?黑龍江省伊春市伊美二中2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1．兩平行直線3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0間的距離是（　　）
A． B． C． D．
2．雙曲線＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　?。?br /> A． B． C． D．
3．若某拋物線過點(diǎn)（﹣1，3），且關(guān)于x軸對(duì)稱，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?br /> A．y2＝﹣9x B．
C．y2＝﹣9x或 D．y2＝±9x
4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．
5．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差數(shù)列，則{an}的公比為（　　）
A．2 B． C．3 D．
6．已知函數(shù)f（x）＝f′（1）x2+x+2，則f'（1）等于（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
7．函數(shù)f（x）＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（　?。?br /> A． B． C．（﹣∞，﹣e） D．
8．若函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x（x∈R）不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.
（多選）9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，下列說法正確的（　?。?br /> A．若Sn＝n2+1，則{an}是等差數(shù)列
B．若Sn＝3n﹣1，則{an}是等比數(shù)列
C．若{an}是等差數(shù)列，則S9＝9a5
D．若{an}是等比數(shù)列，且a1＞0，q＞0，則S1?S3＞S22
（多選）10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若S3＝0，a4＝6，則（　　）
A． B．
C．a(chǎn)n＝3n﹣6 D．a(chǎn)n＝2n
（多選）11．若方程所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若C為橢圓，則1＜t＜3
B．若C為雙曲線，則t＞3或t＜1
C．曲線C可能是圓
D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則1＜t＜2
（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax的圖象在x＝1處的切線方程為x+y+b＝0，則（　　）
A．a(chǎn)＝2 B．b＝1
C．f（x）的極小值為﹣ln2﹣1 D．f（x）的極大值為﹣ln2﹣1
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上.
13．圓x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0截直線x+y+2＝0所得弦長(zhǎng)為　 ?。?br /> 14．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，，則＝　 　．
15．若函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax在區(qū)間（﹣1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 　 ?。?br /> 16．若函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　 ?。?br /> 四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（1）若雙曲線和橢圓共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)M（0，1）的直線l交曲線x2＝4y于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，求直線l的方程．
18．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝﹣2，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列{Sn﹣n2}是公差為﹣3的等差數(shù)列．
（1）求Sn；
（2）求an．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax+a．
（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
20．（12分）已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和（n∈N*）．
21．（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1．
22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）討論：f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時(shí)，求a的取值范圍．

參考答案與試題解析
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.
1．兩平行直線3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0間的距離是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】將直線6x﹣4y+3＝0的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)化為3x﹣2y﹣1＝0的相同，代入平行線的距離公式中，求出距離．
【解答】解：6x﹣4y+3＝0即為3x﹣2y+＝0，
所以兩平行直線3x﹣2y﹣1＝0和6x﹣4y+3＝0間的距離d＝＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
2．雙曲線＝1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為＝1，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），其漸近線方程為y＝±x，即x±y＝0，
則其焦點(diǎn)到漸近線的距離d＝＝；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點(diǎn)坐標(biāo)．
3．若某拋物線過點(diǎn)（﹣1，3），且關(guān)于x軸對(duì)稱，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A．y2＝﹣9x B．
C．y2＝﹣9x或 D．y2＝±9x
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性，判斷拋物線的形狀，然后求解拋物線方程．
【解答】解：拋物線過點(diǎn)（﹣1，3），且關(guān)于x軸對(duì)稱，
設(shè)拋物線方程為：y2＝﹣2px，可得9＝2p，
所以拋物線方程為：y2＝﹣9x．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，拋物線方程的求法，是基礎(chǔ)題．
4．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則＝（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C．2 D．
【分析】充分利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和與某些特殊項(xiàng)之間的關(guān)系解題．
【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得
a1+a9＝2a5，a1+a5＝2a3，
∴＝＝＝＝1，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，
已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則有如下關(guān)系S2n﹣1＝（2n﹣1）an．
5．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，若a6，3a5，a7依次成等差數(shù)列，則{an}的公比為（　?。?br /> A．2 B． C．3 D．
【分析】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，q＞0，運(yùn)用等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公比．
【解答】解：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比設(shè)為q，q＞0，
a6，3a5，a7依次成等差數(shù)列，可得6a5＝a6+a7，
即有6a1q4＝a1q5+a1q6，
化為q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），
則{an}的公比為2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．已知函數(shù)f（x）＝f′（1）x2+x+2，則f'（1）等于（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】對(duì)所給的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，再令x＝1，可得f'（1）的值．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝f′（1）x2+x+2，∴f′（x）＝2f′（1）x+1，∴f'（1）＝2f′（1）+1，∴f′（1）＝﹣1，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
7．函數(shù)f（x）＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣e） D．
【分析】求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0求出x的范圍，寫出區(qū)間形式即得到函數(shù)y＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間．
【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0
∵f′（x）＝lnx+1
令lnx+1＜0得0＜x＜，
∴函數(shù)f（x）＝xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是（ 0，），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，一般求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍為單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍為單調(diào)遞減區(qū)間；注意單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集．
8．若函數(shù)f（x）＝x3+ax2+x（x∈R）不存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）不存在極值點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f′（x）≥0在R上恒成立，再利用一元二次不等式的解得到a的取值范圍即可．
【解答】解：f（x）＝x3+ax2+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝3x2+2ax+1，
∵函數(shù)f（x）不存在極值點(diǎn)，
∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3x2+2ax+1≥0恒成立，
∴Δ＝4a2﹣12≤0，
解得﹣，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣，]．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，以及恒成立問題的解法，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.
（多選）9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，下列說法正確的（　　）
A．若Sn＝n2+1，則{an}是等差數(shù)列
B．若Sn＝3n﹣1，則{an}是等比數(shù)列
C．若{an}是等差數(shù)列，則S9＝9a5
D．若{an}是等比數(shù)列，且a1＞0，q＞0，則S1?S3＞S22
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)是否正確，綜合即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A，若Sn＝n2+1，則a1＝s1＝2，a2＝s2﹣s1＝3，a3＝s3﹣s2＝5，則{an}不是等差數(shù)列，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，若Sn＝3n﹣1，則a1＝s1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝sn﹣sn﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2?3n﹣1，綜合可得an＝2?3n﹣1，則{an}是等比數(shù)列，B正確，
對(duì)于C，{an}是等差數(shù)列，則S9＝＝9a5，C正確，
對(duì)于D，若{an}是等比數(shù)列，當(dāng)q＝1時(shí)，則S1?S3﹣S22＝3a12﹣4a12＝﹣a12＜0，D錯(cuò)誤，
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若S3＝0，a4＝6，則（　　）
A． B．
C．a(chǎn)n＝3n﹣6 D．a(chǎn)n＝2n
【分析】根據(jù)題意可得，解得a1＝﹣3，d＝3，即可求出通項(xiàng)公式和求和公式．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)公差為d，
由S3＝0，a4＝6，可得，解得a1＝﹣3，d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
Sn＝＝，
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．若方程所表示的曲線為C，則下列命題正確的是（　?。?br /> A．若C為橢圓，則1＜t＜3
B．若C為雙曲線，則t＞3或t＜1
C．曲線C可能是圓
D．若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則1＜t＜2
【分析】利用方程表示橢圓求解t的范圍判斷A，表示雙曲線求解t的范圍判斷B；方程是否表示圓，判斷C；焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸時(shí)，求出t判斷D．
【解答】解：方程所表示的曲線為橢圓時(shí)，，解得t∈（1.2）∪（2，3），所以A不正確；
若C為雙曲線，（3﹣t）（1﹣t）＞0，解得t＞3或t＜1，所以B正確；
曲線C可能是圓，此時(shí)t＝2，所以C正確；
若C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，t﹣1＞3﹣t＞0，則2＜t＜3，所以D不正確；
故選：BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐曲線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
（多選）12．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax的圖象在x＝1處的切線方程為x+y+b＝0，則（　　）
A．a(chǎn)＝2 B．b＝1
C．f（x）的極小值為﹣ln2﹣1 D．f（x）的極大值為﹣ln2﹣1
【分析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，再求函數(shù)極值．
【解答】解；∵f（x）＝lnx﹣ax，∴．又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在x＝1處的切線方程為x+y+b＝0，∴，解得a＝2，b＝1，
由，解f′（x）＝0得x＝，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）極大值＝．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求曲線的切線方程及函數(shù)的極值，是中檔題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上.
13．圓x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0截直線x+y+2＝0所得弦長(zhǎng)為　4?。?br /> 【分析】由圓的方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，求出圓心到直線的距離，由半徑，圓心到直線的距離和半個(gè)弦長(zhǎng)的關(guān)系求出弦長(zhǎng)．
【解答】解：由圓的方程x2+y2+2x﹣2y﹣8＝0可得圓心坐標(biāo)為（﹣1，1），半徑r＝，
圓心到直線x+y+2＝0的距離d＝＝，
所以弦長(zhǎng)為2＝2＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的一般方程求圓心坐標(biāo)及半徑的孩子，及弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，，則＝　2n﹣1?。?br /> 【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
∵a1+a3＝，
∴，
解得a1＝2，q＝，
∴Sn＝＝，
an＝2×，
則＝2n﹣1．
故答案為：2n﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
15．若函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax在區(qū)間（﹣1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 　（﹣2，0）　．
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，即可求解．
【解答】解：∵f′（x）＝﹣2x+a，令f′（x）＝0，可得x＝，
∵函數(shù)f（x）＝﹣x2+ax在區(qū)間（﹣1，0）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，∴﹣1＜＜0，
∴﹣2＜a＜0，
故答案為：（﹣2，0）．
【點(diǎn)評(píng)】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．
16．若函數(shù)f（x）＝x3﹣ax+1在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?。ī仭蓿?]?。?br /> 【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．
【解答】解：若f（x）＝x3﹣ax+1在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
則f′（x）＝3x2﹣a≥0在區(qū)間（1，+∞）恒成立，
即a≤3x2，
∵3x2＞3，
∴a≤3，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，3]．
故答案為：（﹣∞，3]．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）（1）若雙曲線和橢圓共焦點(diǎn)，且一條漸近線方程是，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)M（0，1）的直線l交曲線x2＝4y于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，求直線l的方程．
【分析】（1）求得橢圓的焦點(diǎn)可得c，進(jìn)而由漸近線可求得a，b，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，然后利用焦點(diǎn)弦公式列出關(guān)于k的方程，求解即可得到答案．
【解答】解：（1）橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），∴c＝2，
一條漸近線方程為，∴＝，
∴a＝1，b＝，
∴雙曲線的方程為x2﹣＝1．
（2）根據(jù)題意，顯然直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝kx+1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去x可得y2﹣（2+4k2）y+1＝0，
所以y1+y2＝2+4k2，
所以AB＝y(tǒng)1+y2+p＝2+4k2+2＝8，解得k＝±1，
所以直線l的方程為y＝x+1或y＝﹣x+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查求直線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（12分）已知數(shù)列{an}中，a1＝﹣2，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列{Sn﹣n2}是公差為﹣3的等差數(shù)列．
（1）求Sn；
（2）求an．
【分析】（1）直接由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求Sn；
（2）由an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求解．
【解答】解：（1）由題意，數(shù)列{Sn﹣n2}是首項(xiàng)為﹣3，公差為﹣3的等差數(shù)列，
則Sn﹣n2＝﹣3﹣3（n﹣1）＝﹣3n，即Sn＝n2﹣3n；
（2）已知a1＝﹣2，
當(dāng)n≥2時(shí)，＝2n﹣4．
驗(yàn)證首項(xiàng)成立，
∴an＝2n﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．
19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax+a．
（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【分析】（1）代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
【解答】解：（1）a＝1時(shí)，f（x）＝lnx﹣x+1，
函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣1＝，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
故f（x）極大值＝f（1）＝0，無極小值；
（2）f（x）＝lnx﹣ax+a，定義域是（0，+∞），
f′（x）＝﹣a＝，
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，
綜上：a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
a＞0時(shí)，f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
20．（12分）已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．通過b2+b3＝12，求出q，得到．然后求出公差d，推出an＝3n﹣2．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，利用錯(cuò)位相減法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和即可．
【解答】（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．由已知b2+b3＝12，得，而b1＝2，所以q2+q﹣6＝0．又因?yàn)閝＞0，解得q＝2．所以，．
由b3＝a4﹣2a1，可得3d﹣a1＝8．
由S11＝11b4，可得a1+5d＝16，聯(lián)立①②，解得a1＝1，d＝3，
由此可得an＝3n﹣2．
所以，{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣2，{bn}的通項(xiàng)公式為．
（Ⅱ）解：設(shè)數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n＝6n﹣2，有，，
上述兩式相減，得＝．
得．
所以，數(shù)列{a2nbn}的前n項(xiàng)和為（3n﹣4）2n+2+16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．
21．（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1．
【分析】（1）根據(jù)題意，列方程組，解得a1和q，然后求出{an}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)條件，可知a1a2，﹣a2a3，…（﹣1）n﹣1anan+1，是以23為首項(xiàng)，﹣22為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求和公式，即可得出答案．
【解答】解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞1），
則，
∵q＞1，∴，
∴．
（2）令bn＝（﹣1）n﹣1anan+1，則b1＝8，
所以＝＝﹣22，
所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比為﹣22，首項(xiàng)為8，
a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1
＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1?22n+1，
＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬于基礎(chǔ)題．
22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx+a（1﹣x）．
（Ⅰ）討論：f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2時(shí)，求a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）＝lna+a﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+a（1﹣x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）＝﹣a＝，
若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
若a＞0，則當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x＝取得最大值，最大值為f（）＝﹣lna+a﹣1，
∵f（）＞2a﹣2，
∴l(xiāng)na+a﹣1＜0，
令g（a）＝lna+a﹣1，
∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）＝0，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，
∴a的取值范圍為（0，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．


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