2022屆陜西省咸陽市禮泉縣第一中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)得到其點的坐標(biāo)即可.【詳解】由題意，，所以對應(yīng)的點的坐標(biāo)為.故選：B.2．已知為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先由題設(shè)條件得到，再利用的奇偶性求得即可.【詳解】因為當(dāng)時，，所以，又因為為奇函數(shù)，所以.故選：C.3．已知集合，，則中元素的個數(shù)為（    ）A．3 B．2 C．5 D．無數(shù)個【答案】A【分析】根據(jù)集合所表示的點，結(jié)合交集定義，即可求解.【詳解】，，，所以元素有3個.故選:A【點睛】本題考查集合的運用，注意集合元素所表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.4．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則“z為純虛數(shù)”是“”的（    ）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由z為純虛數(shù)，設(shè)，可得，則；當(dāng)z是實數(shù)0時，即，可得，則，但此時z不是純虛數(shù)，所以“z為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件．故選：B.5．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，，則，，第四個數(shù)即.故選：C.6．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、單調(diào)性對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，，A選項不符合.B選項，，，B選項不符合.C選項，，，C選項不符合.D選項，，，所以是周期為的周期函數(shù)；，此時且在上遞減，則在上遞增，符合題意，D選項正確.故選：D7．已知遞增等差數(shù)列的前項和為，若，且成等比數(shù)列，則公差（    ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式與通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的等比中項公式得到關(guān)于與的方程組，解之即可.【詳解】因為是遞增等差數(shù)列，所以，又因為，且成等比數(shù)列，所以，即，整理得，解得（負值舍去），所以.故選：D.8．.如圖，在中，，是線段上一點，若，則實數(shù)的值為（    ）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，由向量的運算法則得到，又由，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)，因為，所以，則，又因為，所以，解得.故選：A.9．某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表 ，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表，那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為 A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)規(guī)定每人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以的余數(shù)大于時增加一名代表，即余數(shù)分別為時可以增選一名代表，也就是要進一位，所以最小應(yīng)該加，因此利用取整函數(shù)可表示為，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故選B．【解析】函數(shù)的解析式及常用方法．【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的解析式問題，其中解答中涉及到取整函數(shù)的概念，函數(shù)解析式的求解等知識點的考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，此類問題的解答中主要是讀懂題意，在根據(jù)數(shù)學(xué)知識即可得到答案，對于選擇題要選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒?，試題有一定的難度，屬于中檔試題． 10．安排6名同學(xué)去甲?乙兩個社區(qū)參加志愿者服務(wù)，每名同學(xué)只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排2名同學(xué)，則不同的安排方法共有（    ）A．10種 B．20種 C．50種 D．70種【答案】C【分析】結(jié)合人數(shù)的分配以及排列數(shù)、組合數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】個人分成兩組，可以是或，所以，不同的安排方法有.故選：C11．已知點是橢圓：上一點，點?是橢圓的左?右焦點，若的內(nèi)切圓半徑的最大值為，則橢圓的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，結(jié)合，，，，可得，再由以及即可求解.【詳解】由題意可得：，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，所以，因為的內(nèi)切圓半徑的最大值為，所以因為，所以，可得，所以橢圓的離心率為，故選：B.12．已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且.若，則（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由已知可得，即是首項為，公差為2，項數(shù)為k的等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式代入可得，由，整理得，代入檢驗即可得解.【詳解】，，兩式相減可得：所以數(shù)列是隔項成等差數(shù)列，所以是首項為，公差為2，項數(shù)為k的等差數(shù)列，則，即，又，，即，即，代入檢驗即可知滿足.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列的通項公式，及等差數(shù)列求和公式，熟練應(yīng)用數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運算求解能力，屬于一般題. 二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則______．【答案】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式求解．【詳解】解：，，則．故答案為．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)的計算題．14．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則__________.【答案】##【分析】利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.【詳解】依題意，，由正弦定理得，由于，所以，由于，所以.故答案為：15．把函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則__________.【答案】##【分析】利用反推法與三角函數(shù)圖像變換得到的解析式，再計算即可.【詳解】由題可知，要得到，需將的圖象，向左平移個單位長度，得到，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)擴大為原來的倍，得到，所以.故答案為：.16．已知函數(shù)與的圖象在公共點處有共同的切線，則實數(shù)的值為______．【答案】【分析】設(shè)公共點為（），則，聯(lián)立消去可得到關(guān)于的方程，進而可求出的值【詳解】解：公共點為（），則，由，得，由，得，因為函數(shù)與的圖象在公共點處有共同的切線，所以，即，得，所以，即，得，所以，故答案為： 三、解答題17．疫情防控，人人有責(zé).為了增強防疫知識，某學(xué)校舉行防疫知識競賽，現(xiàn)從該校高二甲?乙兩個班隨機各抽取了8名同學(xué)的成績進行分析，下面的莖葉圖記錄了他們的成績（100分制）.(1)若分?jǐn)?shù)不低于85分為“防疫達人”，求在兩個班抽取的16名同學(xué)中“防疫達人”所占的比例；(2)求乙班抽取的8名同學(xué)的成績的方差.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.（2）先求得乙班抽取學(xué)生的平均數(shù)，然后利用方差的計算公式求得方差.【詳解】（1）由莖葉圖可知，甲?乙兩班中，分?jǐn)?shù)不低于85分的有7人，故在兩個班抽取的16名同學(xué)中“防疫達人”所占的比例為.（2）乙班抽取的8名同學(xué)的平均分為，方差為：.18．已知拋物線C：的焦點，直線：與拋物線C相交于不同的兩點.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由焦點坐標(biāo)可得，從而可求出，進而可求出拋物線的方程（2）設(shè)與相交于，然后將直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合焦半徑公式列方程可求出的值【詳解】解：（1）因為拋物線C：的焦點，所以，得，所以拋物線方程為（2）設(shè)與相交于，由得：，，∵直線過焦點∴∴=1∴19．已知等比數(shù)列的公比和等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項為，且，，成等差數(shù)列，等差數(shù)列的首項為.(1)求和的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1) (2)具體見解析. 【分析】（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列求出，進而得出和的通項公式；（2）利用錯位相減法求出，進而得到答案.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，則，所以，.（2）解：由（1），，所以……①則……②，①-②得，，所以.20．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，．(1)求證：；(2)求與平面的所成角的大小．【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）根據(jù)題意證明平面，進而證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】（1）證明：因為側(cè)棱平面，平面所以因為平面是正方形所以因為，所以平面因為平面所以（2）由題意，底面是正方形，側(cè)棱底面，則以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由于，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，設(shè)與平面的所成角為，所以，因為，所以21．已知函數(shù)，記.(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值；(2)當(dāng)時，試判斷的零點個數(shù).【答案】(1)；(2)2個.【分析】(1)對求導(dǎo)，求出在上的單調(diào)性，進而求出在上的最大值；(2)通過對求導(dǎo)，進而求出的單調(diào)區(qū)間，求出的最值，再利用零點存在的基本定理即可求解.【詳解】(1)由題意知，，，當(dāng)且時，恒成立，從而在單調(diào)遞減，故的最大值為.(2)由題意知，判斷的零點個數(shù)，即判斷的零點個數(shù)，當(dāng)時，，，令，則；，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是唯一的極值點且為極大值點，故的最大值為，又，，由零點的存在性定理知，在和上分別有一個零點，故有2個零點.22．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為，過點只能作一條圓的切線，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓的極坐標(biāo)方程；(2)直線和圓相交于不同的兩點，若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先由題設(shè)條件判斷得點在圓上，由此求得，進而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化即可求得圓的極坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線與圓的極坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達定理得到的方程，再由得到，由此即可求得的值.【詳解】（1）由題意知，點在圓上，故線段為圓的半徑，則，所以圓的直角坐標(biāo)方程為，即，故圓的極坐標(biāo)方程為.（2）將直線代入圓的極坐標(biāo)方程可得，由與，得，設(shè)點的極坐標(biāo)分別為，則，故，又因為，所以，則由得，故，所以，則，所以.23．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)將寫成分段不等式組的形式，解不等式組即可；(2)根據(jù)題意將原不等式轉(zhuǎn)化為，解絕對值不等式即可.【詳解】解：（1）等價于或解得.故不等式的解集為.（2），即，即.因為，所以等價于，解得.故的取值范圍為. 

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