2022-2023學年江蘇省南通市如皋市高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．若一條直線經(jīng)過兩點和，則該直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意結合直線的斜率公式求出該直線的斜率，即可求出直線的傾斜角.【詳解】因為一條直線經(jīng)過兩點和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2．數(shù)列的前項和為，，則（    ）A．32 B．16 C．15 D．8【答案】B【分析】首先利用公式，判斷數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求.【詳解】因為，所以時，，所以，整理得，，又所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．故選：B3．已知圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用展開前的底面圓的周長和展開后半圓的弧長相等，列式求得底面半徑，再根據(jù)圓錐表面積公式求解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，∵圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，∴，∴，，∴圓錐的表面積為．故選:C．4．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【詳解】試題分析：，,故選D.【解析】點線面的位置關系. 5．我國明代數(shù)學家、音樂理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律，他是第一個利用數(shù)學使音樂公式化的人·十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，從第二個半音開始每一個半音與前一個半音的頻率之比為同一個常數(shù)，如下表所示，其中，，…，表示這些半音的頻率，若半音G與的頻率之比為，則與A的頻率之比為（    ）頻率半音CDEFGABC(八度) A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質求解即可.【詳解】由題可知：，又第二個半音開始每一個半音與前一個半音的頻率之比為同一個常數(shù)，所以為等比數(shù)列，且，所以，所以．故選：B6．已知是雙曲線的一條準線，是上的一點，，是C的兩個焦點，若，則點到軸的距離為（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程求出與雙曲線的準線方程，不妨設是右準線，可設點坐標為，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求出，即可得解.【詳解】解：雙曲線，所以，，所以焦點為，，又雙曲線的準線方程為，不妨設是右準線，可設點坐標為，則，，由，即，解得．所以點到軸的距離為．故選：C7．等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質與累加法求解，【詳解】根據(jù)題意得，，解得，故，時，，故．故選：A8．已知圓，圓，過點兩條互相垂直的直線，，其中與圓交于A，B，與圓交于C，D，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先寫出過定點的兩條直線方程，并求得圓心到對應直線的距離，結合弦長公式，，以及，列式求直線的斜率，最后求弦長的值.【詳解】設，到直線AB，CD的距離分別為，，若過定點的直線分別為和，則，不滿足條件，當兩直線的斜率都存在時，設直線，斜率分別為，，則，直線，方程分別為，，由點到直線距離公式可得：,，又，，整理可得， 所以．故選：A 二、多選題9．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則（    ）A．數(shù)列，，成等比數(shù)列B．數(shù)列，，成等比數(shù)列C．數(shù)列，，成等比數(shù)列D．數(shù)列，，成等比數(shù)列【答案】BD【分析】根據(jù)比數(shù)列的定義，逐一判斷選項.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，A.由等比數(shù)列的性質知，，當時，，故A錯誤；B.可知數(shù)列，，每項都不為0，且，故B正確．C.當數(shù)列為1，，1，，1……時，，故C錯誤；D.數(shù)列，，的每一項都不為0，且，故D正確.故選：BD10．某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑為40mm，滿盤時直徑為120mm，已知該衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，為了求出滿盤時衛(wèi)生紙的總長度，下列做法正確的是（    ）A．從底面看，可以將繞在盤上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.0，21.1，…，59.9B．從底面看，可以將繞在盤上的衛(wèi)生紙看作一組同心圓，由內(nèi)向外各圈的半徑分別是20.05，20.15，…，59.95C．同心圓由內(nèi)向外各圈周長組成一個首項為，公差為的等差數(shù)列D．設卷筒的高度為，由等式可以求出衛(wèi)生紙的總長【答案】BCD【分析】把繞在盤上的紙近似地看作是一組同心圓，從內(nèi)到外，半徑依次組成等差數(shù)列，分別計算出各圓的周長，再由體積求總長即可．【詳解】衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作一組同心圓，取半徑時從每層紙的中間開始算，則由內(nèi)向外各圈的半徑組成首項為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，A選項錯誤，B選項正確；這個等差數(shù)列首項，公差，由，得，解得；設各圈周長的，則，，，所以各圈的周長組成一個首項為，公差為，項數(shù)為400的等差數(shù)列，C選項正確；利用體積相等，可得，D選項正確．故選：BCD11．已知雙曲線，C的兩條漸近線分別為，，點為C右支上任意一點，它到，的距離分別為，，到右焦點的距離為，則（    ）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】CD【分析】首先由點到直線的距離，以及兩點間距離，分別表示，并設右焦點到漸近線距離為，根據(jù)雙曲線的性質判斷A；根據(jù)的式子，結合二次函數(shù)值域，可求的范圍，判斷B；結合基本不等式判斷C；利用數(shù)形結合判斷D.【詳解】由題可知，，，，設，右焦點到漸近線距離為， 漸近線方程為：，，不妨設所對應的直線分別為，，，，，，故B錯誤；，當且僅當時等號成立，故C正確；由圖可知，，故D正確；由雙曲線性質，雙曲線無限接近漸近線，所以的最小值無限接近于0，所以無最小值，故A錯誤；由雙曲線對稱性，，，所對應的直線分別為，時仍成立．故選：CD12．如圖，已知正方體的棱長為1，，分別為正方體中上、下底面的中心，，，，分別為四個側面的中心，由這六個中心構成一個八面體的頂點，則（    ）A．直線與直線所成角為 B．二面角的正切值為C．這個八面體的表面積為 D．這個八面體外接球的體積為【答案】ACD【分析】A.根據(jù)幾何關系，將異面直線所成角，轉化為相交直線所成角；B.構造二面角的平面角，再根據(jù)余弦定理求解，轉化為正切值；C.根據(jù)幾何體的特征，計算一個等邊三角形的面積，再求八面體的表面積；D.由幾何體確定外接球的球心和半徑，再求外接球的體積.【詳解】A.連結，交于點，由正方體的性質可知，點平分，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以直線與直線所成角為,因為八面體的由8個全等的等邊三角形構成，所以，故A正確；B. 取的中點，的中點，連結，，,由圖可知，八面體的表面是8個全等的等邊三角形，四邊形是正方形，所以，，所以是二面角的平面角，等邊三角形的邊長為,所以,，所以,，所以，故B錯誤；C.這個八面體的表面為8個全等的等邊三角形，等邊三角形的邊長為 可求得，所以八面體的表面積為，故C正確；D.八面體外接球的球心即為四邊形的中心，外接球的半徑為，八面體外接球的體積為，故D正確．故選：ACD 三、填空題13．已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項和為__________．【答案】##【分析】由裂項相消法求解，【詳解】，的前8項和為．故答案為：14．已知數(shù)列的前項之和為，滿足，且，則時，__________．【答案】【分析】先得到是等比數(shù)列，求出，從而利用時，求出答案.【詳解】∵，，∴是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴時，．故答案為：.15．在正三棱錐中，O為底面的中心，，，，，分別在棱PA，PB，PC上，且，圓柱的上底面是的內(nèi)切圓，下底面在平面ABC內(nèi)，則圓柱的側面積為__________．【答案】##【分析】首先根據(jù)比例關系計算正的邊長，再計算其內(nèi)切圓半徑，以及圓柱的高，最后根據(jù)圓柱的側面積公式求解.【詳解】由，得，易得正的內(nèi)切圓半徑，易得圓柱的高為2，所以圓柱的側面積為.故答案為： 四、雙空題16．已知V為圓錐頂點，圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，過點A作與底面成的平面，此平面與圓錐側面的交線為橢圓，則橢圓的長軸長為__________；離心率為__________．【答案】          【分析】首先作圖，找到橢圓的長軸，根據(jù)幾何體，即可求解；首先找到短軸長，再根據(jù)圓內(nèi)相交弦定理，求解短半軸長，再根據(jù)橢圓的性質求離心率.【詳解】設橢圓所在平面為，平面與母線VB交于點C，則就是與底面所成角，且AC為橢圓的長軸，如圖所示，又是等邊三角形，由，，得，故，即橢圓的長軸長為．過橢圓中心O作平行于圓錐底面的截面圓形，交VA，VB于D，E，交橢圓于兩點P，Q，則P，Q即是橢圓短半軸頂點，在所作的圓中，DE為直徑，因為軸截面是邊長為2的正三角形，O為AC的中點，所以，．因為，所以，由相交弦定理可得，所以短半軸長，故，離心率為．故答案為：； 五、解答題17．設等差數(shù)列的前項和為，已知，．(1)求；(2)若為與的等比中項，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由已知條件，列式后解方程組，求數(shù)列的首項和公差，再求通項公式；（2）首先由題意得，，代入通項公式后，求.【詳解】（1）設等差數(shù)列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18．在正四棱錐中，已知，，，分別為，的中點，平面平面．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）連接，即可得到，從而得到平面，根據(jù)線面平行的性質即可得證；（2）連接交于點，連接，根據(jù)正四棱錐的性質得到平面，即可得到，再由，即可得到平面，再根據(jù)計算可得.【詳解】（1）證明：連接，∵，分別為，的中點，∴又∵平面，平面，∴平面，又∵平面，平面平面，∴（2）解：連接交于點，連接，在正四棱錐中，四邊形為正方形，∴為正方形中心∴平面，又∵平面，∴，因為，，，平面，所以平面，即AO為點到平面的距離，，在中，，所以，所以．19．已知數(shù)列滿足且，．(1)求通項；(2)求數(shù)列的前項之和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式的分段形式，分別求為奇數(shù)和偶數(shù)的通項公式;（2）由（1）可知，利用錯位相減法求和.【詳解】（1）當為奇數(shù)時，由知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，∴，為奇數(shù)；當為偶數(shù)時，由知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴，為偶數(shù)∴；（2）記，相減得：∴20．已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關于直線對稱，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將點代入橢圓方程，即可求解橢圓方程；（2）法一，利用點差法，求線段的中點坐標，并求得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦長；法二，首先設直線，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理得到中點坐標，代入對稱直線求，再同法一，求弦長.【詳解】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一  設及AB中點，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M在直線上，所以，解得：， 即，直線，化簡為：聯(lián)立 整理得：，由韋達定理知 由弦長公式得：．法二  設直線，聯(lián)立， 整理得：，則中點，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立 整理得：，由韋達定理知 由弦長公式得：．21．在正四棱柱中，已知，，E為棱的中點．(1)求證：；(2)求與平面所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）要證明線線垂直，轉化為證明線面垂直，即證明面；（2）首先證明平面平面，說明為所求角，再根據(jù)余弦定理求解.【詳解】（1）連結AC交BD于點O，連結．在正四棱柱中，面ABCD，又∵ABCD，∴∵四邊形ABCD為正方形，∴又∵，，面，∴面，又∵面∴（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，又面面，∴為直線與平面所成的平面角，∵正四棱柱中，，，分別在，，中，解得，，所以，故與平面所成角的余弦值為．22．已知圓，拋物線，過原點作圓C的切線交拋物線于A，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設P是拋物線E上一點，過點P作圓C的兩條切線分別交拋物線E于Q，R，若直線的斜率為，求P的坐標．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由點到直線的距離公式得切線方程，與拋物線方程聯(lián)立后解得點坐標，由兩點距離列式求解，（2）由點差法化簡得斜率，得切線方程后由點到直線的距離公式列式求解，【詳解】（1）設直線，，解得：，由對稱性，不妨取，解得，，∴解得：，∴拋物線．（2）設，滿足，設滿足，，即，，直線，化為一般式為：，由題意知：，化簡得：；同理，故，為方程：的兩根化簡整理為：，由韋達定理知：，解得或，∴或 

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