2022-2023學(xué)年廣東省惠州市龍門縣高級中學(xué)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，，則（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出答案.【詳解】，故選：C.2．若圖中的直線、、的斜率分別為、、則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】由于直線的傾斜角為鈍角，所以；由于直線的傾斜角為銳角，且的傾斜角小于的傾斜角，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．如圖，在直三棱柱中，若，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合向量的加法和減法運(yùn)算直接化簡即可.【詳解】由題意可得.故選：B4．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求解即可【詳解】由題意，點(diǎn)在圓的內(nèi)部故，即解得：則a的取值范圍是故選：D5．直線kx＋y＋1＝2k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)（    ）A．(2，－1) B．(－2，－1)C．(2，1) D．(－2，1)【答案】A【分析】把直線化成點(diǎn)斜式即可得出答案.【詳解】由，得，所以所有直線都通過定點(diǎn).故選：A.6．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則直線與的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】將直線的方程化為，利用平行線間的距離公式可求出直線與的距離.【詳解】直線的方程可化為，因此，直線與的距離為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平行線間距離的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用點(diǎn)到面的距離的向量求法求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)槠矫?/span>的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查利用向量求點(diǎn)到面的距離，屬于基礎(chǔ)題8．已知兩定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)在直線上，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出圖形，可知點(diǎn)、在直線的同側(cè)，并求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出的最小值為.【詳解】如下圖所示：由圖形可知，點(diǎn)、在直線的同側(cè)，且直線的斜率為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，解得，，即點(diǎn)，由對稱性可知，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查位于直線同側(cè)線段和的最小值的計(jì)算，一般利用對稱思想結(jié)合三點(diǎn)共線求得，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題. 二、多選題9．下列說法中，正確的有（    ）A．過點(diǎn)且在軸截距相等的直線方程為B．直線在y軸上的截距是；C．直線的傾斜角是D．過點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為【答案】BD【分析】求出截距相等的直線方程判斷A，求出直線的縱截距判斷B，由直線方程求得傾斜角判斷C，根據(jù)傾斜角得出直線方程判斷D．【詳解】解：對A：過點(diǎn)且在x，y軸截距相等的直線方程，要分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況討論，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，所以A錯(cuò)誤.對B：直線在y軸上的截距，令，得，所以直線在y軸上的截距為，所以B正確.對C：直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，所以，所以C錯(cuò)誤.對D：過點(diǎn)并且傾斜角為，斜率不存在，所以直線方程為，即，所以D正確.故選：BD.10．已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（    ）A． B．0 C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)時(shí)表示一個(gè)圓列方程，解方程即可判斷的可能取值.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，化簡得，解得.故選：BC.11．直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線斜率可能是A． B． C．1 D．【答案】ACD【解析】分別計(jì)算直線過點(diǎn)A，B的斜率，數(shù)形結(jié)合，即得解【詳解】當(dāng)直線過點(diǎn)B時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則 當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則 故要使直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為：或故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了過定點(diǎn)的直線與線段相交的直線的取值范圍問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題12．在長方體中，，，以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（    ）A．的坐標(biāo)為(2，2，3) B．=(-2，0，3)C．平面的一個(gè)法向量為(-3，3，-2) D．二面角的余弦值為【答案】ABD【解析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系得出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，，，，所以，,即A，B正確；設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，，即平面的一個(gè)法向量為，故C錯(cuò)誤；由幾何體易得面的一個(gè)法向量為，由于，結(jié)合圖形可知二面角的余弦值為，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之法向量的求法以及在面面角中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 三、填空題13．已知空間向量與滿足，且，若與的夾角為，則________．【答案】【分析】利用空間向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，與的夾角為，所以由，故答案為：14．若直線mx+4y-2＝0與直線2x-5y-12＝0垂直，則實(shí)數(shù)m=______．【答案】10【分析】根據(jù)直線垂直的條件即可直接求出的值.【詳解】因?yàn)橹本€mx+4y-2＝0與直線2x-5y-12＝0垂直，所以，所以.故答案為：10.15．若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)的最長的弦所在的直線方程是__________.【答案】【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)，結(jié)合圓的特點(diǎn)得到過點(diǎn)的弦經(jīng)過圓心時(shí)，弦長最長，然后利用圓心坐標(biāo)、點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程即可.【詳解】圓可整理為，所以圓心，，當(dāng)過點(diǎn)的弦經(jīng)過圓心時(shí)，弦長最長，所以過點(diǎn)的最長的弦所在的直線方程為，整理得.故答案為：.16．已知圓，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，直線與圓相切，則__________.【答案】【分析】利用圓的面積最小得圓的半徑最小，可得，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的半徑為，當(dāng)圓面積最小時(shí)，圓的半徑最小，此時(shí)，圓的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了直線與圓相切的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題. 四、解答題17．已知，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值.（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】(1)直接根據(jù)向量平行得到關(guān)于k的方程,然后解出k即可;(2)直接根據(jù)向量垂直得到關(guān)于k的方程,然后解出k即可;【詳解】解:,.(1)∵,∴,∴.(2)∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行和向量垂直求參數(shù)值,考查了方程思想,屬基礎(chǔ)題.18．已知的頂點(diǎn)為.(1)求邊上的中線所在的直線方程并化為一般式方程；(2)求邊上的高所在的直線方程并化為一般式方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)的坐標(biāo)得到中點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后利用斜率公式得到，利用點(diǎn)斜式寫直線的方程，最后整理為一般式即可；（2）根據(jù)邊上的高與垂直得到邊上的高的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫直線方程，最后整理為一般式即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，整理得.（2）因?yàn)?/span>，所以邊上的高的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為，整理得.19．已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2+|;(2)在直線AB上,是否存在一點(diǎn)E,使得⊥ ?(O為原點(diǎn))【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算相應(yīng)公式計(jì)算即可．（2）假設(shè)存在點(diǎn)E，則+t，再根據(jù)⊥b,建立方程可求出t=．【詳解】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若⊥b,則·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在點(diǎn)E,使得⊥b,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模及向量垂直等，屬于中檔題．20．在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）由（1）可得：到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；（2）解：因?yàn)?/span>平面，所以到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，所以，即，即令，則.所求距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線面平行，以及求點(diǎn)到面的距離，熟記線面平行的判定定理，靈活運(yùn)用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可，屬于?？碱}型.21．問題：平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C過點(diǎn)A（6，0），且___________.（在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.）①圓心C在直線上，圓C過點(diǎn)B（1，5）；②圓C過點(diǎn)和；③圓C過直線和圓的交點(diǎn).(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)A的圓C的切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①條件,設(shè)出圓方程，將圓心坐標(biāo)代入直線方程、點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程，利用待定系數(shù)法求解；選②條件，點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓方程，利用待定系數(shù)法求解；選③條件，設(shè)圓C的方程為，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程，解得即可；（2）求得，過點(diǎn)A的切線斜率為，利用點(diǎn)斜式得答案.【詳解】（1）選①條件設(shè)所求圓的方程為，由題意得解得，，，所以所求圓的方程是.選②條件設(shè)圓C的方程為，因?yàn)閳AC過點(diǎn)A，B，C，所以有，解得，，，所以圓C的方程是.即選③條件因?yàn)閳AC過直線和圓的交點(diǎn)，所以設(shè)圓C的方程為，因?yàn)閳AC過點(diǎn)A（6，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程，解得，所以圓C的方程是，即（2）∵A在圓C上，，所以過點(diǎn)A的切線斜率為，∴過點(diǎn)A的切線方程是即.22．如圖所示，在五面體中，平面為的中點(diǎn)，.（1）求異面直線與所成角的大?。?/span>（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與的方向向量求異面直線與所成角即可.（2）求出平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，利用公式即可求出答案.【詳解】因?yàn)?/span>平面，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，（1）所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以異面直線與所成角為.（2）因?yàn)?/span>，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則則，所以平面與平面夾角的余弦值為. 

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