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山東省濟南市高三期末考試模擬數(shù)學試題二2022.12.17一、單選題1．已知集合，，則（ ）A． B． C． D．【答案】C2．已知為虛數(shù)單位，則（ ）.A． B．C． D．【答案】C3．下列結(jié)論正確的是（ ）A．在中，“是鈍角”是“是鈍角三角形”的必要不充分條件B．“,關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題C．“菱形的對角線相等且互相垂直”是真命題D．若是真命題，則可能是真命題【答案】B4．籃球比賽中每支球隊的出場陣容由5名隊員組成，2017年的籃球賽中，休斯敦火箭隊采取了“八人輪換”的陣容，即每場比賽只有8名隊員有機會出場，這8名隊員中包含兩名中鋒，兩名控球后衛(wèi)，若要求每一套出場陣容中有且僅有一名中鋒，至少包含一名控球后衛(wèi)，則休斯頓火箭隊的主教練一共有種出場陣容的選擇.A．16 B．28 C．84 D．96【答案】B5．如圖，在四邊形中，已知， ，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C6．如圖為服用同等劑量的三種新藥后血藥濃度的變化情況，其中點的橫坐標表示服用第種藥后血藥濃度達峰(最高濃度)時間，其它點的橫坐標分別表示服用三種新藥后血藥濃度首次降到峰值一半時所用的時間(單位:)，點的縱坐標表示第種藥的血藥濃度的峰值. 記為服用第種藥后達到血藥濃度峰值時，血藥濃度提高的平均速度，記為服用第種藥后血藥濃度從峰值首次降到峰值的一半所用的時間，則中最小的，中最大的分別是A． B． C． D．【答案】B7．已知雙曲線C：的右焦點為F，O為坐標原點.以F為圓心，OF為半徑作圓F，圓F與C的漸近線交于異于O的A，B兩點.若|AB||OF|，則C的離心率為（ ）A． B． C． D．2【答案】D8．若函數(shù)的圖象與曲線C:存在公共切線，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A二、多選題9．2020年突如其來的新冠肺炎疫情讓民眾更加重視身體健康，為促進學生增強體質(zhì)，某學校對高一、高二年級在某一周內(nèi)每天的人均體育鍛煉時間（單位：分鐘）進行了調(diào)研．根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成折線圖如圖：下列說法正確的是（ ）A．高二年級該周每天的人均體育鍛煉時間的眾數(shù)為30B．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時間的中位數(shù)為72C．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時間的極差比高二年級的小D．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時間的平均值比高二年級的大【答案】AC10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（ ）A．由可得是的整數(shù)倍B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上為減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上有20個零點【答案】BCD11．正方體的棱長為4，點，分別為棱，上的動點，且滿足，則以下命題正確的有（ ）A．三角形的面積始終保持不變 B．直線始終在平面內(nèi)C．三棱錐的體積始終不變 D．直線可能與平面垂直【答案】BC12．數(shù)列首項，對一切正整數(shù)，都有，則（ ）A．對一切正整數(shù)都有 B．數(shù)列單調(diào)遞減C．存在正整數(shù)，使得 D．都是數(shù)列的項【答案】ABD三、填空題13．已知，則___________.【答案】14．已知，，則________．【答案】．15．函數(shù)在上的最小值和最大值之和為________【答案】16．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點處的切線方向相同．如圖所示，一列圓 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐個外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______【答案】 四、解答題17．已知的三個內(nèi)角，，的對邊長分別為，，，（Ⅰ）若，請判斷三角形的形狀；（Ⅱ）若，，求的邊的大?。?/span>【答案】（Ⅰ）等邊三角形；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由余弦定理和已知條件可求得.從而可判斷出 三角形的形狀.（Ⅱ）由同角三角函數(shù)的關(guān)系求得，再根據(jù)，求得，由正弦定理可求得.【詳解】解：（Ⅰ）由，，得，即：.又， ∴ 三角形是等邊三角形.（Ⅱ）由，，得，又，∴ ，由正弦定理得．18．已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）利用得到，整理的為等比數(shù)列，求出通項公式；（2），利用錯位相減法求和．試題解析： （1）∵ ①， ②②-①得，即，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列∴（2）由，∴，∴ ③，左右兩邊乘于2得 ④，③-④得 ．∴19．在四棱錐中，底面ABCD為梯形，已知，，，是以BC為斜邊的等腰直角三角形．(1)證明：平面PCD；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取為的中點，連接、，先證、，然后再證明，從而證明平面，找到，再根據(jù)，即可證明平面PCD.（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別表示出對應(yīng)點的坐標，然后計算平面、平面的法向量，通過計算兩個法向量夾角的余弦值來確定二面角的平面角的余弦值.(1)證明：設(shè)點為的中點，連接、，因為是以BC為斜邊的等腰直角三角形，所以，因為，所以，因為，，所以,在中，，可知，且,又因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，在中，，所以，即，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面PCD.(2)以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸為正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，空間直角坐標系，由題意得：，，，，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，得，不妨設(shè)，則，同理可得平面的一個法向量為，所以.由圖可知，所求的二面角平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.20．2011年，國際數(shù)學協(xié)會正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學節(jié)，來源是中國古代數(shù)學家祖沖之的圓周率，為慶祝該節(jié)日，某校舉辦數(shù)學趣味知識競賽活動，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在，分別獲二等獎和一等獎．按文理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖．（1）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”？ 文科生理科生合計獲獎5 不獲獎 合計 200 （2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學生中，通過分層抽樣的方法從這些獲獎人中隨機抽取4人，再從這4人中任意選取2人，求2人均獲二等獎的概率．臨界值表： 參考格式：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”；（2）．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算獲獎人數(shù)，并由數(shù)據(jù)分析，補全列聯(lián)表,根據(jù)公式計算，并確定是否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”；（2）先計算抽取的一、二等獎的人數(shù)，并列出從這4人中隨機抽取2人的所有基本事件和2人均是二等獎的基本事件，再用古典概型的概率計算公式求得概率.【詳解】（1）補全列聯(lián)表如下表． 文科生理科生合計獲獎53540不獲獎45115160合計50150200 ．所以有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”．（2）由已知可得，分數(shù)在獲二等獎的參賽學生中抽取3人，分數(shù)在獲一等獎的參賽學生中抽取1人．記二等獎的3人分別為a，b，c，一等獎的1人為A，事件E為“從這4人中抽取2人且這2人均是二等獎”．從這4人中隨機抽取2人的基本事件為，，，，，，，共6種，其中2人均是二等獎的情況有，，共3種，由古典概型的概率計算公式得．故2人均獲二等獎的概率為．【點睛】本題考查獨立性檢驗，古典概型的概率公式的應(yīng)用，還考查數(shù)據(jù)分析，計算能力，屬于中檔題.21．已知橢：（）過點，且橢圓的離心率為.過橢圓左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）求線段的垂直平分線的方程；（3）求三角形的面積.（為坐標原點）【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由條件得到，求橢圓方程；（2）直線的方程是，與橢圓方程聯(lián)立求線段的中點，寫出垂直平分線方程；（3）利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，進而可計算出三角形的面積.【詳解】（1）由題意可知，， ，，橢圓的方程是；（2）橢圓的左焦點 ,直線的方程是 ，與橢圓方程聯(lián)立，得，，，代入直線的方程得，線段的中點是，并且線段的垂直平分線的斜率是-1，線段的垂直平分線的方程是，即；（3）由（2）可知， ，，原點到直線的距離，.22．已知函數(shù)存在唯一的極值點為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）求得導數(shù)，令，分、和三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性和極值點概念，即可求解.（2）由（1）得到，，進而得到，，兩式相加化簡變形，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，可得的定義域為，且，令，①若，可得，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；②若，可得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，（ⅰ）若，即時，，即，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；（ⅱ）若，即時，，，因為，則，所以在上有兩個變號零點，所以有兩個極值點，不合題意；③若，，則在上單調(diào)遞減，且，，存在唯一，使，當時，，，當時，，，所以是的唯一極值點，符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍是．（2）由（1）可知，，因為，，所以，，，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，即，，現(xiàn)證明不等式：，其中要證，即證，即證，即證，易知成立．所以，即，即，所以，證畢．
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