2022-2023學(xué)年湖南省郴州市第一中學(xué)北校區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程；【詳解】由傾斜角為知，直線的斜率，因此，其直線方程為，即故選：B2．若向量與向量互相垂直，則的值為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由，知，得到關(guān)于的方程，解方程即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>與向量互相垂直，即，解得：故選：C3．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】利用題給條件列出關(guān)于首項(xiàng)公差d的方程組，解之即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，解之得故選：D4．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，則，由于是等邊三角形，所以，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以.根據(jù)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面，平面，所以，由此以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：A5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為A，B，若四邊形為正方形，則橢圓C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到，，然后根據(jù)四邊形為正方形得到，化簡(jiǎn)即可得到橢圓的離心率.【詳解】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，即，所以.故選：B.6．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)及勾股定理求得，再根據(jù)等面積法求出，再利用勾股定理求出，從而可得出答案.【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，則且為的中點(diǎn)，圓，化為，則圓心，半徑，，則，由，得，所以，所以.故選：C.7．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)滿足以下條件：①；②;③.則成立的的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可得是上的單調(diào)遞增奇函數(shù)，且有，分，分別求解，再取并集即可得答案.【詳解】解：，是定義在上的奇函數(shù)，；在單調(diào)遞增，則在單調(diào)遞增，又，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，．不等式，轉(zhuǎn)化為或，即或，解得或，故成立的的取值范圍是.故選：8．城市的許多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)，定義兩點(diǎn)間“距離”為，則平面內(nèi)與軸上兩個(gè)不同的定點(diǎn)的“距離”之和等于定值（大于）的點(diǎn)的軌跡可以是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分橫坐標(biāo)在、之外（內(nèi)）的區(qū)域兩種情況討論，結(jié)合所給距離公式判斷即可.【詳解】解：根據(jù)題意，橫坐標(biāo)在、之外的區(qū)域，不能出現(xiàn)與軸垂直的線段，否則該線段上的點(diǎn)與、的“距離”之和不會(huì)是定值；橫坐標(biāo)在、之內(nèi)的區(qū)域，則必須與軸平行，否則該線段上的點(diǎn)與、的“距離”之和不會(huì)是定值.故選：A. 二、多選題9．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于，兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．點(diǎn)坐標(biāo)為 B．準(zhǔn)線方程為C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義求焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，通徑AB的長(zhǎng)度，最后可求.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時(shí)，，∴，.故選：ACD.10．已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，則（    ）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】AB【分析】由定義判斷AB；由導(dǎo)數(shù)得出單調(diào)性判斷C；由特殊值判斷D.【詳解】，則為奇函數(shù)；，，則為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；，，，即在上不是單調(diào)遞增，故只有AB正確；故選：AB11．已知數(shù)列中，，，則關(guān)于數(shù)列的說(shuō)法正確的是（    ）A．B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于【答案】BCD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而對(duì)選項(xiàng)ABC一一判斷即可；利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可判斷D.【詳解】由，得，即，又， 所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，故A錯(cuò)誤，C正確；，所以為遞增數(shù)列，故B正確；，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確. 故選：BCD．12．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱，分別交于點(diǎn)F，G（G，E，F可能共線），則下列說(shuō)法中正確的是（    ）A．存在點(diǎn)F，使得B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．四棱錐的體積為2時(shí)，點(diǎn)F只能與點(diǎn)B重合D．設(shè)截面，，的面積分別為，，，則的最小值為4【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)、，其中，，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；求出與的關(guān)系式，利用反比例函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用等積法可判斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，設(shè)點(diǎn)、，其中，.對(duì)于A選項(xiàng)，若存在點(diǎn)，使得，且，，，解得，不合乎題意，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，其中、，即，即，可得，，則，所以，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，其中，故，又，故即，故點(diǎn)F只能與點(diǎn)B重合，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，則點(diǎn)到直線的距離為，，則點(diǎn)到直線的距離為，所以，，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 三、填空題13．在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為________【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，即可直接求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以＝＝2，，所以，，則，所以．故答案為：.14．曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】或【分析】求導(dǎo)得到，解得或，得到坐標(biāo).【詳解】由已知得，令，則，解得或，所以或．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)與均符合題意．故答案為：或15．已知雙曲線方程為，焦距為8，左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】【分析】由焦距為8，求得，即可得雙曲線方程，進(jìn)而可得，結(jié)合圖形，只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值為，求出即得答案.【詳解】解：如圖所示，由雙曲線為等軸雙曲線，且焦距為8，所以，，即，，所以雙曲線的方程為：，所以，，，由雙曲線定義得，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為故.故答案為：. 四、雙空題16．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”.現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為4，則該“陽(yáng)馬”的外接球表面積為__________，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為__________.【答案】          ##【分析】由條件求出四棱錐的表面積和體積根據(jù)內(nèi)切球的性質(zhì)確定內(nèi)切球的半徑，再確定外接球的球心及半徑，由此計(jì)算外接球的表面積和球心的距離.【詳解】如圖，為正方形，所以，設(shè)垂直于平面，平面，所以，又，平面，所以平面，平面，所以，故為直角三角形，同理可得為直角三角形，，由題，，所以，四棱錐表面積，體積，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則，得.以，，分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閮?nèi)切球半徑，所以內(nèi)切球球心，記的中點(diǎn)為，則，所以為四棱錐外接球的球心，又，，所以外接球球心，半徑，外接球表面，兩點(diǎn)間距離.故答案為：；. 五、解答題17．在△ABC中，已知M（1，6）是BC邊上一點(diǎn)，邊AB，AC所在直線的方程分別為．（1）若，求直線BC的方程；（2）若，求直線BC的橫截距．【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出，根據(jù)垂直關(guān)系，利用點(diǎn)斜式求解方程；（2）建立方程求出，得出直線BC的方程即可得解.【詳解】（1）由題邊AB，AC所在直線的方程分別為．的交點(diǎn)就是，若，，所以直線BC的方程：即；（2）設(shè)，所以解得，所以所以直線的方程為，即，令得，直線BC的橫截距.18．如圖在四棱錐中，底面，且底面是平行四邊形.已知是中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）先證明出平面，利用面面垂直的判定定理即可證明；（2）以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建系，利用向量法求解.【詳解】（1）面，且，.∵是中點(diǎn),所以.同理可證：.又面，面，, 平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建系，如圖：則.設(shè)平面的法向量則，得，不妨取，則.由（1）得是平面的一個(gè)法向量，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19．已知等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，其中，，成等比數(shù)列，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，代入求和公式即可求得首項(xiàng)和公差，即可求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)求得，然后求得數(shù)列的通項(xiàng)后利用裂項(xiàng)求和即可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，則，即又，則，由得，即則有可得， 所以.（2）證明：由，且所以當(dāng)時(shí)，則有又也滿足，故對(duì)任意的，有，則所以 由于單調(diào)遞增，所以．綜上：.【點(diǎn)睛】.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）先將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，進(jìn)而求得a的取值范圍.【詳解】（1）時(shí)，，， 在定義域上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， ∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立， ∴恒成立，令， 則； 又在上單調(diào)遞減，所以， 所以.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓及點(diǎn).(1)若直線過(guò)點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線l的方程；(2)圓上是否存在點(diǎn)，使得成立？若存在，求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)或(2)存在，兩個(gè) 【分析】(1)根據(jù)垂徑定理可得圓心到直線的距離為1，然后利用點(diǎn)到直線的距離即可求解；(2) 假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，利用題干條件得到點(diǎn)也滿足，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】（1）圓可化為，圓心為，若的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)符合要求.  當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的斜率為，則令，因?yàn)?/span>，由垂徑定理可得，圓心到直線的距離，                                                        所以直線的方程為或.（2）假設(shè)圓上存在點(diǎn)，設(shè)，則，，  即，即，             ，                 與相交，則點(diǎn)有兩個(gè).22．已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此常數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析. 【分析】（1）根據(jù)已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設(shè)，，.設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到，根據(jù)韋達(dá)定理求出，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，整理得到，因?yàn)樵撌綖槌?shù)，所以有，求出，代入即可求出常數(shù).【詳解】（1）由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點(diǎn)，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.（2）由已知可得，直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則.聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設(shè)，，.當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，不滿足題意，所以，.，解得，且.由韋達(dá)定理可得，，且，.又，，則，因?yàn)?/span>，，所以，要使為常數(shù)，則應(yīng)與無(wú)關(guān)，即應(yīng)有，解得，此時(shí)是個(gè)常數(shù)，這樣的點(diǎn)存在.所以，在軸上存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，使得為常數(shù). 

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