2022-2023學(xué)年甘肅省慶陽市華池縣第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．點（2，1）到直線3x﹣4y+2=0的距離是（ ）A．  B． C． D．【答案】A【詳解】解：點（2，1）到直線3x﹣4y+2=0的距離.故選A．2．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x的值為（    ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】從已知數(shù)列觀察出特點：從第三項開始每一項是前兩項的和即可求解【詳解】解：數(shù)列1，1，2，3，5，8，，21，34，55  設(shè)數(shù)列為 故選：．【點睛】本題考查了數(shù)列的概念及簡單表示法，是斐波那契數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題．3．若A，B兩點的橫坐標相等，則直線AB的傾斜角和斜率分別是（    ）A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在【答案】C【分析】由傾斜角和斜率的定義即可得到答案.【詳解】由傾斜角和斜率的定義可知，直線AB的傾斜角為90°，而當(dāng)傾斜角為90°時，斜率不存在．故選：C.4．直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象只可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負進行判斷．【詳解】對B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負的情況.故B錯.當(dāng)時， 和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項滿足.故選：D5．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（     ）A．103 B．107 C．109 D．105【答案】B【解析】根據(jù)題意可知正整數(shù)能被21整除余2，即可寫出通項，求出答案.【詳解】根據(jù)題意可知正整數(shù)能被21整除余2，，.故選：B.6．已知正項等比數(shù)列，滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先得，變形可得，進而等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案．【詳解】根據(jù)題意，正項等比數(shù)列中，若，則有，又，，所以．故選：A．7．設(shè)，，直線經(jīng)過圓的圓心，則的最小值為（    ）A．1 B．4 C．2 D．【答案】B【分析】圓心坐標代入直線方程得，然后用“1”的代換得定值后由基本不等式得最小值．【詳解】圓心為（1，1），所以于是當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：B．8．在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（    ）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【答案】B【分析】首先求得數(shù)列的通項公式，然后結(jié)合數(shù)列中各個項數(shù)的符號和大小即可確定數(shù)列中是否存在最大項和最小項.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列中項的符號問題，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，屬于中等題. 二、多選題9．已知等差數(shù)列11，8，5，…，則（    ）A．公差 B．該數(shù)列的通項公式為C．?dāng)?shù)列前10項和為 D．是該數(shù)列的第21項【答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，求出公差和通項公式，再利用前項和公式即可求解.【詳解】由題意可知：；∴；∴，∴；由，得．故選：ACD．10．在下列四個命題中，錯誤的有（    ）A．坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率；B．直線的傾斜角的取值范圍是；C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為；D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為【答案】ACD【分析】根據(jù)直線、傾斜角、斜率等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】傾斜角為時，直線的斜率不存在，A錯誤.直線的傾斜角的取值范圍是，B正確.直線斜率是，但直線的傾斜角不是，C錯誤.傾斜角為時，直線的斜率不存在，D錯誤.故選：ACD11．點在圓上，點在圓上，則（    ）A．的最小值為B．兩圓公切線有兩條C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓相交弦所在直線的方程為【答案】AC【分析】由兩圓方程可得圓心和半徑，由兩圓位置關(guān)系的判定可得兩圓相外切，由此依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】由圓的方程知：圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑；，兩圓外切；對于A，若重合，為兩圓的切點，則，A正確；對于B，兩圓外切，則公切線有條，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，兩圓相外切，兩個圓不存在相交弦，D錯誤.故選：AC.12．在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（    ）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】BCD【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對于C，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，，數(shù)列中的項列舉出來是，，，，，，將這k個式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.【點睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，屬于中檔題. 三、填空題13．圓與直線相交的弦長為____________．【答案】【分析】求出圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線的距離，再由弦長公式計算可得.【詳解】解：圓的圓心坐標是，半徑，因為圓心到直線的距離，所以所求弦長．故答案為：14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，，則___________.【答案】4.【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，所以．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計算．滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15．已知三角形三個頂點為，則邊上的高所在直線的方程為____________．【答案】【分析】由斜率公式求得，進而可得邊上的高所在直線的斜率，再由直線的點斜式即得.【詳解】由題可得直線的斜率為，故邊上的高所在直線的斜率為，因此，邊上的高所在直線的方程為，即．故答案為：.16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，，則__________．【答案】【詳解】原式為，整理為： ，即，即數(shù)列是以-1為首項，-1為公差的等差的數(shù)列，所以 ，即 .【點睛】這類型題使用的公式是 ，一般條件是 ，若是消 ，就需當(dāng) 時構(gòu)造 ，兩式相減 ，再變形求解；若是消 ，就需在原式將 變形為： ，再利用遞推求解通項公式.  四、解答題17．記為等差數(shù)列的前n項和，已知.(1)求的通項公式；(2)求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，利用等差數(shù)列的前n項和公式求解；（2）利用等差數(shù)列的前n項和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列的公差為d，∵，∴，解得2，∴.（2）由（1）知2，∴，，，∴當(dāng)時，取得最小值-16.18．（1）求經(jīng)過，且斜率為的直線方程；（2）已知直線l過點，且與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積為9，求直線l的斜率．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根據(jù)直線的點斜式即得；（2）設(shè)直線l的方程為，結(jié)合條件可列出方程組，進而即得.【詳解】（1）由題可得直線方程為，即所求直線的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為，則由題意有，解得或，由可知直線的斜率為，所以直線 l 的斜率為或．19．已知圓經(jīng)過和兩點,且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)若直線與圓相切，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)圓，依題意得到方程組，解得即可；（2）利用圓心到直線的距離等于半徑得到方程，解得即可；【詳解】（1）解：設(shè)圓，由題意得：，解得：，∴圓；（2）解：∵直線與圓相切，∴圓心到直線 的距離為， 解得：.20．設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項，根據(jù)的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項，，；（2）設(shè)的前項和為，，，①，②①②得，，.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21．已知圓，直線.（1）求證：對，直線與圓總有兩個不同的交點；（2）設(shè)與圓交于不同的兩點，，求弦的中點的軌跡方程；（3）若定點分弦為，求此時直線的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或.【分析】（1）根據(jù)直線過定點，且在圓內(nèi)證明； （2）當(dāng)與不重合時，連接，，則，可得，設(shè)，代入整理可得的軌跡方程；（3）設(shè)，，由，得，可得，聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，解得，代入聯(lián)立消元后的方程求解.【詳解】（1）因為直線過定點，又所以在圓內(nèi)，所以對，直線與圓總有兩個不同的交點；（2）如圖所示，當(dāng)與不重合時，連接，，則，∴.設(shè)，則，化簡得：；當(dāng)與重合時，，也滿足上式，故弦的中點的軌跡為；（3）設(shè)，，由，得，∴，化簡得①又由，消去得（*）.∴，②由①②解得，代入（*）整理得.∴直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及 中點弦問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）問題：已知，______________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列 的前項和?若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)選擇條件見解析，存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，. 【分析】(1)根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列的首項及公比即可得解.(2)由(1)可得，根據(jù)選擇的條件并結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式、通項公式列出方程求得公差，進而求出，再利用裂項相消法計算推理作答.【詳解】（1）依題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因，，則，即，解得(舍去)或，則，，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）選①：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由(1)知，，則，解得，于是得，，因此，，由得：，解得，而，則，所以存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，.選擇②：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由(1)知，，則，，又，則， 于是得，，因此，，由得：，解得，而，則，所以存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，.選擇③：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由(1)知，，由得，解得，于是得，，因此，，由得：，解得，而，則，所以存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項和，. 

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