2022屆陜西省延安市子長(zhǎng)市中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知集合，，則（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合A，利用集合交運(yùn)算求.【詳解】由題設(shè)，，又，∴.故選：B2．已知a，，復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），若，則（    ）A．1 B．2 C．－2 D．－4【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義列方程求解即可．【詳解】解：由得，，，解得，．故選：B．3．若，下列不等式成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：對(duì)于A、C：因?yàn)?/span>，所以，所以，故A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?/span>，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?/span>，所以，所以，即，故D正確；故選：D4．函數(shù)在上的圖象大致為（    ）A．    B．  C．    D．   【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào)，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)時(shí)，，，排除選項(xiàng)D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，成等差數(shù)列，，即，解得：.故選：C.6．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】由題意得的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減原則，可得的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D7．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再利用三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可得答案．【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象的解析式為，令，得．令k＝0，則，即平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.故選：A8．已知為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（   ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】若，則，所以，若，不一定有，如時(shí)，有，所以則“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.9．若正數(shù)x，y滿足x+4y-xy=0，則當(dāng)x+y取得最小值時(shí)，x的值為（    ）A．9 B．8 C．6 D．3【答案】C【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，利用基本不等式中“1的代換進(jìn)行求解即可.”【詳解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴，∴x+y=（x+y）=5+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)x=6，y=3.故選：C.10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)，由求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng) 時(shí) ，又適合上式，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1，故選：A.11．已知，則下列關(guān)系不可能成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，和的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合圖象判斷即可.【詳解】依題意，令，則，，，令，，和，則a，b，c可分別視為函數(shù)，，的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，和的圖像，如圖，觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然不可能，所以不可能成立的是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及某些由指數(shù)式、對(duì)數(shù)式給出的幾個(gè)數(shù)大小比較，可以把這幾個(gè)數(shù)視為對(duì)應(yīng)的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與另外某個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用圖象的直觀性解決.12．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，. 當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，再將等價(jià)轉(zhuǎn)化并借助單調(diào)性、奇偶性即可作答.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，因為上的奇函數(shù)，即，于是得，則是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，又，則，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，綜上得或，所以成立的的取值范圍是.故選：B 二、填空題13．已知向量，向量與的夾角為 ，則的值為______.【答案】6【分析】利用向量數(shù)量積公式先計(jì)算，然后計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?/span>，向量與的夾角為所以所以故答案為：6.14．已知函數(shù)，則＝_____．【答案】π【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再借助誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值即可.【詳解】由求導(dǎo)得：，于是得，所以.故答案為：π15．若直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性和極值，由此可求得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.16．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“二百五十二里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：“有一個(gè)人走252里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問(wèn)此人最后一天走了______里．【答案】4【分析】根據(jù)題意確定每天走的路程構(gòu)成等比數(shù)列，從而利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】依題意，設(shè)第天走的路程為里，則有，所以是以的等比數(shù)列，故，解得，所以此人最后一天走了里.故答案為：4. 三、解答題17．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，，求bc的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理即可求解；（2）由余弦定理即可求解.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理可得，∵，∴．∴，∴，∵，∴．（2）根據(jù)余弦定理得：，即，∵，代入解得：．18．如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面平面ABCD，為等腰直角三角形，，，O、Q分別為AD、PB的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線AQ與平面PBC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由平面平面ABCD，可得平面PAD，再由線面垂直的性質(zhì)定理可得答案；（2）由已知可得平面平面ABCD，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于AB的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出、平面PBC的法向量，由線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）∵平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD∴平面PAD，又平面PAD，∴；（2）因?yàn)?/span>，O為AD的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面平面ABCD，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O且平行于AB的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，取，可得，設(shè)直線AQ與平面PBC所成的角為，則．19．為了保障電力供應(yīng)，支持可再生能源發(fā)展，促進(jìn)節(jié)能減排，某省推出了省內(nèi)居民階梯電價(jià)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)：以一個(gè)年度為計(jì)費(fèi)周期?月度滾動(dòng)使用，第一階梯電量：年用電量2160度以下（含2160度），執(zhí)行第一檔電價(jià)元/度；第二階梯電量：年用電量超過(guò)2160度且在4200度以下（含4200度），執(zhí)行第二檔電價(jià)元/度；第三階梯電量：年用電量4200度以上，執(zhí)行第三檔電價(jià)元/度.電力部門從本省的用電戶中隨機(jī)抽取10戶，統(tǒng)計(jì)其同一年度的用電情況，列表如下：用戶編號(hào)12345678910年用電量（度）1000126014001824218024232815332544114600 以表中抽到的10戶作為樣本，估計(jì)全省居民的用電情況，并將頻率視為概率.(1)從全省居民用電戶中隨機(jī)地抽取1戶，估計(jì)抽到的這戶用電量在第一階梯中的概率；(2)若從全省居民用電戶中隨機(jī)抽取2戶，若抽到用電量為第一階梯的有戶，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）觀察樣本中第一階梯的戶數(shù)與總戶數(shù)之比為所求；（2）分別計(jì)算出第一階梯戶數(shù)為0,1,2的概率畫出分布列，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式容易得到答案.【詳解】（1）從表中可以看出，這10戶中有4戶的用電量為第一階梯，從這10戶中隨機(jī)抽取1戶，抽到的這戶用電量在第一階梯中的概率是，從全省居民用電戶中隨機(jī)抽取1戶，估計(jì)抽到的這戶用電量在第一階梯中的概率是.（2）由（1）知，從全省居民用電戶中隨機(jī)抽取1戶，抽到的這戶用電量在第一階梯中的概率是，從全省居民用電戶中隨機(jī)抽取2戶，抽到用電量為第一階梯的戶數(shù)滿足，的所有可能取值為，，的分布列為：012 數(shù)學(xué)期望.20．已知橢圓C：的離心率為，橢圓C上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離之和等于．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A、B，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解關(guān)于的方程即得解；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】（1）解：由橢圓的定義可得，故，由，可得，則，∴橢圓C的方程為．（2）解：設(shè)，，將直線l：代入橢圓方程，可得，∴，，由，解得，由，得，故，即，可得，解得，都滿足題意.所以.21．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)恒成立.【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先由求出的值，再由求出的值，（2）要證對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)（），然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于零即可【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，解得，則，解得.（2）證明：因?yàn)?/span>，所以要證對(duì)恒成立，只需證對(duì)恒成立.設(shè)函數(shù)（），則.因?yàn)?/span>，所以，所以在上單調(diào)遞減，從而，則對(duì)恒成立，故當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立.22．已知曲線（為參數(shù)），（為參數(shù)）.（1）求，的普通方程；（2）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，求.【答案】（1）：，：；（2）；【分析】（1）消去參數(shù)得到曲線的普通方程；（2）直接將所對(duì)應(yīng)的參數(shù)代入?yún)?shù)方程，求出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）曲線（為參數(shù)），曲線的普通方程為：，（為參數(shù)）.曲線的普通方程為．（2）因?yàn)榍€（為參數(shù)），對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，所以；（為參數(shù)），點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，所以，所以23．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或；(2)【分析】(1)把a=5代入原不等式，根據(jù)不同的定義域有不同的不等式，解出不等式即可；(2)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，解出不等式即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由，得，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由，得，解得.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）∵，∴不等式恒成立，等價(jià)于.∴或（經(jīng)檢驗(yàn)符合題意）.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 

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