2022-2023學(xué)年江蘇省淮安市漣水縣第一中學(xué)高二上學(xué)期第二次階段檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．直線不經(jīng)過(guò)（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】作出直線的圖象，可得出結(jié)論.【詳解】作出直線的圖象如下圖所示：由圖可知，直線不過(guò)第三象限.故選：C.2．若數(shù)列的通項(xiàng)公式，則此數(shù)列（    ）A．是公差為-3的等差數(shù)列 B．是公差為-2的等差數(shù)列C．是公差為3的等差數(shù)列 D．是首項(xiàng)為3的等差數(shù)列【答案】B【分析】結(jié)合求出和，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，只有B項(xiàng)符合.故選：B3．準(zhǔn)線方程為的拋物線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用拋物線的定義求出準(zhǔn)線方程，得到答案.【詳解】的準(zhǔn)線方程為，A正確；的準(zhǔn)線方程為，B錯(cuò)誤；的準(zhǔn)線方程為，C錯(cuò)誤；的準(zhǔn)線方程為，D錯(cuò)誤.故選：A4．已知為等差數(shù)列，則（    ）A．4 B．5 C．10 D．15【答案】B【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出，從而得到.【詳解】因?yàn)?/span>為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，解得：，.故選：B5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為（    ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】利用求解即可.【詳解】，，故.故選：D6．以點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)出圓的方程，由圓心到直線距離等于半徑，得到答案.【詳解】設(shè)圓的方程為，故，故圓的方程為.故選：D7．在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，且，則它的公比q的值為（    ）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】C【分析】分類(lèi)討論q是否為1，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可解得q的值.【詳解】當(dāng)q=1時(shí)，，滿足.當(dāng)時(shí)，由已知可得，，顯然，.所以，有，解得，q=1（舍去）或.綜上可得，q=1或.故選：C.8．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，左、右焦點(diǎn)為、，上、下頂點(diǎn)為、，關(guān)于該橢圓，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：離心率為；丙：；?。核倪呅?/span>的面積為.如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【分析】對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)命題分別為假命題進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)已知條件得出關(guān)于、、的方程組，判斷方程組是否有解，即可得出結(jié)論.【詳解】若命題甲為假命題，則，該方程組無(wú)解，故命題甲不為假命題；若命題乙為假命題，則，該方程組無(wú)解，故命題乙不是假命題；若命題丙是假命題，則，解得，此時(shí)，合乎題意；若命題丙為假命題，則，該方程組無(wú)解，故命題丙不為假命題.故選：C. 二、多選題9．已知圓M的一般方程為，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．圓M的半徑為4B．圓M關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．點(diǎn)在圓M外D．實(shí)數(shù)x，y滿足圓M的方程，則的最小值是5【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出半徑為5，A錯(cuò)誤；得到圓心在直線上，得到圓M關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；求出與圓心的距離得到點(diǎn)在圓外，C正確；將看作圓M上的點(diǎn)到的距離，得到最小值為的長(zhǎng)減去半徑5，求出答案.【詳解】變形為，圓心為，半徑為5，A錯(cuò)誤；由于滿足，故圓心在直線上，故圓M關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；與的距離為，故點(diǎn)在圓M外，C正確；實(shí)數(shù)x，y滿足圓M的方程，則，則可看作圓M上的點(diǎn)到的距離，故最小值是的長(zhǎng)減去半徑5，即，D正確.故選：BCD10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．是等差數(shù)列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由與的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)，從而可判斷AB，根據(jù)數(shù)列性質(zhì)可判斷C，根據(jù)前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合，故，所以，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差，A正確；，B正確；因?yàn)楣?/span>，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以，C錯(cuò)誤；，易知當(dāng)或時(shí)，有最大值，D錯(cuò)誤.故選：AB11．已知數(shù)列{}中，，，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若{}是等比數(shù)列，則=-8或8 B．若{}是等比數(shù)列，則或-16C．若{}是等差數(shù)列，則=17 D．若{}是等差數(shù)列，則公差為【答案】BCD【分析】分類(lèi)討論根據(jù)等差等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)即可進(jìn)行判斷.【詳解】由已知，當(dāng)數(shù)列{}為等差數(shù)列時(shí)：，解得，故D正確，解得，故C正確. 當(dāng)數(shù)列{}為等比數(shù)列時(shí)：，所以，解得 ，故A錯(cuò)誤.，故B正確.故選：BCD12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線上，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．該雙曲線的離心率為B．該雙曲線的漸近線方程為C．若，則的面積為9D．點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積為【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，求出，得到離心率；B選項(xiàng)，根據(jù)公式求出漸近線方程；C選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線定義得到，由勾股定理求出，從而聯(lián)立得到，得到三角形面積；D選項(xiàng)，設(shè)出，則，求出點(diǎn)P到兩漸近線的距離，相乘后求出答案.【詳解】中，，故，所以雙曲線離心率為，A正確；該雙曲線的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；由雙曲線定義得：，，因?yàn)?/span>，所以，故，解得：，故的面積為，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，即，點(diǎn)P到兩漸近線的距離分別為：，故點(diǎn)P到兩漸近線的距離乘積為，D正確.故選：AD 三、填空題13．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的離心率公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】由已知可得，，可得，，所以，，解得.故答案為：.14．在等比數(shù)列中，若、是方程的兩根，則的值是______.【答案】【分析】分析出，利用韋達(dá)定理結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】對(duì)于方程，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即、同號(hào)，由韋達(dá)定理可得，則、均為負(fù)數(shù)，，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，.故答案為：.15．如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為2cm時(shí)，水面寬度為6cm，當(dāng)水面再上升2cm時(shí)，水面寬度為______cm.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線方程，進(jìn)而得到時(shí)，，求出水面寬度.【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，由題意得：點(diǎn)在拋物線上，所以，解得：，拋物線方程為，則當(dāng)水面再上升2cm時(shí)，即時(shí)，故，解得：，故水面寬度為cm.故答案為：. 四、雙空題16．有兩個(gè)等差數(shù)列、，其前項(xiàng)和分別為、.（1）若，則______；（2）若，則______. 【答案】     ##     【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可求得出，即可得解；（2）設(shè)，，其中，求出、，即可得出的值.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?/span>，設(shè)，，其中，則，，因此，.故答案為：（1）；（2）. 五、解答題17．等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；(2)設(shè)等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可求得、的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得的表達(dá)式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的表達(dá)式；（2）設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出、的值，利用等比數(shù)列的的求和公式可求得的表達(dá)式.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，可得，，解得，則.所以，.（2）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，所以，.18．已知圓C：，直線l：(1)求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)；(2)求直線l被圓C所截的弦長(zhǎng)的最大值與最小值；并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)最長(zhǎng)弦為6；最小弦長(zhǎng)為4，  【分析】（1）直線整理為關(guān)于的方程，則前面系數(shù)為0，常數(shù)項(xiàng)為0，解出關(guān)于的方程組即可；（2）最長(zhǎng)弦為過(guò)點(diǎn)的直徑，最短弦時(shí)，直線與垂直，則斜率相乘為，解出即可.【詳解】（1）證明：由直線方程可以整理為：，則，所以，恒過(guò)定點(diǎn).（2）圓心，半徑，令定點(diǎn)，最長(zhǎng)弦為過(guò)點(diǎn)M的直徑，長(zhǎng)為6．最小弦長(zhǎng)時(shí)直線l與CM垂直，圓心，，此時(shí)弦長(zhǎng)為,故弦長(zhǎng)最小值為4，，∴，解得.19．?dāng)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，當(dāng)時(shí)，.(1)證明：是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）將遞推式變形為，消去即可證明，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）變形得，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算，再觀察即可得結(jié)果.【詳解】（1）由得因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，故，，又所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.即；（2）由（1）得，，，則，，即.20．已知橢圓C：，，分別為其左?右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，離心率，過(guò)作傾斜角為60°的直線 l ，直線 l 與橢圓交于A，B兩點(diǎn).(1)求線段AB的長(zhǎng)；(2)求的周長(zhǎng)和面積.【答案】(1)；(2)的周長(zhǎng)為，面積為. 【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)離心率結(jié)合條件可得橢圓方程，進(jìn)而可得直線方程，然后利用韋達(dá)定理法及弦長(zhǎng)公式即得；（2）利用橢圓的定義及三角形面積公式即得.【詳解】（1）∵橢圓的短軸長(zhǎng)為2，∴，又∵，∴，∴橢圓C的方程為：，，，設(shè)，，直線 l 的方程為：，由，可得，所以，，所以；（2）由于，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，因?yàn)?/span>到直線l：的距離為，所以的面積.21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若存在使得成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）結(jié)合，可證明是等比數(shù)列，求解即可；（2）乘公比錯(cuò)位相減法求和可得，代入，化簡(jiǎn)可得恒成立，結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）∵，當(dāng)可得，，∴，即是以1為首項(xiàng)，的等比數(shù)列，∴.（2）∵,∴,,兩式相減：,∴,∴,∴,即存在使成立,∵隨著n增大，在減小,∴當(dāng)時(shí)，.22．已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出，再根據(jù)漸近線方程及，求出，，得到雙曲線方程；（2）設(shè)出直線：，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，的斜率之積為，列出方程，得到，得到直線方程，數(shù)形結(jié)合得到的面積.【詳解】（1）由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以，又，解得：，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立，則，所以，， 由，解得或（舍去），                所以，，：，令，得，，所以的面積為. 

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