一、單選題
1．設(shè)全集，，則
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求得集合中的元素，由此求得集合的補(bǔ)集.
【詳解】∵，∴.
故選D.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
2．若“”為真命題，則實(shí)數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．6D．7
【答案】B
【分析】由題知，再根據(jù)題意求解即可.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以.
因?yàn)槊}“”為真命題，
所以，實(shí)數(shù)a的最小值為.
故選：B
3．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果.
【詳解】由得則對應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C．
【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，為基礎(chǔ)題目．
4．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-18B．-12C．-8D．-6
【答案】D
【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)的奇偶性求解即可.
【詳解】由題知：，所以當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以.
故選：D
5．某地由于人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年的比例降低.若要求患病率低于當(dāng)前患病率的，則至少需要經(jīng)過的時(shí)間為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．4年B．5年C．6年D．7年
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件列不等式，解不等式求得需要經(jīng)過的時(shí)間.
【詳解】假設(shè)至少需要經(jīng)過的時(shí)間為（單位：年），
由題意得，
兩邊取以為底的對數(shù)得，
.因?yàn)椋?br>所以.
故選：B
6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)（），作，垂足為K，則外接圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，列出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，求出點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式與拋物線的性質(zhì)，得到為等邊三角形，且邊長，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，進(jìn)而得到外接圓的面積.
【詳解】由題得焦點(diǎn)，，則直線MN的方程為，聯(lián)立解得，作，則點(diǎn)K的坐標(biāo)為，，同理可得.
由拋物線定義可知，所以為等邊三角形，所以外接圓的半徑，所以外接圓的面積
故選：D
7．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周牌算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件，可以求,運(yùn)用公式，求出.
【詳解】設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件，
所以，因此,故本題選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了求對立事件的概率問題，考查了運(yùn)算能力.
8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，A，B分別為C的左右頂點(diǎn)，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為D，直線AD，BG的交點(diǎn)為M，且軸，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解法一：寫出直線AD的方程與直線BG的方程，求出，由求得離心率；
解法二：分別由與求出，建立關(guān)系式即可求得離心率.
【詳解】解法一：由題意可知，
故直線AD的方程為，即，
直線BG的方程為，即，
聯(lián)立直線AD，BG的方程，解得.
又軸，所以，所以C的離心，
故選：A.
解法二：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意知，
故 ，所以，即，解得.
又，所以，即 ，
解得，則，得，
所以C的離心率
故選：A.
二、多選題
9．關(guān)于多項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．各項(xiàng)系數(shù)之和為0
B．各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為256
C．存在常數(shù)項(xiàng)
D．含x項(xiàng)的系數(shù)為
【答案】ABC
【分析】選項(xiàng)，令即可求解；選項(xiàng)，將多項(xiàng)式中的換為2，再令即可求解；選項(xiàng)，求出展開式的通項(xiàng)公式，利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：選項(xiàng)A：令代入多項(xiàng)式，可得各項(xiàng)系數(shù)和為，故A正確；
選項(xiàng)B：取多項(xiàng)式，令代入多項(xiàng)式可得：，
所以原多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為256，故B正確；
選項(xiàng)C：多項(xiàng)式可化為，則展開式的通項(xiàng)公式為，
當(dāng)，2，4即，2，4時(shí)，有常數(shù)項(xiàng)，
且當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，故原多項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，展開式中含x的項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，含x的項(xiàng)為，
故原多項(xiàng)式的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
10．已知數(shù)列的首項(xiàng)為4，且滿足，則（ ）
A．為等差數(shù)列
B．為遞增數(shù)列
C．的前項(xiàng)和
D．的前項(xiàng)和
【答案】BD
【分析】由得，所以可知數(shù)列是等比數(shù)列，從而可求出，可得數(shù)列為遞增數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可求得的前項(xiàng)和，由于，從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】由得，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的
等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，顯然遞增，故B正確；
因?yàn)?，，所?br>，故，
故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘那绊?xiàng)和，
故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)晴】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到遞推公式求通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，等差數(shù)列前n項(xiàng)和等，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.
11．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的一個(gè)周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的一個(gè)零點(diǎn)為D．在上單調(diào)遞減
【答案】ABC
【分析】根據(jù)周期、對稱軸、零點(diǎn)、單調(diào)性，結(jié)合整體思想即可求解.
【詳解】對于A項(xiàng)，函數(shù)的周期為，，當(dāng)時(shí)，周期，故A項(xiàng)正確；
對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為最小值，此時(shí)的圖象關(guān)于直線對稱，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，，，所以的一個(gè)零點(diǎn)為，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有增有減，不是單調(diào)函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，N1為A1B1C1D1所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，且NN1⊥平面ABCD，則下列命題正確的是（ ）
A．若MN與平面ABCD所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為圓
B．若三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面積為定值，則點(diǎn)N的軌跡為橢圓
C．若點(diǎn)N到直線BB1與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線
D．若D1N與AB所成的角為，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線
【答案】ACD
【分析】A：根據(jù)線面角的定義，結(jié)合圓的定義進(jìn)行判斷即可；
B：根據(jù)棱柱的表面積公式，結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行判斷即可；
C：根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合正方體的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；
D：建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面向量夾角公式，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷即可.
【詳解】A：連接，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以是MN與平面ABCD所成的角，
即，因?yàn)镸為DD1的中點(diǎn)，所以，在直角三角形中，
，因此點(diǎn)N的軌跡為以為圓心半徑為2的圓，所以本選項(xiàng)命題是真命題；
B：過做，設(shè)三棱柱NAD﹣N1A1D1的表面積為，
所以定值，
顯然有到、直線的距離之和為定值，這與橢圓的定義不符合，故本選項(xiàng)命題是假命題；
C：連接，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
即點(diǎn)N到直線BB1與NB相等，所以點(diǎn)N的軌跡為點(diǎn)N到點(diǎn)B與直線DC的距離相等的軌跡，即拋物線，所以本選項(xiàng)命題是真命題；
D：以為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，所在的直線分別為，
，
則有、，因?yàn)镈1N與AB所成的角為，
所以，所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故本選項(xiàng)命題是真命題,
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圓錐曲線和圓的定義，結(jié)合正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
三、填空題
13．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為___________.
【答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】由，可得，
，，，
切線為，.
故答案為：.
14．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O作的垂線，垂足為點(diǎn)H，若雙曲線的離心率，存在實(shí)數(shù)m滿足，則___________.
【答案】
【分析】由題意，可得相似三角形，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，建立等量關(guān)系，結(jié)合離心率的公式，建立方程，可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，代入雙曲線可得，
由可得，由題易得.
由相似三角形的性質(zhì)可知，，則，
，整理得.，
，解得.
故答案為：.
15．從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____.
【答案】.
【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案.
【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況.
若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況，
若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況，
所以所求的概率為.
【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.
16．在中，為上兩點(diǎn)且，若，則的長為_____________.
【答案】
【分析】分別在與中利用余弦定理表示出與，根據(jù)可得，在中，利用余弦定理即可求解.
【詳解】由題意，在中，由余弦定理得,
在中，由余弦定理得.
又，
即.
又，.
易知.
在中，由余弦定理得，.
故答案為: .
四、解答題
17．已知數(shù)列中，，(為常數(shù)).
（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；
（2）若為等比數(shù)列，求的值及的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根據(jù)遞推公式得出值，再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可得出的值；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)得出，最后由求和公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）令，
令，
令，
而，，成等差數(shù)列，則，即
解得（舍），，即.
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，解得
設(shè)其公比為，則
所以，數(shù)列前項(xiàng)和.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用以及求等比數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題.
18．如圖，在棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)，且.
(1)設(shè)M是線段上一點(diǎn)，且.試問：是否存在點(diǎn)M，使得直線平面MNC？若存在，請證明平面MNC，并求出的值；若不存在，請說明理由；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）取的中點(diǎn)P，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，由線面平行的判定定理證明線面平行，由平行線的性質(zhì)得比值；
（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角的余弦．
【詳解】（1）取的中點(diǎn)P，因?yàn)?，所?
所以共面，連接CP交于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求.
證明：連接PN，因?yàn)镹是AD的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，所以，
又平面MNC，平面MNC，
所以直線平面MNC.
因?yàn)椋?
（2）連接AC.
由（1）知.
又平面ABCD，所以平面ABCD.
因?yàn)椋倪呅蜛BCD是菱形，
所以為正三角形，所以.
以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
又，所以，
所以點(diǎn)，
則.
設(shè)平面的法向量，則，即，
令，得.
設(shè)平面的法向量，則，即，
令，得，
所以，
由圖易得二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
19．已知橢圓的半焦距，離心率，且過點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l與橢圓C分別交于不同的兩點(diǎn)A，B，若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)把點(diǎn)代入橢圓得，在結(jié)合以及橢圓的性質(zhì)，可解出，，的值，再結(jié)合離心率的取值范圍，即可算出橢圓方程；
(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程為，聯(lián)立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由根的判別式可得，然后由韋達(dá)定理整理出，再結(jié)合即可得出；再討論當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，易得，綜合兩種情況即可得到答案.
【詳解】（1）由題意得，
整理得，
即，
解得或.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C的離心率，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)C的離心率，不合題意，舍去，
所以橢圓C的方程為.
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，
聯(lián)立得，
因?yàn)橹本€l與橢圓C分別交于不同的兩點(diǎn)A，B，
所以，整理得.
設(shè)，則，
所以
，
因?yàn)?，所以令，則，
由，得，即，
因?yàn)?，所以?br>解得，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，
此時(shí)直線l與橢圓C的兩交點(diǎn)分別為，
不妨取，則，
所以，所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為.
20．某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進(jìn)行“文明騎車”的道路監(jiān)管，為了解市民對該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機(jī)抽取了200名市民對該項(xiàng)目進(jìn)行評分，繪制如下頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值，并計(jì)算這200名市民評分的平均值；
(2)用頻率作為概率的估計(jì)值，現(xiàn)從該城市市民中隨機(jī)抽取4人進(jìn)一步了解情況，用表示抽到的評分在90分以上的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；平均分為分
(2)分布列答案見解析，期望為1
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖頻率之和為1計(jì)算即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算列的分布列，數(shù)學(xué)期望計(jì)算即可.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，
，
由，解得，
（分）.
（2）評分在90分以上的頻率為，用頻率作為概率的估計(jì)值，現(xiàn)從該城市中隨機(jī)抽取4人可以看成二項(xiàng)分布，,
的所有可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為：
.
21．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
【答案】(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因?yàn)椋?br>由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
22．已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)以后判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出極值；
（2）等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，通過研究函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）∵，∴，（點(diǎn)撥：導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)，需要注意對參數(shù)分類討論）
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，函數(shù)無極值.
當(dāng)時(shí)，令，得，得，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無極大值.
綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值.
（2）解法一 由得，，整理得.
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，令，
則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，且當(dāng)時(shí)，，
∴在上存在唯一的，使得，即，（技巧：利用零點(diǎn)存在定理判斷）
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，∴.
令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，∴.
又，∴.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（分類討論后，注意整合結(jié)論）
解法二 由得，，整理得.
令，
則，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，得.（技巧：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)）令，
則，
令，則，（點(diǎn)撥：一次求導(dǎo)之后，無法判斷導(dǎo)函數(shù)的符號時(shí)，要構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行二次分析）
∴單調(diào)遞減，又，
故當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
∴，∴，得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
解法三 由得，，整理得.
令，
則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
當(dāng)時(shí)，，滿足題意.
當(dāng)時(shí)，由，得.
現(xiàn)在證明當(dāng)時(shí)，.
∵，∴，
令，則，
易知單調(diào)遞增，且，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，∴恒成立，
得恒成立.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：
（1）參變量分離：
（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.
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