2022屆陜西省咸陽(yáng)市禮泉縣第一中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知全集，2，3，4，，，4，，，，則（    ）A． B．， C．，2，3， D．，2，4，【答案】D【分析】根據(jù)并集和補(bǔ)集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】全集，2，3，4，，，，，2，，，4，，，2，4，，故選：D2．已知（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)等于（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用方程的思想與復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以.故選：A.3．一個(gè)十字路口的交通信號(hào)燈，紅燈?綠燈?黃燈亮的時(shí)間分別是30秒?40秒?5秒，則某輛車(chē)到達(dá)路口，遇見(jiàn)綠燈的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由長(zhǎng)度型幾何概型的概率公式求出遇見(jiàn)綠燈的概率.【詳解】解：一個(gè)十字路口的交通信號(hào)燈，紅燈?綠燈?黃燈亮的時(shí)間分別是30秒?40秒?5秒，則某輛車(chē)到達(dá)路口，由幾何概型得遇見(jiàn)綠燈的概率.故選：C.4．已知橢圓上一點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離為1，則的中點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】B【分析】由橢圓定義求得到右焦點(diǎn)的距離，由中位線定理得，從而可得結(jié)論．【詳解】易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，則由橢圓的定義得．在中，易知為的中位線，所以，故選：B．5．若命題p：函數(shù)（且的圖像過(guò)定點(diǎn)，命題q：函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則下列命題是真命題的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)可以判斷命題p的真假，由函數(shù)的值域可以判斷命題q，然后逐項(xiàng)判斷命題的真假即可.【詳解】命題p:當(dāng)時(shí)，，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，所以p為真命題；命題q：由,所以，所以值域?yàn)椋?/span>，所以命題q為假命題，選項(xiàng)A: p為真命題，q為假命題，故為假命題，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B: p為真命題，q為假命題，故為真命題，所以B正確；選項(xiàng)C: p為真命題，為假命題，故為假命題，所以C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D: p為真命題，q為假命題，所以為假命題，為真命題故為假命題， 故選：B.6．函數(shù)的圖象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的奇偶性及與的大小關(guān)系，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項(xiàng)；，排除A選項(xiàng).故選：B.7．造紙術(shù)是我國(guó)古代四大發(fā)明之一.紙張的規(guī)格是指紙張制成后，經(jīng)過(guò)修整切邊，裁成一定的尺寸.現(xiàn)在我國(guó)采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定以A0，A1，…，A10；B0，B1，.B10等標(biāo)記來(lái)表示紙張的幅面規(guī)格，其中A系列的幅面規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬（以x表示）和長(zhǎng)度（以y表示）的比例關(guān)系為；②將A0紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A1規(guī)格.A1紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為A2規(guī)格，…如此對(duì)開(kāi)至A8規(guī)格.若A4紙的面積為624cm2，則A8紙的面積為（    ）A．39cm2 B．78cm2 C．4992cm2 D．9984cm2【答案】A【分析】由條件可得紙張的面積分別為，為等比數(shù)列，并且公比為，利用等比數(shù)列求A8紙的面積.【詳解】設(shè)紙張的面積分別為，，則為等比數(shù)列，公比，，解得：.故選：A8．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)，由計(jì)算函數(shù)周期，并根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于A，的周期，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，的周期，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，的周期，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，的周期，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C.9．已知沒(méi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可知，或恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>沒(méi)有極值，所以或恒成立，又因?yàn)?/span>開(kāi)口向上，所以恒成立，即，所以，整理得，解得，所以.故選：C.10．已知雙曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則雙曲線的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】記雙曲線的焦距為，根據(jù)題中條件，先求出，設(shè)雙曲線方程為，得出漸近線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)，求出，，即可得出雙曲線方程.【詳解】記雙曲線的焦距為，因?yàn)殡p曲線與拋物線有共同的焦點(diǎn)，其中，即，所以可設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，所以，即，則，所以，因此雙曲線的方程為.故選：D.11．已知：，，則p成立的一個(gè)充分不必要條件可以是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得對(duì)恒成立，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，恒成立，所以對(duì)恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故p：，即命題p成立的一個(gè)充分不必要條件是的一個(gè)真子集，故選：B12．若直線與曲線相切，則（    ）A．為定值 B．為定值C．為定值 D．為定值【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求得切點(diǎn)，將其代入直線方程可得，據(jù)此解答即可.【詳解】設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)橹本€的斜率，所以，所以由得，則，所以切點(diǎn)為，將切點(diǎn)代入直線方程得，即.故選：D. 二、填空題13．在等比數(shù)列中，若，則______.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.14．已知，則與的夾角為________．【答案】【分析】直接由夾角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為θ，則cos θ，所以.故答案為：15．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則__________.【答案】##【分析】利用反推法與三角函數(shù)圖像變換得到的解析式，再計(jì)算即可.【詳解】由題可知，要得到，需將的圖象，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的倍，得到，所以.故答案為：.16．設(shè)是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，且.若，則______.【答案】【分析】先由的奇偶性與題設(shè)條件推得，從而證得是周期函數(shù)，進(jìn)而利用的周期性與奇偶性求得.【詳解】因?yàn)?/span>是定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù)，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，則是周期為的周期函數(shù)，所以.故答案為：. 三、解答題17．一種配件的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為，誤差不超過(guò)均為合格品，其余為不合格品.科研人員在原有生產(chǎn)工藝的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)技術(shù)攻關(guān)，推出一種新的生產(chǎn)工藝.下面的表格分別給出了用兩種工藝生產(chǎn)的20個(gè)配件的尺寸（單位：）：新工藝500499503500505500502499500498502496498501500497498503500499舊工藝497502499495502494500496506503499496505498503502496498501505 (1)請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整； 合格品不合格品合計(jì)新工藝  20舊工藝  20合計(jì) 1040 (2)根據(jù)所得樣本數(shù)據(jù)判斷，能否有的把握認(rèn)為用兩種工藝生產(chǎn)的配件合格率有差異？附：.  【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析(2)有 【分析】（1）根據(jù)題意，逐一辨析新舊工藝的合格品與不合格品的個(gè)數(shù)，從而完善列聯(lián)表；（2）結(jié)合（1）中列聯(lián)表求得，從而通過(guò)查表得到結(jié)論.【詳解】（1）依題意得，合格品的尺寸范圍為（單位：），其余為不合格品，所以新工藝的合格品有18個(gè)，不合格品有2個(gè)；舊工藝的合格品有12個(gè)，不合格品有8個(gè)；所以完整的列聯(lián)表如下： 合格品不合格品合計(jì)新工藝18220舊工藝12820合計(jì)301040 （2）由（1）得，，所以有的把握認(rèn)為用兩種工藝生產(chǎn)的配件合格率有差異.18．如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，且，為上的點(diǎn).(1)求證：；(2)若為中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用線面垂直的判定定理，可證平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得證；（2）利用換頂點(diǎn)方法，三棱錐的體積即為三棱錐，由于為中點(diǎn)，則可求出高，根據(jù)三棱錐體積公式求解即可.【詳解】（1）證明：平面，平面，，又底面是正方形，，而，平面，平面，平面，.（2）平面，為中點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離，.19．已知中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，.(1)求B；(2)若D為BC邊的中點(diǎn)，，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理、輔助角公式化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.（2）利用余弦定理求得，進(jìn)而求得三角形的面積【詳解】（1）在中由正弦定理及已知條件，可得，∵，∴，∴，∴.∵，∴.∴.（2）∵D為BC邊的中點(diǎn)，，∴.在中，由余弦定理得，∴，∴，解得或（舍去）.∴.20．已知等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的公差都為，等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，且成等差數(shù)列，等差數(shù)列的首項(xiàng)為1.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1).(2) 【分析】（1）利用等差中項(xiàng)公式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得，從而求得；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得.【詳解】（1）由題意可知，是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，，因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，所以，即，整理得，即，解得，所以.（2）由（1）得，故，則，兩式相減得：，故.21．已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間：(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)見(jiàn)解析 (2) 【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種情況進(jìn)行討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求解；(2)結(jié)合（1）的結(jié)論，分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)條件和零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，令，得：令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫(xiě)成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22．在直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）直線：與圓交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【分析】（1）化為一般式方程，再根據(jù)計(jì)算即可得答案；（2）聯(lián)立極坐標(biāo)方程得，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：（1）因?yàn)閳A的方程為，故化為一般式方程得，，因?yàn)?/span>，所以.（2）聯(lián)立方程得，設(shè)，所以 所以23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分類(lèi)討論x的范圍求的解集即可.（2）由絕對(duì)值的幾何意義可得，再討論參數(shù)a求的解集，即可得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，則，而時(shí)，不等式的解集為.（2），且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，得，則，當(dāng)時(shí)，，得，則.綜上，若，則的取值范圍是. 

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