2022-2023學年江蘇省南通市通州區(qū)高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．直線不經(jīng)過（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】分析直線的斜率及在軸上的截距即可.【詳解】由可得：，所以直線的斜率，軸上的截距為，所以直線不經(jīng)過第一象限，故選：A2．已知圓：，則該圓的圓心坐標為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把一般方程化為標準方程即可求解【詳解】圓：化為標準方程得，所以圓心坐標為，故選：D3．若直線：與直線：垂直，則實數(shù)的值為（    ）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線垂直的關系列式求解作答.【詳解】因直線：與直線：垂直，則有，解得.故選：B4．直線被圓截得的弦長為（    ）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由垂徑定理求解即可【詳解】因為圓的圓心為，半徑為2，且圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長為，故選：C5．已知雙曲線的焦點為，，點在雙曲線上，滿足，，則雙曲線的標準方程為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，求解即可【詳解】由題意可知雙曲線方程為且，解得，所以雙曲線的標準方程為，故選：B6．若點，分別在橢圓和直線上運動，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，利用點到直線的距離公式轉化為三角函數(shù)的最值，即可求解【詳解】由橢圓方程可設，則到直線的距離為，當時，，所以的最小值為，故選：A7．設橢圓：的左?右頂點為，，左?右焦點為，，上?下頂點為，，關于該橢圓，有下列四個命題：甲：；乙：；丙：離心率為；丁：四邊形的面積為.如果只有一個假命題，則該命題是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】先由甲乙丙丁都為真得到有關等式，在分別討論即可求解【詳解】若甲為真命題，則；若乙為真命題：；若丙為真命題，則；若丁為真命題，則；當甲乙都為真時，有，解得，則，此時，，則丙和丁都是假命題；所以甲乙不可能同時為真，且必有一真一假，故丙和丁都為真；若甲、丙和丁為真，則，解得，此時，符合題意；若乙、丙和丁為真，則，解得，此時，不符合題意；綜上可知：乙命題為假命題故選：B8．設橢圓：的上頂點為，左?右焦點分別為，，連接并延長交橢圓于點，若，則該橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的條件，結合橢圓定義用a表示，在中利用余弦定理列式計算作答.【詳解】依題意，，由得：，而，于是得，令橢圓半焦距為c，有，如圖，在中，由余弦定理得：，即，整理得，因此，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C 二、多選題9．已知直線：，則（    ）A．直線的傾斜角為B．直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為C．點到直線的距離為2D．直線關于軸對稱的直線方程為【答案】ACD【分析】由斜率與傾斜角的關系可判斷A；求出直線與坐標軸的截距可判斷B；由點到直線的距離公式可判斷C；由點關于軸對稱的特征，代入求解可判斷D【詳解】對于A：因為直線：的斜率為，所以直線的傾斜角為，故A正確；對于B：令，則；令，則；所以直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，故B錯誤；對于C：點到直線的距離為，故C正確；對于D：設在直線關于軸對稱的直線上，則關于軸對稱的點在直線上，則有，即，所以直線關于軸對稱的直線方程為，故D正確；故選：ACD10．設雙曲線：的焦點為，，若點在雙曲線上，則（    ）A．雙曲線的離心率為2 B．雙曲線的漸近線方程為C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，求出b，并求出雙曲線實半軸長、半焦距，再逐項計算判斷作答.【詳解】依題意，，解得，雙曲線：的實半軸長，半焦距，雙曲線的離心率，A不正確；雙曲線的漸近線方程為，B正確；，C正確；，，則，有，D不正確.故選：BC11．已知點在直線：上，過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則（    ）A．存在點，使得四邊形為菱形 B．四邊形的面積最小值為C．的外接圓恒過兩個定點 D．原點到直線的距離不超過【答案】BCD【分析】由到直線距離結合已知條件可判斷AB；由點共圓以及點求出直線，利用點到直線的距離可判斷CD【詳解】對于A：當四邊形為菱形時，，則，又到直線的距離為，所以不存在點，使得四邊形為菱形，故A錯誤；對于B：由A可知，，所以四邊形的面積，所以四邊形的面積最小值為，故B正確；對于C：設，由圖象可知四點在以為直徑的圓上，圓的方程為，即，令，解得或，所以的外接圓恒過兩個定點，故C正確；對于D：過的圓的方程為，由得直線的方程為：，則原點到直線的距離為 ，故D正確；故選：BCD.12．已知拋物線：的焦點為，準線為，經(jīng)過點的直線與拋物線相交，兩點，，在上的射影分別為，，與軸相交于點，則下列說法正確的是（    ）A． B．C．若，則 D．若，，則【答案】ACD【分析】設，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達定理，得到，即得選項A正確；，所以選項B錯誤；求出即得選項C正確；由題得,求出，即得選項D正確.【詳解】解：設，則，當直線斜率顯然不能為零，設其方程為，聯(lián)立拋物線方程得，所以 .所以，所以，所以選項A正確；所以，所以選項B錯誤；如圖，設 過點作 ，則，由題得直線的斜率為, 所以，所以，所以選項C正確；由題得,所以 ，所以.所以.所以選項D正確.故選：ACD 三、填空題13．寫出一個關于直線對稱的圓的標準方程___________.【答案】（答案不唯一，形如）【分析】設出圓心坐標，利用圓心在直線上可得圓心滿足的條件，設圓的半徑為1，即可得到答案.【詳解】設圓心坐標為，半徑為，則圓的方程為因為圓關于對稱，所以在直線上，則，則圓的方程，取，設圓的半徑為1，則圓的方程，故答案為： (不唯一，形如)14．已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為___________.【答案】【分析】利用直角三角形的幾何性質得出，利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】在平面直角坐標系中，，則為直角三角形，且為斜邊，故.故答案為：15．已知一個拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差為，暴雨后的水面寬為，暴雨來臨之前的水面寬為，則暴雨后的水面離拱頂?shù)木嚯x為___________.【答案】##【分析】根據(jù)題意，以拋物線頂點為坐標原點，對稱軸為軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，進而且，再計算得，進而得答案.【詳解】如圖，以拋物線頂點為坐標原點，對稱軸為軸建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為，由已知得且，所以，解得，所以，即暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x為故答案為： 四、雙空題16．已知雙曲線的左?右焦點分別為、，若點在雙曲線的漸近線上，且，則的面積最大值為___________，實數(shù)的最小值為___________.【答案】          【分析】（1）設，由題意可知點在圓上，則到軸的最大距離為，即可求面積的最大值；由漸近線與圓有交點可求實數(shù)的最小值.【詳解】設，由得，整理得，即，所以點在圓上，則到軸的最大距離為，所以的面積最大值為；又漸近線與圓有交點，所以，即，整理得，解得，所以實數(shù)的最小值為，故答案為：；. 五、解答題17．已知橢圓的焦點為，該橢圓經(jīng)過點P（5,2）（1）求橢圓的標準方程；（2）若橢圓上的點滿足，求y0的值.【答案】（1）（2）       【詳解】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義得a，再根據(jù)c求b（2）由得,再與橢圓方程聯(lián)立解得y0的值.試題解析：（1）依題意，設所求橢圓方程為 其半焦距c=6.因為點P（5,2）在橢圓上，所以所以故所求橢圓的標準方程是 （2）由得 即代入橢圓方程得： 故    18．已知的頂點，邊上的高所在直線的方程為，邊上的中線所在直線的方程為.(1)求點B的坐標；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知，直線的斜率為，則直線的斜率為1，由，可得直線的方程，直線和直線交點為B，可求出點B的坐標；（2）設點，根據(jù)中點坐標公式，可得點的坐標為，代入所在直線的方程可求出點C所在直線方程，聯(lián)立所在直線的方程，求出點C的坐標，即可求出直線的斜率，利用點斜式即可求出直線的方程.【詳解】（1）因為直線的斜率為，，所以直線的斜率為1，又因為，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，故點B的坐標為.（2）設點，所以.因為點是邊的中點，所以點的坐標為，因為邊上的中線所在直線的方程為，所以，即.聯(lián)立，解得，所以點的坐標為，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.19．在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離與到直線的距離相等.(1)求點的軌跡方程；(2)設不經(jīng)過原點的直線與點的軌跡相交于A，B兩點，___________.①若直線經(jīng)過點，則；②若，則直線經(jīng)過定點.在①②中任選一個補充在上面的橫線上，并給出證明.（注：如果選擇兩個命題分別證明，按第一個證明計分.）【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）方法1：設，根據(jù)兩點間距離公式即可列出方程，整理后得出點的軌跡方程；方法2：根據(jù)拋物線的定義，可知點的軌跡為拋物線，焦點為，則，即可得出點的軌跡方程；（2）選①：設直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理可求出，可證明；選②：設直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理可求出，由于，所以，解得，可證明直線經(jīng)過定點.【詳解】（1）方法1：設，因為點到點的距離與到直線的距離相等，所以，整理得，所以點的軌跡方程為.方法2：因為點到點的距離與到直線的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為.（2）選①.由題意可知，直線的斜率不為0，設直線的方程為.聯(lián)立，消，得，，設，，則，所以，所以，故.選②.由題意可知，直線的斜率不為0，且不經(jīng)過原點，設直線的方程為.聯(lián)立，消，得，，設，，則.所以，因為，所以，，所以，解得或（舍），此時，，故直線經(jīng)過定點.20．已知圓：，圓：.(1)若兩圓相交，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得兩圓公共弦的長度為2？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）由圓與圓的位置關系求解即可；（2）由點直線的距離結合勾股定理求解即可【詳解】（1）由題意，得，半徑，，半徑，因為兩圓相交，所以，所以，即，解得，又因為，所以，故的取值范圍為.（2）兩圓的公共弦所在直線方程為，假設存在實數(shù)，使得兩圓公共弦的長度為2，因為，半徑，所以點到直線的距離，又因為，所以，解得，因為，所以.21．已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，右頂點為，點，，.(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于，兩點，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或或或 【分析】（1）由題意得，求解即可；（2）設：，聯(lián)立，由根與系數(shù)的關系結合三角形面積求解即可【詳解】（1）由題意，得，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，設：，聯(lián)立，消，得，由，解得.設，，則.所以，所以的面積，由，化簡，得，解得，，，，所以直的方程為或或或.22．在平面直角坐標系中，已知雙曲線與橢圓，A，B分別為的左?右頂點，點在雙曲線上，且位于第一象限.(1)直線與橢圓相交于第一象限內的點，設直線，，，的斜率分別為，，，，求的值；(2)直線與橢圓相交于點（異于點A），求的取值范圍.【答案】(1)0(2) 【分析】（1）方法1：設直線，聯(lián)立雙曲線方程和橢圓方程，求得P，M兩點坐標，因為，，則可求出，，所以；方法2：設，，因為點在雙曲線上，點在橢圓線上，得出x，y的關系，即可求出，，再利用，，三點共線，即可求出的值.（2）設直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程求出點坐標，聯(lián)立橢圓方程求出N點坐標，即可求出，因為點位于第一象限，可求k的取值范圍，則可求出函數(shù)值域，即的取值范圍.【詳解】（1）方法1：設直線，聯(lián)立，消，得，所以，解得，設，則，所以.聯(lián)立，消，得，設，則，所以.因為，，所以，，所以.方法2設，，因為，，所以，.因為點在雙曲線上，所以，所以，所以.因為點在橢圓線上，所以，所以，所以.因為，，三點共線，所以，所以.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，消，得，解得，，所以點的坐標為，因為點位于第一象限，所以，解得，聯(lián)立，消，得，解得，，所以點的坐標為，所以，設，則，所以.因為函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，所以當時，，所以，所以，即，故的取值范圍為.【點睛】（1）此題考查橢圓與雙曲線對稱性辨析，求解直線與曲線交點坐標，根據(jù)坐標表示斜率之積和斜率之和證明結論.（2）解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系． 

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