一、單選題
1．已知向量若則（ ）
A．B．1C．D．1
【答案】D
【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)公式求解即可
【詳解】因為，
所以，即，
解得．
故選：D．
2．已知直線，若，則與之間的距離（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先求，再根據(jù)平行線間距離公式求解.
【詳解】因為，所以，即，兩平行線之間的距離.
故選：B
3．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則（ ）
A．25B．40C．44D．55
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解.
【詳解】等差數(shù)列中，，則，則.
故選：D．
4．已知三棱柱，點為線段上一點，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)空間向量的運算，利用基底表示向量.
【詳解】由題意得，
因為，，所以
.
故選：D.
5．已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標(biāo)為2，則（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合已知可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，由A，B中點的橫坐標(biāo)為2，可得，
所以．
故選：C．
6．若直線與曲線有且僅有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】考慮當(dāng)直線與曲線相切且切點在第四象限時，實數(shù)的值；考查直線分別過點、時，直線與曲線的公共點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由可得，且，故曲線為圓的右半圓，
作出直線與曲線的圖象如下圖所示：
當(dāng)直線即與曲線相切且切點在第四象限時，，且有，解得，
當(dāng)直線過點時，直線與曲線有兩個公共點，此時；
當(dāng)直線過點時，直線與曲線只有一個公共點，此時.
結(jié)合圖形可知，若時，直線與曲線只有一個公共點.
故選：A.
7．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》記有行程減等問題：三百七十八里關(guān)，初行健步不為難次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．意為：某人步行到378里的要塞去，第一天走路強壯有力，但把腳走痛了，次日因腳痛減少了一半，他所走的路程比第一天減少了一半，以后幾天走的路程都比前一天減少一半，走了六天才到達(dá)目的地．請仔細(xì)計算他每天各走多少路程?在這個問題中，第四天所走的路程為（ ）
A．96B．48C．24D．12
【答案】C
【分析】每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)第一天走了里，利用等比數(shù)列基本量代換，直接求解.
【詳解】由題意可知：每天所走的里程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列.
第一天走了里，．
第4天走了.
故選：C．
8．已知F是橢圓的左焦點，經(jīng)過原點O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，若，且，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意設(shè)橢圓右焦點為，根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理可求出的關(guān)系，即可求出橢圓的離心率.
【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接，，
根據(jù)橢圓對稱性可知四邊形為平行四邊形，則，
因為，可得，所以，
則，，
由余弦定理可得，
即，即
故橢圓離心率
故選：C.
二、多選題
9．平面內(nèi)到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線.則（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線關(guān)于軸對稱
C．當(dāng)點在曲線上時，
D．當(dāng)點在曲線上時，點到直線的距離
【答案】AC
【分析】根據(jù)拋物線的定義可判斷曲線C為拋物線，求出其方程，結(jié)合拋物線的性質(zhì)一一判斷各選項，可得答案.
【詳解】由拋物線定義，知曲線C是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
則焦準(zhǔn)距，故其方程為，故A正確；
拋物線關(guān)于y軸對稱，不關(guān)于x軸對稱，故B錯誤；
由知 ，故C正確；
當(dāng)點在曲線上時，由于拋物線開口向上，
當(dāng)點位于原點時，到直線l的距離最小為1，
故點P到直線l的距離 ，所以D錯誤，
故選：.
10．下列命題是真命題的有（ ）
A．平面經(jīng)過三點，，，是平面的法向量，則，
B．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直
C．直線的方向向量為，平面的法向量為，則
D． ，，，是空間四點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么，，，共面
【答案】BD
【分析】根據(jù)平面的法向量和平面的關(guān)系，可求得，判斷A;根據(jù)兩直線的方向向量的數(shù)量積等于0，可判斷B; 根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0，可判斷線面關(guān)系，判斷C;根據(jù)空間向量基底的含義，可判斷，，共面，從而判斷D.
【詳解】對于A， ，由題意知 ，
故 ，解得，A錯誤.
對于B， , 故
可得l與m垂直，B正確；
對于C， , 故
可得在內(nèi)或，C錯誤；
對于D, 是空間四點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，
則，，共面，可得共面,D正確；
故選:
11．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意列方程求得公比，可判斷A;求出，利用等比數(shù)列定義可判斷B；利用，可判斷C；求出，可得的通項公式，判斷D.
【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，即，
又由，可得 或,
又由公比q為整數(shù)，則當(dāng)時,有 ，當(dāng)時, ，不合題意；
對于A，，A正確；
對于B，又由 ，則 ，則，
則，該比值不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯誤，
對于C， ，則 ，C正確，
對于D，， 為等比數(shù)列，則 ，
故 ，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，D錯誤；
故選： ．
12．在正方體中，點M在線段上運動，則下列說法正確的是（ ）
A．直線平面
B．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
C．異面直線AM與所成角的取值范圍是
D．三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【分析】根據(jù)空間點線面之間的關(guān)系，逐項分析判斷即可得解.
【詳解】
對A選項，在正方體中，如圖，又平面，
所以，所以平面，所以，同理，所以直線平面，故A正確；
對選項B，連接交于點，連接交于點，根據(jù)對稱性，當(dāng)點M位于點時，直線與平面所成角最大為，設(shè)正方體的邊長為2，則，此時，故B正確；
對C，由，異面直線AM與所成角為直線AM與所成角，故當(dāng)在點處時所成角最大，此時，所成角為，當(dāng)在點或處時，所成角最小為，故C錯誤；
對D，因為，平面，所以平面，又直線，
所以動點到平面的距離恒定，故三棱錐的體積為定值，D正確，
故選：ABD
三、填空題
13．經(jīng)過點，且垂直于直線的直線方程為________.
【答案】
【分析】根據(jù)兩直線的垂直，確定所求直線的斜率，即可寫出直線的點斜式方程，即得答案.
【詳解】直線的斜率為，故與直線垂直的直線的斜率為，
故經(jīng)過點，且垂直于直線的直線方程為，
即，
故答案為：.
14．已知焦點為，的橢圓的方程為，且，過橢圓左焦點的直線交橢圓于兩點，則的周長為________.
【答案】16
【分析】由題意求得橢圓的半長軸，表示出的周長并化簡，即可得答案.
【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，
故，
所以的周長為，
故答案為：16.
15．已知直三棱柱的所有頂點都在球O的球面上，，則球的表面積為___________．
【答案】
【分析】設(shè)和外接圓的圓心為，，則球心為的中點，在中由正弦定理可求得其外接圓半徑，結(jié)合球的性質(zhì)可求球的半徑，進而求得其表面積．
【詳解】設(shè)和的外心分別為D，E．由球的性質(zhì)可得三棱柱的外接球的球心O是線段的中點，連接，設(shè)外接球的半徑為R，的外接圓的半徑r，因為，由余弦定理可得， 由正弦定理可得，所以，
而在中，可知，即，
因此三棱柱外接球的表面積為．
故答案為：．

16．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項和______．
【答案】
【分析】疊加法求解，再裂項相消法求和即可.
【詳解】∵，∴時，．
∴（），
當(dāng)時也滿足上式，∴（）
∴，（）
∴數(shù)列的前項和
（）
所以數(shù)列的前100項和．
故答案為：．
四、解答題
17．已知公差為2的等差數(shù)列的前項和為，且滿足.
(1)若，，成等比數(shù)列，求的值；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)9.
(2).
【分析】（1）根據(jù)題意可求得等差數(shù)列的通項公式，再利用條件結(jié)合等比中項性質(zhì)列方程，即可求得答案.
（2）由（1）的結(jié)果求得的表達(dá)式，利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項和公式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，
又因為，所以即，得，
所以，
又因為，，成等比數(shù)列，即，
即 ，得 ．
（2）因為，
所以



.
18．已知拋物線上一點到焦點的距離為4.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過焦點的直線與拋物線交于不同的兩點,,為坐標(biāo)原點，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【答案】(1).
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求得，即得答案；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去x，設(shè)，可得，結(jié)合點在拋物線方程上化簡，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由拋物線方程可得焦點為，準(zhǔn)線方程為，
因為點到焦點F距離為4，由拋物線的性質(zhì)可知到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
即 ，解得，
故拋物線方程為：.
（2）證明：因為直線過焦點 ，與拋物線交于不同的兩點,,
所以設(shè)直線方程為 ，
與拋物線方程聯(lián)立即,消去x得 ，
，設(shè)，
所以 ，由于 ，,
所以,
即為定值.
19．已知圓，直線.
(1)求證：直線過定點，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；
(2)當(dāng)時，過圓上點作圓的切線交直線于點，為圓上的動點，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；直線l與圓C恒相交.
(2).
【分析】（1）將直線化為，根據(jù)由于，可得且，即可證明結(jié)論，求得定點坐標(biāo)，說明該點在圓內(nèi)，即可判斷直線和圓的位置關(guān)系.
（2）寫出方程，求得點坐標(biāo)，求出，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：由l的方程得 ，
由于，故且，解得，
即直線過定點，
因為 ，即點M在圓C內(nèi)部，
所以直線l與圓C恒相交.
（2）由題知 ,又時， ，
所以聯(lián)立 ，即得點，
而點，所以 ，
所以 .
20．已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，，點為線段上一動點.
(1)當(dāng)點為中點時，證明：；
(2)當(dāng)平面與平面所成二面角為時，試確定點的位置.
【答案】(1)證明見解析.
(2)M點位于的處，即.
【分析】（1）設(shè)E為的中點，連接,證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（2）作出平面與平面所成二面角的平面角，利用平面角的度數(shù)求得相關(guān)線段的長，計算，即可確定定點的位置.
【詳解】（1）設(shè)E為的中點，連接,
由于點為中點，故,而平面，故平面，
平面，故;
又底面是等邊三角形，故 ,而平面，
所以平面，又平面，
故即 .
（2）如圖，過點M作,垂足為N,由于平面，平面，
故,且平面,故,則平面，
而平面，故,
作,垂足為F,連接,平面，
故平面，平面,所以,
又平面,平面,
即為平面與平面所成二面角的平面角，即，
設(shè)，則，因為，故,,
又底面是等邊三角形，，故，
而 ,故，
則，而,故,
即M點位于的處，即.
21．已知數(shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.
(1)求的通項公式；
(2)證明是等比數(shù)列；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1).
(2)證明見解析.
(3).
【分析】（1）根據(jù)，利用時 即可求得答案；
（2）將變形為，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論；
（3）求出的表達(dá)式，利用錯位相減法即可求得答案.
【詳解】（1）由題意數(shù)列的前項和為，且，
當(dāng)時， ；當(dāng)時 , ,
所以 ,
經(jīng)檢驗：也適合上式，故.
（2）在數(shù)列中，，
若，則，與矛盾，故
所以，
則，其中，
所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列.
（3）由（2）得 ，所以 ，
故 ，
所以 ，
故，
兩式相減得： ，
即，
所以 .
22．雙曲線經(jīng)過點，一條漸近線的傾斜角為，直線過雙曲線的右焦點，交雙曲線于兩點.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.
【答案】(1).
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求得，即可求得答案；
（2）先考慮直線l的斜率存在時，設(shè)，設(shè)出直線方程，根據(jù)可得到對任意的總成立，聯(lián)立直線l與雙曲線方程，得到根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合恒成立可求得m的值，得到結(jié)論，再驗證直線斜率不存在時的情況也適合題意，即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知雙曲線的漸近線方程為，
因為一條漸近線的傾斜角為，所以，
雙曲線經(jīng)過點，則，
聯(lián)立，解得，
所以雙曲線方程為：.
（2）由（1）知雙曲線的右焦點為，
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，
設(shè)，，
因為，所以即，
整理得①，
由，得到，
因為直線l與雙曲線有兩個不同的交點，
故且，
所以，
由題設(shè)有①對任意的總成立，
因為，
所以①可轉(zhuǎn)化為，
整理得到對任意的總成立，
故，解得，故猜想所求的定點M的坐標(biāo)為．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，則，此時或，
此時或，都滿足；
綜上，定點M的坐標(biāo)為．
【點睛】方法點睛：（1）解決求圓錐曲線的方程問題時，一般是由題意列出關(guān)于參數(shù)的方程組，即可求得答案；（2）解決關(guān)于直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，比如定點定值問題，一般要注意考慮直線的斜率是否存在，存在時設(shè)直線方程，并聯(lián)立圓錐曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，要結(jié)合題設(shè)條件進行化簡，即可得結(jié)論，關(guān)鍵就是化簡以及計算比較復(fù)雜，要求十分細(xì)心,計算要準(zhǔn)確.

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