2022-2023學(xué)年黑龍江省雙鴨山市饒河縣饒河縣高級中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則中元素的個數(shù)為（    ）A．4 B．5 C．6 D．無數(shù)個【答案】C【分析】利用列舉法表示出集合，即可判斷；【詳解】解：，故集合中含有個元素；故選：C2．錢大姐常說“好貨不便宜”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題意：錢大姐常說“好貨不便宜”，可得“好貨” “不便宜”，故必要性成立，但沒說“不便宜的是好貨”，故“不便宜” “好貨”，故充分性不成立，“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件；故選：B3．已知函數(shù)，若，則（    ）A．1或 B．或 C．或5 D．1或5【答案】A【分析】分類討論求分段函數(shù)對應(yīng)函數(shù)值的自變量值即可.【詳解】當(dāng)時，得：；當(dāng)時，得：；綜上，或.故選：A4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法解得，再結(jié)合虛部概念理解判斷.【詳解】∵∴復(fù)數(shù)z的虛部是故選：B.5．已知，且，則（    ）A．3 B．6 C．12 D．18【答案】D【分析】先由指數(shù)式化為對數(shù)式，利用換底公式得到，從而得到，計算出.【詳解】由得：，由換底公式可得：，則，所以，因為，所以故選：D6．在中，已知，，，則角的大小為（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理理解三角形，根據(jù)邊角關(guān)系，可得答案.【詳解】由正弦定理，可得，則，由，則，由，則或.故選：C.7．設(shè) ，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較大小.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，，所以，因為，在定義域上單調(diào)遞增，所以，，故.故選：D8．已知正四棱錐的側(cè)棱長為3，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的體積是（    ）A． B． C．18 D．27【答案】A【分析】根據(jù)正四棱錐的幾何特征可知外接球的球心在其高上，利用勾股定理即可求解長度，進(jìn)而由體積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長 ，高為，外接球的球心為,則，∵球的體積為，所以球的半徑，在中，則，在中，，解得,，所以正四棱錐的體積，故選:A 二、多選題9．連續(xù)擲兩次骰子，設(shè)先后得到的點數(shù)為m，n，則（    ）A．的概率為 B．m是偶數(shù)的概率為C．的概率為 D．m>n的概率為【答案】ABC【分析】根據(jù)古典概型的知識求得正確答案.【詳解】連續(xù)擲兩次骰子，基本事件有：，，，，， ，共種，其中的有：，共種，概率為，A選項正確.是偶數(shù)的有：，， ，共種，概率為，B選項正確.的有：，共種，概率為，C選項正確.的有：，，，， ，共種，概率為，D選項錯誤.故選：ABC10．PM2.5是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，我國采用世衛(wèi)組織的最寬值限定值，即PM2.5日均值在以下，空氣質(zhì)量為一級，在，空氣質(zhì)量為二級，超過為超標(biāo).如圖是某地12月1日至10日的PM2.5（單位：）的日均值，則下列說法正確的是（    ）A．這10天中有3天空氣質(zhì)量為一級B．從3日到6日PM2.5日均值逐漸升高C．這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)是45D．這10天中PM2.5日均值的極差是48【答案】AB【分析】根據(jù)中位數(shù)和極差定義可判斷CD，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷AB.【詳解】由圖可知：第1天、第3天、第4天空氣質(zhì)量為一級，A正確；從3日到6日PM2.5日均值逐漸升高，B正確；由圖可知，這10天中PM2.5日均值的中位數(shù)為，C錯誤；這10天中PM2.5日均值的極差是，D錯誤.故選：AB11．已知圓過點，且與圓相切于原點，直線則下列結(jié)論中，正確的有（    ）A．圓的方程為 B．直線過定點C．直線被圓所截得的弦長的最小值為 D．直線被圓截得的弦長有最大值時，則【答案】AC【分析】設(shè)，根據(jù)題意列方程組解得可判斷A，根據(jù)直線方程可求出直線所經(jīng)過的定點判斷B，再根據(jù)圓心到直線的距離的最大值可得直線被圓所截得的弦長的最小值可判斷C，根據(jù)直線被圓截得的弦長最大時，直線過圓心可判斷D.【詳解】設(shè)，圓的圓心，半徑為，則，解得，所以圓的方程為，故A正確；因為，即，由得，所以直線過定點，故B錯誤；設(shè)圓心到直線的距離為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以弦長，所以直線被圓截得的弦長的最小值為，故C正確；直線被圓截得的弦長最大時，則直線過圓心，所以，即，故D錯誤.故選：AC.12．矩形ABCD中，，，沿對角線AC將矩形折成一個大小為的二面角，若，則下列結(jié)論正確的有（    ）A．四面體ABCD的體積為B．點B與D之間的距離為C．異面直線AC與BD所成角為45°D．直線AD與平面ABC所成角的正弦值為【答案】ACD【分析】分別作，垂足為E，F，利用向量法求出，可判斷B，由題可得平面，然后利用棱錐的體積公式可得可判斷A，利用向量法求出判斷C，根據(jù)等積法結(jié)合條件可得直線AD與平面ABC所成角的正弦值判斷D.【詳解】分別作，垂足為E，F，則，由已知可得，，因為， 所以，所以，故B錯誤；因為，，所以，即，同理，又，平面，則平面，所以四面體ABCD的體積為，故A正確；由題可得，，，則，則，得，所以異面直線與所成的角為，故C正確；設(shè)點到平面為，則，所以，所以，設(shè)直線AD與平面ABC所成角為，則，故D正確.故選：ACD． 三、填空題13．方程表示圓，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程后列不等式求解，【詳解】由得，則，得，故答案為：14．若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______.【答案】【分析】由雙曲線方程可得，根據(jù)雙曲線定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由雙曲線定義知：，則.故答案為：.15．已知橢圓的兩個焦點，，點P在橢圓上，且，則__．【答案】【分析】由給定橢圓求出半焦距，再由對稱性寫出坐標(biāo)，結(jié)合，利用勾股定理和橢圓的定義可列出方程，即可求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】由橢圓知，橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，由橢圓對稱性不妨令焦點，因點P在橢圓C上，且，設(shè)，，則由，解得即有，所以的值為.故答案為：16．設(shè)點M、N分別是不等邊的重心與外心，已知、，且．則動點C的軌跡E______；【答案】【分析】設(shè)點，由重心坐標(biāo)和外心坐標(biāo)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)以及列方程，化簡后求得軌跡E的方程．【詳解】設(shè)點，則的重心，∵是不等邊三角形，∴， 再設(shè)的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴， ∵點N是的外心，∴，即，化簡整理得軌跡E的方程是. ∴動點C的軌跡E是指焦點在軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個橢圓（去掉其頂點）．故答案為：.【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和曲線的位置關(guān)系，考查向量的坐標(biāo)運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題． 四、解答題17．（1）若直線過點，且與直線平行，求直線的一般式方程．（2）若直線過點，且與直線垂直，求直線的斜截式方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題可設(shè)直線方程為，進(jìn)而即得；（2）設(shè)直線方程為，把點坐標(biāo)代入即得.【詳解】（1）設(shè)直線方程為：，將代入方程，得 ，所以直線方程為 ；（2）設(shè)直線方程為：，將代入方程，得 ，所以直線方程為，即直線的斜截式方程為．18．已知點是橢圓上一點，求點P到點的距離的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，由兩點之間的距離公式可得，，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】解：因為點是橢圓上一點，所以，又，，所以，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以函數(shù)點P到點的距離的取值范圍.19．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．【答案】(1)；(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為；(3)．【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)求第七組的頻率；(2)根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義利用頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)；(3)確定樣本空間，利用古典概型概率公式求概率.【詳解】解：(1)第六組的頻率為，∴第七組的頻率為．(2)由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，由于，，設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為m，則，由得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm，平均數(shù)為．(3)第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況．所以．20．在中，角A,,所對的邊為,，,，，，若(1)求函數(shù)的圖象的對稱點；(2)若,且的面積為，求的周長.【答案】(1)；(2)20. 【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，結(jié)合兩角和的正余弦公式及二倍角公式可得解析式，令即可得對稱中心；（2）由三角形的面積公式及余弦定理即可得周長.【詳解】（1）由得，， 由得，令 ∴ 函數(shù)的圖象的對稱點為；（2） ∴周長為.21．在長方體 中，已知 ，E為的中點.(1)在線段上是否存在點F，使得平面平面？若存在，請加以證明；若不存在，請說明理由；(2)設(shè) ，點G在上且滿足，求 與平面 所成角的余弦值.【答案】(1)在線段上存在點F，使得平面平面，且F為線段中點,證明見解析；(2) 【分析】（1）F為線段中點時，平面平面，先證明平面，繼而證明，且，從而四邊形是平行四邊形，，進(jìn)而 平面，由此能證明平面平面；（2）以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系 ，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法即可求得與平面 所成角的余弦值.【詳解】（1）在線段上存在點F，使得平面平面，且F為線段中點．證明：在長方體中，,∵ 平面，平面,∴平面，∵E為 的中點，F為的中點，∴ ，且，∴四邊形是平行四邊形，∴ ，∵平面，平面，∴ 平面，∵平面，∴平面平面.（2）在長方體中，以D為坐標(biāo)原點，所在直線分別軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ， ， ， 故   ， ，設(shè)平面的法向量為 ，則 ，取 ，得 ， , 設(shè) ，則 ，則，∴ ，設(shè)與平面所成角為 ，則 ，∴ ， 故與平面所成角的余弦值為.22．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，離心率為，過作直線l交橢圓C于M，N兩點，的周長為．(1)求橢圓C的方程；(2)在軸上是否存在異于點的定點Q，使得直線l變化時，直線與的斜率之和為0？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，坐標(biāo)為 【分析】（1）利用橢圓定義和離心率列方程可解；（2）記點N關(guān)于x軸的對稱點為，將問題轉(zhuǎn)化為三點能否共線問題，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓方程消元，利用韋達(dá)定理代入共線的坐標(biāo)表示可解.【詳解】（1）由橢圓定義可知的周長為4a，所以由題可知，解得，所以所以橢圓C的方程為（2）如圖，設(shè)，，記點N關(guān)于x軸的對稱點為，易知直線l的斜率不為0，故設(shè)其方程為，代入整理可得：，則直線與的斜率之和為0，等價于三點共線，等價于即，等價于因為所以時，恒成立，即直線與的斜率之和為0.所以，存在定點Q，使得直線l變化時，直線與的斜率之和為0，點Q坐標(biāo)為 

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