2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二第一次月考數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超過答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3.本卷命題范圍：選擇性必修一第一章至第二章。一、單項選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.過點且平行于l：的直線方程為（    ）A. B. C. D.2.已知O為原點，點，以為直徑的圓的方程為（    ）A. B.C. D.3.已知向量，，若，則實數(shù)的值為（    ）A.–2 B. C. D.24.過點作圓C：的弦，使點P平分弦，則弦所在直線的方程為（    ）A. B. C. D.5.已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為（    ）A. B. C. D.6.如圖，在四面體中，，，，且，，則（    ）A. B. C. D.7.唐代詩人李的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在地為點，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（    ）A. B. C. D.8.若平面上兩點，，動點P滿足，則動點P的軌跡與直線l：的公共點的個數(shù)為（    ）A.2 B.1 C.0 D.與實數(shù)k的取值有關(guān)二、多項選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（    ）A.若兩個不同平面，的法向量分別是，，且，，則B.若，則是鈍角C.若對空間中任意一點O，有，則P，A，B，C四點共面D.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線10.已知圓M：，則下列說法正確的是（    ）A.點在圓M內(nèi)  B.圓M關(guān)于對稱C.半徑為  D.直線與圓M相切11.已知直線l：，其中，下列說法正確的是（    ）A.當時，直線l與直線垂直B.若直線l與直線平行，則C.直線l過定點D.當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等12.如圖所示，平行六面體，其中，，，，下列說法中正確的是（    ）A.  B.C.直線與直線是相交直線 D.與所成角的余弦值為三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.13.圓：與圓：的位置關(guān)系為___________.14.已知和是異面直線，，，則和CD所成角的大小為__________.15.過兩直線與的交點，且與直線垂直的直線的一般式方程為___________.16.直線l：（）被圓C：截得的最短弦長為___________.四、解答題：本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知的頂點，，.（1）求邊的高線所在直線的一般式方程；（2）求的面積.18.（12分）根據(jù)下列條件，求圓的標準方程：（1）圓心在x軸上，半徑為5，且過點；（2）過點和，且圓心在直線上.19.（12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.20.（12分）已知圓C：（1）已知直線的方程為，證明：直線與圓C恒有兩個交點；（2）已知直線經(jīng)過點，當直線與圓C相交于A，B兩點，且時，求直線的一般式方程.21.（12分）已知圓C：.（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的一般式方程；（2）從圓C外一點向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有，求點P的軌跡方程.22.（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，E是的中點，且，.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的正弦值.    2022-2023學(xué)年上學(xué)期高二第一次月考數(shù)學(xué)參考答案1.答案：C  設(shè)平行于l：的直線方程為∵直線過點  ∴  ∴  ∴平行于l：的直線方程為2.答案：A  由題知圓心為，半徑，∴所求圓的方程為.3.D  因為，所以，所以，即，.4.B  依題意，，∵，∴，方程為5.D  依題意，向量在向量方向上的投影向量為，6.C  連接，因為，所以，因為，所以，所以.7.C  若是A關(guān)于的對稱點，如下圖示：“將軍飲馬”的最短總路程為，∴，解得，即.∴.8.A  設(shè)點，由題意：得：，整理得到點P的軌跡方程為，即，因為直線過定點，即所求圓的圓心，故直線和圓2個交點，9.CD  對于A，，所以，A錯誤；對于B，若，則小于0，則是鈍角或者180°，B錯誤；對于C，對空間中任意一點O，有，滿足，則P，A，B，C四點共面，可知C正確；對于D，兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線.10.BD  整理得：，∵，時，∴點在圓M外，A錯；∵圓心在直線上，∴圓M關(guān)于對稱，B對；∵圓M半徑為1，故C錯；∵圓心到直線的距離為，與半徑相等，∴直線與圓M相切，D對.11.AC  對于A，當時，直線l的方程為，斜率為1，直線的斜率為-1，因為，所以兩直線垂直，所以A正確；對于B，若直線l與直線平行，則，解得：或對于C，當時，，所以直線過定點，所以C正確；對于D，當時，直線l的方程為，在x軸、y軸上的截距分別是－1，112.ABD  對A，，則，所以，A正確；對B，，所以，B正確；對C，直線與直線是異面直線，C錯誤；對D，，，，，，，所以，，于是與所成角的余弦值為13.相交  ：的圓心為，半徑，：的圓心為，  所以圓心距，，所以和相交.14.60°或者  ，∵異面直線夾角范圍是，∴和所成角的大小為60°.15.  根據(jù)題意可得，解得，則兩直線交點坐標為，又所求直線與直線垂直，則所求直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得，16.2  直線l：（）即為，當時，，故直線線l過定點，設(shè)該點為P，又，故點在圓內(nèi)，當圓心和P點連線垂直于直線l時，l被圓解得的弦長最短，而即，半徑，圓心為，故，故弦長為，17.（1）；（2）14.（1）直線的斜率為，直線邊的高線的斜率為?3，直線邊的高線的方程為：，即.（2）直線的方程為：，即，點C到直線的距離，，故的面積為.18.（1）或；（2）.解：（1）設(shè)圓心坐標為，則  ∴或6∴圓的方程是或（2）由已知可設(shè)圓心，又由已知得，從而有，解得.于是圓N的圓心，半徑.所以，圓N的方程為.19.答案：（1）見解析  （2）解析：（1）解法一：如圖，設(shè)點P為的中點，連接，，因為N為的中點，所以為的中位線，所以.又M為的中點，所以.因為，，，平面，，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.解法二：如圖，取的中點D，連接，.在三棱柱中，，.因為M，N，D分別為，，的中點，所以，，，，則且，所以四邊形為平行四邊形，因此.又平面，平面，所以平面.（2）因為側(cè)面為正方形，所以，又因為平面平面，且平面平面，所以平面，而平面，所以.由在三棱柱中，，，兩兩垂直，故以B為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，由得，令，得.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.（2）或者（1）直線：，所以直線恒過點，顯然在圓C內(nèi)，從而直線與圓C恒有兩個交點；（2）因為，由垂徑定理得到，圓心C到直線的距離為1；當直線的斜率不存在時，方程為，，滿足題意；當直線的斜率存在時，方程設(shè)為，，所以綜上，直線的方程為或者21.（1）圓C標準方程為，則圓心，半徑為，令，則有，解得或.∴直線l的方程為或.（2）由圓上切點的性質(zhì)知：，由，∴，整理得.故點P的軌跡方程為.22.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：設(shè)，連接.因為四邊形是菱形，所以O是的中點.因為，所以.因為四邊形是菱形，所以.因為平面，平面，且，所以平面.（2）解：因為，所以，所以.因為，所以平面.因為O，E分別是，的中點，所以，所以平面.故以O為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得.設(shè)平面的法向量，則，令，得.設(shè)二面角為，則.所以.

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