2022-2023學(xué)年河南省部分名校高二上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A卷） 一、單選題1．若直線的一個(gè)方向向量是，則實(shí)數(shù)k的值為（    ）A．4 B．-4 C．1 D．-1【答案】D【分析】計(jì)算出直線的斜率，從而列出方程，求出實(shí)數(shù)k的值.【詳解】直線的斜率為，所以，解得.故選：D.2．若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】方程配方后得，根據(jù)圓的半徑大于0求解.【詳解】由方程可得，所以當(dāng)時(shí)表示圓，解得.故選：D.3．如圖，在三棱柱中，G是與的交點(diǎn)，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由空間向量線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為三棱柱，所以，.故選：.4．已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，則C的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)及橢圓方程可知，求出直接計(jì)算離心率即可.【詳解】由題意知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以，所以，離心率為.故選：C.5．已知直線l的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，若，則m=（    ）A． B． C．-8 D．8【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的平行的向量法表示求解.【詳解】由，得，即，解得.故選：B6．單葉雙曲面是最受設(shè)計(jì)師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國(guó)廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計(jì)劃建造類似于廣州塔的地標(biāo)建筑，此地標(biāo)建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細(xì)處的直徑為 ，樓底的直徑為，樓頂直徑為，最細(xì)處距樓底 ，則該地標(biāo)建筑的高為（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】C【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程是，由已知可得 ，將點(diǎn)坐標(biāo)代入解得 的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程解得 的坐標(biāo)即可求得地標(biāo)建筑的高.【詳解】解：以地標(biāo)建筑的最細(xì)處所在直線為 軸，雙曲線的虛軸為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.由題意可得：，，設(shè)，雙曲線的方程是，則，解得 ，所以雙曲線的方程是：，將點(diǎn)代入得，解得，所以該地標(biāo)建筑的高為： .故選： .7．已知直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心和半徑，由圓的幾何性質(zhì)知當(dāng)時(shí)最小，利用半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心C的坐標(biāo)為，半徑為5.直線過定點(diǎn)，由知點(diǎn)P在圓C內(nèi)，所以時(shí)最小，且.故選：B8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，P，M分別為線段BC，的中點(diǎn)，Q，N分別為線段，AD上的動(dòng)點(diǎn)，若，則線段QN的長(zhǎng)度的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出Q，N的坐標(biāo)，利用，找出參數(shù)間的關(guān)系，再用空間兩點(diǎn)間的距離公式表示出函數(shù)的形式，利用函數(shù)求最值.【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>P，M分別為BC，的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?/span>Q，N分別為線段，AD上的動(dòng)點(diǎn)﹐所以可設(shè)，，所以，.由，得，即，即，由，得，當(dāng)時(shí)，.故選：D.9．已知雙曲線的離心率為且過點(diǎn)，直線與C的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)雙曲線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理列出不等式進(jìn)行求解.【詳解】離心率為的雙曲線是等軸雙曲線，所以可設(shè)雙曲線的方程是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，所以的方程是，將代入上式并消去整理得，則解得或.故選:A.10．已知，直線與y軸的交點(diǎn)為A，與x軸的交點(diǎn)為B，與的交點(diǎn)為C.當(dāng)四邊形OACB的面積取最小值時(shí)，點(diǎn)B到直線的距離是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線所過定點(diǎn)為得C點(diǎn)坐標(biāo)，再求出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，寫出四邊形面積，利用均值不等式求最小值，確定時(shí)，再由點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】如圖，直線，都過點(diǎn)，即點(diǎn)C的坐標(biāo)是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，四邊形OACB的面積取最小值.此時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線的方程是，點(diǎn)B到直線的距離是.故選：B.11．過橢圓的右焦點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若P恰好是AB的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為（    ）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】將代入橢圓C的方程并結(jié)合已知可得，由點(diǎn)差法結(jié)合已知可得，由此求出，則C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離的最大值為即可求解【詳解】將代入橢圓C的方程得，所以①，設(shè)，，則，，兩式相減得，又，，，所以②，解①②得，，所以，所以C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離的最大值為.故選：D.12．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面⊥平面ABCD，，，點(diǎn)M在側(cè)棱PB上，且，直線MC與平面BDP所成角的正弦值是，則實(shí)數(shù)的值是（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及和，進(jìn)而得出和，求出平面BDP的一個(gè)法向量，求出直線MC與平面BDP所成的角的表達(dá)式，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】取AD的中點(diǎn)O，由，得，又平面，平面⊥平面ABCD，可得⊥平面ABCD，設(shè)，由四邊形ABCD是正方形，可知.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.由，得，，設(shè)平面BDP的法向量，則即，令，則，，∴平面BDP的一個(gè)法向量，設(shè)直線MC與平面BDP所成的角為，則，化簡(jiǎn)，得，解得，或.故選：C. 二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】3【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，【詳解】因?yàn)?/span>，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，即，所以解得，，所以.故答案為：314．已知直線與平行，則，間的距離為___________.【答案】【分析】根據(jù)直線平行的條件求出m，再由平行線間的距離公式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以且，解得，所以，即，所以，間的距離為.故答案為：15．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為F，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，到達(dá)拋物線上的點(diǎn)B，則___________.【答案】25【分析】由題意求出A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過焦點(diǎn)得直線方程，聯(lián)立拋物線方程求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】將代入，得，即，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)，所以直線AB的斜率為，直線AB的方程為，代入并消去y得，解得，，故.故答案為：25 三、雙空題16．已知圓C上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為，則圓C的方程是___________；在直線上存在點(diǎn)P滿足：過P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為M，N，且四邊形PMCN的面積為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】     ；     .【分析】根據(jù)所給條件建立方程化簡(jiǎn)即可求出軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)及所給四邊形面積求出，由圓心到直線距離小于等于4建立不等式求解即可.【詳解】設(shè)是圓C上的任意一點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得圓C的方程為.圓心C的坐標(biāo)為，半徑為，由題意知，，所以，，解得.又點(diǎn)P在直線上，所以不小于C到直線l的距離，即，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：；. 四、解答題17．在中，，，，BC邊上的中線AD所在直線的方程為.(1)求a，b的值；(2)求AB邊上的高CH所在直線的方程.【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A及BC的中點(diǎn)為在直線上求即可；（2）根據(jù)垂直直線斜率的關(guān)系求出，點(diǎn)斜式求直線方程即可.【詳解】（1）由中線AD所在直線過點(diǎn)，得，解得.由，，得邊BC的中點(diǎn)為，所以，解得.（2）由（1）知，，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，所以高CH所在直線的方程為，即.18．周口市沙河灣濕地公園內(nèi)有一直角梯形區(qū)域，，，.相關(guān)部門欲在 ，兩處各建一個(gè)景點(diǎn)，將 邊建成人行步道（人行步道的寬度忽略不計(jì)）.(1)若分別以 ，為圓心的兩個(gè)圓都與直線 相切，且這兩個(gè)圓外切，求 ，兩點(diǎn)之間的距離；(2)若，今欲在人行步道（線段）上設(shè)一觀景臺(tái) ，已知觀景臺(tái)在過 ，兩點(diǎn)的圓與直線相切的切點(diǎn)處時(shí)，有最佳觀賞和拍攝的效果，問觀景臺(tái)設(shè)在何處時(shí)，觀賞和拍攝的效果最佳？【答案】(1)，兩點(diǎn)之間的距離為： .(2)觀景臺(tái)設(shè)在處時(shí)，觀賞和拍攝的效果最佳. 【分析】（1）由以，為圓心的兩個(gè)圓都與直線相切，可知兩圓的半徑，由兩圓外切即可解得，兩點(diǎn)之間的距離.（2）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，由解得 ，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知可設(shè)圓的方程為：和切點(diǎn)的坐標(biāo)，將 ，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解出圓的方程，從而得出坐標(biāo)即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榉謩e以，為圓心的兩個(gè)圓都與直線相切，所以這兩個(gè)圓的半徑分別為和，又因?yàn)閮蓚€(gè)圓外切，所以兩個(gè)圓心，之間的距離為： 故，兩點(diǎn)之間的距離為： .（2）以 為原點(diǎn)，所在直線為 軸， 所在直線為 軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.則，，由，得，解得.所以，.因?yàn)橛^景臺(tái)在過 ，兩點(diǎn)的圓與直線相切的切點(diǎn)處，所以設(shè)過，兩點(diǎn)的圓的方程為：，已知此圓與線段切于點(diǎn)，則，由，兩點(diǎn)在圓上，代入得，解得或（舍）.所以圓的方程為：，所以切點(diǎn)為，即觀景臺(tái)應(yīng)設(shè)在梯形的頂點(diǎn) 處.所以觀景臺(tái)設(shè)在處時(shí)，觀賞和拍攝的效果最佳.19．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，.(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，且的面積為，求雙曲線C的漸近線方程；(2)若以為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，且（O為原點(diǎn)），求雙曲線C的離心率.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）利用已知條件得，結(jié)合雙曲線中化簡(jiǎn)整體求出，即可得雙曲線C的漸近線方程（2）根據(jù)題意作圖，根據(jù)圖形，利用余弦定理求出，從而得，即漸近線的傾斜角，則可以得出的值，結(jié)合得到關(guān)于離心率的齊次方程，解出即可【詳解】（1）因?yàn)?/span>，的面積為，所以，即，所以，解得或（舍去），所以，所以雙曲線C的漸近線方程是.（2）因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為P，如圖，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，則，所以，，，所以，，所以雙曲線C的離心率為2.20．如圖1，已知梯形ABCD中，，E是AB邊的中點(diǎn)，，，.將沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，如圖2，M，N分別是PD，PB的中點(diǎn).(1)求平面MCN與平面BCDE夾角的余弦值；(2)求點(diǎn)P到平面MCN的距離.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）分別以ED，EB，EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；（2）根據(jù)點(diǎn)到平面距離的向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)閳D1中，所以圖2中，，又，所以分別以ED，EB，EP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.因?yàn)?/span>，，，DE，平面BCDE，所以平面BCDE，所以是平面BCDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面MCN的法向量，由得取，則，，所以平面MCN的一個(gè)法向量，設(shè)平面MCN與平面BCDE的夾角為，則，所以平面MCN與平面BCDE夾角的余弦值為.（2）由（1）知是平面MCN的一個(gè)法向量，又，所以點(diǎn)P到平面MCN的距離.21．若拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為5.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn).求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義列出方程求出即可得解；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程消元后得出根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可得解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線l的方程為，根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到它的焦點(diǎn)的距離即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離，所以，解得，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）顯然直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立消去y，得，所以，，，又，同理.所以.所以為定值.22．在平面直角坐標(biāo)系中，，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡是曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，定點(diǎn) 【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，得到軌跡為橢圓，再計(jì)算得到橢圓方程.（2）聯(lián)立方程，根據(jù)有唯一交點(diǎn)得到，解得的坐標(biāo)，假設(shè)存在定點(diǎn)，則，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由垂直平分線的性質(zhì)可知，所以.又，所以點(diǎn)N的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)曲線C的方程為，則，，所以，所以曲線C的方程為.（2）由，消去y并整理，得，因?yàn)橹本€與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以，即，所以，此時(shí)，，所以，由得，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H，則，又，，所以，整理得對(duì)任意實(shí)數(shù)，k恒成立.所以，解得，故存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)H.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的軌跡方程，定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將題目條件轉(zhuǎn)化為向量的乘積為零是解題的關(guān)鍵. 

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