2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市常熟中學(xué)高二上學(xué)期10月陽(yáng)光調(diào)研數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（    ）A．64 B．72 C．80 D．144【答案】B【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，.故選：B.2．設(shè)是直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A：若，，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，由面面垂直的判斷定理可得，故B正確；對(duì)于C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則或或與相交，故D錯(cuò)誤．故選：B．3．若在 1 和 16 中間插入 3 個(gè)數(shù)，使這 5 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則公比 為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，從而可求出.【詳解】解：成等比數(shù)列，∴根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)得：，，故選：A.4．等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（    ）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得，當(dāng)證得為遞增數(shù)列，反之亦可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，若，則關(guān)于n的函數(shù)單調(diào)遞增，所以數(shù)列為遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列，則，即，解得.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：A5．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，給出下列4個(gè)條件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一個(gè)條件不成立，則該條件為（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為，，，，即，即.當(dāng)，時(shí)，①③④均成立，②不成立.故選：B6．已知兩點(diǎn)，，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形，求出的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線(xiàn)的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.【詳解】如圖所示，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率．由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)與線(xiàn)段有交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，因此直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是．故選：C7．在公差不為0的等差數(shù)列中，，，，，成公比為4的等比數(shù)列，則（    ）A．84 B．86 C．88 D．96【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)，，，，成公比為4的等比數(shù)列，由，得，再結(jié)合求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?/span>，，，，成公比為4的等比數(shù)列，所以，所以，得．所以，所以．即，解得．故選：B．8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且，若對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由與的關(guān)系得，則，設(shè)，利用數(shù)列的單調(diào)性即可求解．【詳解】解：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，所以，故，因?yàn)?/span>，所以，所以，，，，則，故，所以，所以，因?yàn)?/span>對(duì)任意都成立，所以．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此即，故的最小值為．故選：C【點(diǎn)睛】本題解答的關(guān)鍵利用求出數(shù)列的遞推公式，再利用累加法求出的通項(xiàng)； 二、多選題9．在等差數(shù)列 中，若 ，則（    ）A．B．C． 的最大值為 45D． 時(shí)， 的最大值為 19【答案】ABC【分析】先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求出及即可判斷選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)列的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)的正誤，解關(guān)于的不等式即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知條件得，，解得，，則, 則選項(xiàng)均正確；，此數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，其中，則數(shù)列的前項(xiàng)和或前項(xiàng)和最大，即的最大值為, 則選項(xiàng)正確；，解得，且, 則的最大值為，則選項(xiàng)不正確；故選：.10．已知單調(diào)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，其公比為q，前n項(xiàng)和，則下列選項(xiàng)中正確的有（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由已知條件解得等比數(shù)列首項(xiàng)與公比后，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，代入驗(yàn)證各選項(xiàng)即可解決.【詳解】單調(diào)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列中，公比為由，可得或（舍），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)和選項(xiàng)A：.判斷正確；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：.判斷正確.故選：AD11．關(guān)于無(wú)窮數(shù)列{an}，以下說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．若數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，則{}也是等比數(shù)列B．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則{}也是等差數(shù)列C．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{}是等差數(shù)列，則{an}為等差數(shù)列D．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則依次取出該數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列【答案】AD【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷A，利用特例可判斷B，利用與的關(guān)系可判斷C，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，則＝q，則有＝，即{}也是等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，設(shè)an＝n，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，但{}不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且{}是等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，又，，不一定等于，∴{an}不一定為等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，依次取出該數(shù)列中所有序號(hào)為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成的新數(shù)列為{}，有，則組成的新數(shù)列一定是等差數(shù)列，D正確；故選：AD．12．下列命題正確的有（   ）A．若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項(xiàng)的和最大D．若 ，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040【答案】BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷；D.利用數(shù)列并項(xiàng)求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；B. 為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；C. 因?yàn)?/span>，則，，則，所以，，所以數(shù)列前項(xiàng)的和最大，故正確；D. 因?yàn)?/span>，所以數(shù)列的前2020項(xiàng)和為：，，故正確.故選：BCD 三、填空題13．直線(xiàn)：，：，若，則________．【答案】2【分析】由兩直線(xiàn)平行的判定列方程求參數(shù)，注意驗(yàn)證排除重合的情況.【詳解】由題設(shè)，，則，所以或，當(dāng)，：，：重合，不合題設(shè)；當(dāng)，：，：平行，滿(mǎn)足題設(shè)；故.故答案為：214．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，則 __________.【答案】【解析】對(duì)遞推關(guān)系多遞推一次，再相減，可得，再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足；【詳解】∵①時(shí)，②①-②得，時(shí)，滿(mǎn)足上式，.故答案為：.【點(diǎn)睛】數(shù)列中碰到遞推關(guān)系問(wèn)題，經(jīng)常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.15．已加數(shù)列滿(mǎn)足，若恒成立.則a的取值范圍是_________．【答案】【分析】由數(shù)列的單調(diào)性列式求解【詳解】由題意得數(shù)列單調(diào)遞減，則解得，故答案為： 四、雙空題16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（），則的值為________，的值為________.【答案】     99     4950【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】將代入得，由①得②，②①得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是以2為公差的等差數(shù)列，，   ，故答案為：99 ;  4950. 五、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．公差（其中）．(1)求m；(2)求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算即得；（2）由題可得及，進(jìn)而即得.【詳解】（1）∵是等差數(shù)列，，所以，解得，即；（2）由（1）可知，∴，∴.18．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足*．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，即.（2）令，所以，所以19．如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面AEC；（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）連BD，設(shè)BD∩AC=O，連EO，根據(jù)E是PD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，得到．再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明. （2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面AEC的一個(gè)法向量，又為平面DAE的一個(gè)法向量，然后利用公式求解.【詳解】（1）如圖所示：連BD，設(shè)BD∩AC=O，連EO，因?yàn)?/span>E是PD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?/span>平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)為平面AEC的一個(gè)法向量，則，令，則，又為平面DAE的一個(gè)法向量，由向量的夾角公式，可得所以二面角的平面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的判定定理，二面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理、運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，(1)求的通項(xiàng)公式：(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值.【答案】(1)(2)142 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）解：∵的前n項(xiàng)和為，當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則=，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，滿(mǎn)足.故；（2）因?yàn)?/span>與之間插入個(gè)1，所以在中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)k＝6時(shí)，，當(dāng)k＝7時(shí)，，所以，，且．因此.21．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.【答案】（1）.（2）【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）求得的表達(dá)式，然后利用裂項(xiàng)求和法求得的前項(xiàng)和.利用差比較法證得數(shù)列遞增，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，得，由，得，兩式相減，得，即，即因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.因此，，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以，所以，所以，，，令，則，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列遞增，所以，又，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，求和公式以及裂項(xiàng)相消求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.22．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)若，求出所有的有序數(shù)組（其中），使得依次成等差數(shù)列？（本小題給出答案即可，無(wú)需解答過(guò)程）【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的關(guān)系，結(jié)合累加法求解即可；（2）將題意轉(zhuǎn)換為存在，使得成立，即求的最大值.再計(jì)算的正負(fù)區(qū)間，確定的最大項(xiàng)即可；（3）逐步分析，先判斷當(dāng)時(shí)不滿(mǎn)足，再分析當(dāng)，時(shí)也不滿(mǎn)足，從而得到，再分析時(shí)有兩組解或，再證明當(dāng)時(shí)，不成等差數(shù)列即可.【詳解】（1）∵，①∴當(dāng)時(shí)，，②①②得：即，，由累加法得：時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，亦滿(mǎn)足上式，∴.（2）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，所以，因?yàn)榇嬖?/span>，使得成立，所以存在成立，令，則，∵，∴時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，又因?yàn)?/span>，所以.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為：（3），由（2）知，因?yàn)?/span>，且，故若，則，，故，即不成等差數(shù)列，故.若，則，又，故不成等差數(shù)列，故.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，解得.此時(shí)或，，，為或，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，且，故，即，故，即當(dāng)時(shí)，.又，故，故不成等差數(shù)列.綜上所述，有序數(shù)組為或. 

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