山東省濟(jì)南市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線的一般方程與斜率的關(guān)系，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【詳解】直線的斜率為1，故傾斜角為.
故選：B
2. 已知雙曲線，則其漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可．
【詳解】由于雙曲線為，所以其漸近線方程為.
故選：C.
3. 已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則等于（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由題意易知，
又各項(xiàng)為正數(shù)，所以.
故選：B
4. 在三棱柱中，若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】由題可知.
故選：D
5. 2023年10月29日，“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會．某贊助商在沿途設(shè)置了10個飲水補(bǔ)給站，第一個補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為（ ）
A. 45千瓶B. 50千瓶C. 55千瓶D. 60千瓶
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，然后利用累加法即可求解.
【詳解】設(shè)第站的飲用水的數(shù)量為，由題意得：，，，，，以上等式相加得：，，
即.
故選：C
6. 已知，，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得點(diǎn)的軌跡方程，再由直線與圓有公共點(diǎn)建立不等式，求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，，所以點(diǎn)的軌跡方程為，
由題可知，直線與圓有公共點(diǎn)，所以，解得：.
故選：C
7. 已知雙曲線，其中A、分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的點(diǎn)，滿足垂直于x軸且，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，代入雙曲線方程求出，根據(jù)可得答案.
【詳解】設(shè)，則，解得，即，，
因?yàn)?，所以，可得?br>，解得.
故選：A.
8. 如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線DE上的動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出該幾何體，確定直線DE和直線AB為異面直線，再根據(jù)平面//平面，結(jié)合等體積法求得到平面的距離即可.
【詳解】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示：
由題意，P到直線AB距離的最小值即直線到直線的距離，
又//，平面，平面，故//平面.
又，故四邊形為菱形，則//.
平面，平面，故//平面.
又，平面，故平面//平面.
故直線到直線的距離為平面到平面的距離.
則到平面的距離即為P到直線AB距離的最小值.
設(shè)與交于，則易得為正四棱錐中心.
則，，故為直角三角形，故.
設(shè)到平面的距離為，則由，故，
故，解得.
故選：B
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 一條光線從點(diǎn)射出，射向點(diǎn)，經(jīng)x軸反射后過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 直線AB的斜率是B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A應(yīng)用斜率公式計(jì)算即可；選項(xiàng)B，先求得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，進(jìn)而求得反射光線所在直線的斜率，應(yīng)用兩條直線垂直的斜率公式判斷即可；選項(xiàng)C，求得反射光線所在直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)；選項(xiàng)D應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
【詳解】對于A，由于、，由斜率公式得：，選項(xiàng)A正確；
對于B，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，經(jīng)x軸反射后直線的斜率為：
，且，所以，選項(xiàng)B正確；
對于C，直線即直線的方程為：，即，
將代入得：，所以點(diǎn)，，選項(xiàng)C不正確；
對于D，由兩點(diǎn)間距離公式得：，選項(xiàng)D正確；
故選：ABD.
10. 已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)A，B的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 橢圓C的焦距為6B. 的周長為16
C. D. 的面積的最大值為16
【答案】AB
【解析】
【分析】由橢圓方程求得，，的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
【詳解】由橢圓，得，，，
橢圓的焦距為，故A正確；
又為橢圓上異于長軸端點(diǎn)，的動點(diǎn)，△的周長為，故B正確；
，故C錯誤；
當(dāng)為橢圓的短軸的一個端點(diǎn)時，△的面積取最大值為，故D錯誤．
故選：AB．
11. 在棱長為1的正方體中，點(diǎn)P，Q分別滿足，，則（ ）
A. ，使且
B. ，平面
C. ，使與平面所成角的正切值為
D. ，與是異面直線
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量一一計(jì)算判定選項(xiàng)即可.
【詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意可知，
則，
平面一個法向量為，平面的一個法向量為，
對于A，若，則
，故A錯誤；
對于B，易知恒成立，且平面，
則平面，故B正確；
對于C，設(shè)與平面所成角為，
若，
即，解之得或，
顯然，使得結(jié)論成立，故C正確；
對于D，因?yàn)椋?br>若共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，解得，
所以，不共線，故D正確.
故選：BCD
12. 已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得中的一些元素，結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，對選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】由題意可得：,
可得，
則
對于選項(xiàng)A:易得，故A正確；
對于選項(xiàng)B:易得，故B正確；
對于選項(xiàng)C:由，可得，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D:易得數(shù)列每隔四個一組求和，可構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為，
由，
，則，此時有，故D正確
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過找到，由此借助等差數(shù)列的相關(guān)知識，進(jìn)而求解即可.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知，，若，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線即可求解.
【詳解】由，，，可得，故，
故答案為：
14. 已知等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，則前n項(xiàng)和的最大值為________．
【答案】16
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，
．
則前項(xiàng)和的最大值為16．
故答案為：16．
15. 已知圓，直線，直線l被圓C截得最短弦長為________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出直線過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)與故直線垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，求出最短弦長.
【詳解】變形為，故直線過定點(diǎn)，
故當(dāng)與故直線垂直時，直線l被圓C截得的弦長最短，
其中的圓心為，半徑為2，
此時弦長為.
故答案為：
16. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作與x軸不垂直的直線l交C于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)A作垂直于x軸的直線交C于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是的外心，則的值為________．
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)直線，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求以及點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，可知直線l與拋物線必相交，
設(shè)直線，，可得，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，
可得，
，且，即線段的中點(diǎn)，
則線段的中垂線方程為，
由題意可知：點(diǎn)M在x軸上，
令，可得，即，則，
所以.
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問題時可簡化運(yùn)算，但要注意直線斜率是否存在．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知等差數(shù)列，滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求的前2n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意得，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；
（2）由，代入求和即可.
【小問1詳解】
由已知，得，解得，故
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
得．
18. 已知圓心為C的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圓的對稱性先確定圓心，再求半徑即可；
（2）設(shè)P坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)在圓上消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域求范圍即可.
【小問1詳解】
圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，得圓心在的中垂線上，
又圓心C直線上，聯(lián)立直線方程有，得，
即圓心坐標(biāo)為，
又，
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【小問2詳解】
設(shè)，易知，
則（*），
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C上運(yùn)動，則，
故（*）式可化簡為，，
由得的取值范圍為．
19. 已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等腰直角三角形，求的面積；
（2）若，證明：直線l過定點(diǎn)P，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）證明見解析，
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)準(zhǔn)線方程求得拋物線方程，再由拋物線及等腰直角三角形的對稱性得，，從而求得坐標(biāo)計(jì)算面積即可；
（2）設(shè)直線l方程及坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，由垂直關(guān)系及韋達(dá)定理計(jì)算即可.
【小問1詳解】
因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，可得拋物線的方程為：，
又為等腰直角三角形，
根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的對稱性可知：，，
且兩點(diǎn)關(guān)于橫軸對稱，則直線．
于是得，則，所以．
【小問2詳解】
設(shè)直線，，，
聯(lián)立，
得，，且，
又因?yàn)椋瑒t，即．
由，得，，，
即，解得或（舍去）．
當(dāng)時，滿足．此時，直線l的方程．
則l過定點(diǎn)．
20. 如圖（1）所示中，，．分別為中點(diǎn)．將沿向平面上方翻折至圖（2）所示的位置，使得．連接得到四棱錐．記的中點(diǎn)為，連接．
（1）證明：平面；
（2）點(diǎn)在線段上且，連接，求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角.
【小問1詳解】
取AB中點(diǎn)M，連接NM，CM．

則，即四邊形AMCD為平行四邊形，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>由，，即，
又，，平面,
所以平面，又平面，故，
又因?yàn)?，則，
又，平面
所以平面，又平面，所以，
又在中，且，
在中，且，
則，又為中點(diǎn)，所以，
又，平面,所以平面．
【小問2詳解】
由，，則，
即，又，，
故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線x分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
故，，因?yàn)椋?br>所以，，
設(shè)平面的法向量，平面的法向量，
則，取，解得，
易知平面，即，
所以，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
21. 設(shè)數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系即可求解，根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，
（2）利用列舉法即可逐一求解的前100項(xiàng)，即可求和得解.
【小問1詳解】
對于數(shù)列，因?yàn)棰伲?br>所以，，②
得
由①式，當(dāng)時，得，也滿足，
所以．
因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)得，得，
設(shè)數(shù)列的公比為，又因?yàn)?，?br>所以即，解得或，
又因?yàn)闉閱握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，
所以
【小問2詳解】
由于，，，，，，
所以，對應(yīng)的區(qū)間為，，則，即有2個1；
，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有6個2；
，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有18個3；
，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有54個4；
，，…,對應(yīng)的區(qū)間為，，…,，則，即有20個5；
所以
22. 在平面直角坐標(biāo)系．xOy中，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．直線，相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）記動點(diǎn)M的軌跡為曲線E，過作兩條互相垂直的直線，，與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率之積得到方程，求出軌跡方程，注意；
（2）設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，設(shè)，，同理得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線，相互垂直，得到，利用基本不等式求出最大值
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
因?yàn)橹本€，的斜率之積是，
所以，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)M與，兩點(diǎn)不重合，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為．
【小問2詳解】
顯然直線，的斜率都存在且不為0，
設(shè)，，
，，，，
聯(lián)立，得，
顯然，
所以，
所以，
同理，
因?yàn)橹本€，相互垂直，所以，
所以
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，
所以的最大值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；