的斜率.如果實數(shù)，滿足和，即直線同時經(jīng)過原點和圓上的點.其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時切點為則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.故選：B.7．已知等差數(shù)列滿足，若，則k的最大值是（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為，由題意可得，從而建立關(guān)于的不等式，求解不等式即可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為，由，且，得，即，當時，，當時，由，得，所以，所以，即，解得，所以k的最大值是9.故選：B.8．已知橢圓）的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得，應用余弦定理求得，根據(jù)等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目標式、基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，故，又，則，由余弦定理知：，所以，而，因為的內(nèi)切圓的半徑，故，所以，則，由，即，所以，整理得且，所以，，當且僅當時等號成立，所以目標式最小值為.故選：B 二、多選題9．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（    ）A．為遞減數(shù)列 B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意先判斷出數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1.再對四個選項一一驗證：對于A：利用公比的定義直接判斷；對于B：由及前n項和的定義即可判斷；對于C：前項積為的定義即可判斷；對于D：先求出，由即可判斷.【詳解】由可得：和異號，即或.而，，可得和同號，且一個大于1，一個小于1.因為，所有，，即數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1.對于A：公比，因為，所以為減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列.故A正確；對于B：因為，所以，所以.故B錯誤；對于C：等比數(shù)列的前項積為，且數(shù)列的前2022項大于1，而從第2023項開始都小于1，所以是數(shù)列中的最大項.故C正確；對于D：因為，所以，即.故D錯誤.故選：AC10．如圖，平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（    ）A．B．C．向量與的夾角是.D．異面直線與所成的角的余弦值為.【答案】AB【分析】根據(jù)題意，引入基向量，分別用基向量表示，利用向量求長度的計算公式，計算可得A正確；利用向量證垂直的結(jié)論，計算可得B正確；利用向量求夾角公式，計算可得CD錯誤.【詳解】設(shè)，因為各條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，所以，因為，所以，，故A正確；由，所以，所以，故B正確；因為，且，所以，所以其夾角為，故C錯誤；因為，，，，所以，故D錯誤.故選：AB.11．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念、公式符號、推理論證、思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美.在平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下列說法正確的有（    ）A．曲線C圍成的圖形有4條對稱軸B．曲線C圍成的圖形的周長是C．曲線C上的任意兩點間的距離不超過5D．若是曲線C上任意一點，的最小值是【答案】ABD【分析】去掉絕對值可得曲線的四段關(guān)系式，從而可作出曲線的圖像，由圖像即可判斷ABCD.【詳解】，當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓；當時，，即，表示圓心為，半徑的半圓.曲線的圖像如下圖所示：對于A，易知曲線圖像有4條對稱軸，A正確；對于B，曲線圖形由4個半圓組成，故其周長為，B正確；對于C，由圖可知，曲線C上的任意兩點間的最大距離為，C錯誤；對于D，圓心到直線的距離為，到直線的距離，若使最小，則有，所以，得，D正確.故選：ABD.12．已知數(shù)列滿足且，數(shù)列滿足（），下列說法正確的有（    ）A．數(shù)列為等比數(shù)列 B．當時，數(shù)列的前項和為C．當且為整數(shù)時，數(shù)列的最大項有兩項 D．當時，數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】BCD【分析】A選項，變形為，得到為常數(shù)列，故，，根據(jù)定義求出不是等比數(shù)列，A錯誤；B選項，錯位相減法求和，B正確；C選項，作差法得到隨著的變大，先增后減，根據(jù)為整數(shù)，得到且最大，即數(shù)列的最大項有兩項，C正確；D選項，作差法結(jié)合得到，故D正確.【詳解】變形為，又，故數(shù)列為常數(shù)為1的數(shù)列，故，所以，因為，若，則為常數(shù)為0的常數(shù)列，不是等比數(shù)列，若，則不是定值，不是等比數(shù)列，綜上A錯誤；當時，，設(shè)數(shù)列的前項和為，，①則，②②-①得：，B正確；當時，，因為，所以當，即時，，即當，即時，，即，故隨著的變大，先增后減，因為為整數(shù)，故且最大，即數(shù)列的最大項有兩項，C正確；當時，，因為，所以單調(diào)遞增，故，因為，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，D正確；故選：BCD 三、填空題13．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等差中項，求第六項，再根據(jù)等比數(shù)列的等比中項，解得第五項的平方，結(jié)合對數(shù)運算可得答案.【詳解】因為是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和，所以，解得，因為是等比數(shù)列，所以，則.故答案為：.14．已知橢圓方程為，且橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦，則弦所在的直線的方程是__________.【答案】【分析】由點差法得斜率后求解直線方程，【詳解】設(shè)，由題意得，兩式相減化簡得，而是中點，得，代入得，故直線方程為，即，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，故答案為：15．過雙曲線上的任意一點，作雙曲線漸近線的平行線，分別交漸近線于點，若，則雙曲線離心率的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)點，分別聯(lián)立兩組直線方程，求出的坐標，然后利用向量的數(shù)量積，推出離心率的范圍即可.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為：，即，設(shè)點，可得：，聯(lián)立方程組，解得：，同理可得：，所以，因為，所以，所以，由題意可得：，所以，故離心率，又因為雙曲線的離心率，所以雙曲線離心率的取值范圍為，故答案為：.16．已知等腰內(nèi)接于圓O，點M是下半圓弧上的動點（不含端點，如圖所示）.現(xiàn)將上半圓面沿AB折起，使所成的二面角為.則直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為______.【答案】##0.5【分析】取下半圓弧的中點D，連接OC，OD，以點O為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】在折后的圖形中，取下半圓弧的中點D，連接OC，OD，如圖，依題意，平面，于是得平面，且是二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過點O作，因此射線兩兩垂直，以點O為原點，射線分別為非負半軸建立空間直角坐標系，令，則，設(shè)點，顯然有，于是得，令直線AC與直線OM所成的角為，因此，當且僅當，即時取等號，顯然直線AC與直線OM為異面直線，即，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此取最大值時，角取最小值，，所以直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為.故答案為：【點睛】思路點睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個三角函數(shù)建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可. 四、解答題17．在平行四邊形ABCD中，，，，點E是線段BC的中點．(1)求直線CD的方程；(2)求四邊形ABED的面積．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出，由，由點斜式即可寫出直線CD的方程；（2）四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，求出E坐標、直線AD的方程，即可求出E到直線AD的距離，再求出，即可求梯形面積.【詳解】（1）由，，∴直線CD的方程為，即；（2）四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，則，即，直線AD的方程為，即，則E到直線AD的距離為，.故四邊形ABED的面積為.18．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上.(1)求點F的坐標和拋物線C的準線方程；(2)過點F的直線l交拋物線C于A、兩點，且線段AB的中點為，求直線l的方程及.【答案】(1)的坐標為，準線方程為(2)， 【分析】（1）將已知點代入拋物線方程，解得參數(shù)的值，即可得答案.（2）由求得直線的方程，利用拋物線定義，結(jié)合弦長公式以及中點坐標公式，可得答案.【詳解】（1）點在拋物線上，，，的坐標為，拋物線C的準線方程為.（2）由題可知，直線l經(jīng)過與，的斜率，直線l的方程為，設(shè)A，B的坐標分別為，，則由拋物線的定義可知，又AB的中點為，，19．已知數(shù)列的首項為0，且，數(shù)列的首項，且對任意正整數(shù)恒有.(1)求和的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)n，設(shè)，求數(shù)列的前2n項和S2n.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義得到數(shù)列和分別為等差等比數(shù)列，然后求通項即可；（2）根據(jù)題意得到當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，然后分別用裂項相消和錯位相減求和即可.【詳解】（1）因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，所以，令，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，所以.（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；所以奇數(shù)項的前項和為，偶數(shù)項的前項和為①，①得：②，①-②得：，所以，.20．如圖，在四棱椎中，底面為平行四邊形，平面，點分別為的中點，且.(1)若，求直線與平面所成角的正弦值；(2)若直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，從而求得平面的法向量與，由此可求得直線與平面所成角的正弦值；（2）設(shè)，從而分別求得平面與平面的法向量與及，從而由題意條件求得，進而可求得平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍.【詳解】（1）因為，則，即，又因為平面，所以，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為. .（2）設(shè)，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，故，易得平面的一個法向量為，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，即，解得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，因為，所以，則，故，即.所以平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍為.21．已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，稱數(shù)列是數(shù)列的“中程數(shù)數(shù)列”.若（且），求所有滿足條件的實數(shù)對.【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）由已知遞推關(guān)系可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義寫出通項公式；（2）由遞推研究的單調(diào)性，進而求出最大值為，最小值為，即可得，結(jié)合的通項公式得，再由（且）求出、的取值，即可得結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，即，故，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列，故，即；（2）因為，即，故時，，即；時，，即，故，故，，所以.因為，，，所以，即，又，，，且，知且，即，由知，時，，故，即，而，故符合題意；時，，故，即，而，故無解；時，，故，即，又，故符合題意；綜上，所有滿足條件的實數(shù)對有，.22．已知，，點滿足，記點的軌跡為，(1)求軌跡的方程；(2)若直線過點且法向量為，直線與軌跡交于、兩點．①過、作軸的垂線、，垂足分別為、，記，試確定的取值范圍；②在軸上是否存在定點，無論直線繞點怎樣轉(zhuǎn)動，使恒成立？如果存在，求出定點；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②存在， 【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義直接得到答案.（2）根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系得到，計算，根據(jù)的范圍得到的取值范圍；假設(shè)存在點滿足條件，通過得到，計算得到答案.【詳解】（1）由，知，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線的右支．，，，故，軌跡方程為．（2）直線的方程為，，得，設(shè)，，，，由條件得，解得，即．①，由條件，故，故，因為，因此．②設(shè)存在點滿足條件，由，得對任意恒成立，所以，解得，因此存在定點滿足條件．【點睛】本題考查了雙曲線的軌跡問題，根據(jù)直線和雙曲線的位置求參數(shù)，定點問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中利用韋達定理解題是?？嫉念}型，需要熟練掌握. 

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