2021-2022學(xué)年黑龍江省伊春市伊美二中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（6月份） 題號一二三四總分得分       一、單選題（本大題共9小題，共45分）若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一個平面的位置關(guān)系是(    )A. 平行 B. 相交
C. 直線在平面內(nèi) D. 平行或直線在平面內(nèi)圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則該圓柱與球的體積之比為(    )A.  B.  C.  D. 復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(    )A.  B.  C.  D. 已知，則(    )A.  B.  C.  D. 平面向量與的夾角為，，，則(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)，下列結(jié)論中錯誤的是(    )A.
B. 的值域為
C. 的最小正周期為
D. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱如圖，在直角梯形中，是的中點，，，，，若，則(    )
 A.  B.  C.  D. 已知的三邊上高的長度比分別為：：，若的最短邊與最長邊的長度和為，則面積為(    )A.  B.  C.  D. 下列各式中，值為的是(    )A.  B.
C.  D.  二、多選題（本大題共3小題，共15分）下列說法中，正確的是(    )A. 向量能作為平面內(nèi)所有向量的一個基底
B. 若，則與的夾角是鈍角
C.
D. 若，則在上的投影向量為如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點，則以下四個結(jié)論中，正確的有(    )A. 直線與是相交直線
B. 直線與是異面直線
C. 與平行
D. 直線與共面在中，角，，所對的邊分別為，，，且：：：：，則下列結(jié)論正確的是(    )A. ：：：：
B. 是鈍角三角形
C. 的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍
D. 若，則外接圓半徑為 三、填空題（本大題共4小題，共20分）若復(fù)數(shù)的模為，虛部為，則復(fù)數(shù)______．非零向量，，若與共線，則          ．在銳角中，，，的取值范圍為______．如圖，在棱長為的正方體中，點在線段不包含端點上運動，則下列結(jié)論正確的是______填序號
正方體的外接球表面積為；
異面直線與所成角的取值范圍是；
直線平面；
三棱錐的體積隨著點的運動而變化． 四、解答題（本大題共6小題，共70分）已知，．
Ⅰ求；
Ⅱ設(shè)的夾角為，求的值；
Ⅲ若向量與互相垂直，求的值．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，，．
證明：直線平面；
求異面直線與所成的角．
已知函數(shù)，
求函數(shù)的最小正周期；
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱軸方程．
求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．已知的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且．
求；
若，求的面積．如圖所示正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點，且，求：
正四棱錐的表面積；
側(cè)棱上是否存在一點，使得平面若存在，求的值；若不存在，試說明理由．
已知平面四邊形滿足，，，設(shè)，．
當(dāng)時，求四邊形的面積；
求的值用表示；
若，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：當(dāng)一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，
則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是一定不能相交，是平行或這條直線在這個平面內(nèi)；
故選D．
根據(jù)空間線面關(guān)系，當(dāng)一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是一定不能相交，是平行或這條直線在這個平面內(nèi)．
本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，本題是一個基礎(chǔ)題，本題的易錯點是只寫上線面之間的平行關(guān)系而忽略直線在平面內(nèi)．
 2.【答案】 【解析】解：設(shè)球的直徑為，圓柱的底面直徑和高也為，
圓柱的體積為，球的體積為，
．
故選：．
設(shè)球的直徑為，圓柱的底面直徑和高也為，求出圓柱和球的體積相比即可．
本題考查圓柱和球的體積計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
則，其虛部是，
故選：．
根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求出的共軛復(fù)數(shù)，求出答案即可．
本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
故選：．
由題意，利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡三角函數(shù)式，可得結(jié)果．
本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡三角函數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：由已知，
，
．
故選：．
根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量的模，最后結(jié)論要求模，一般要把模平方，知道夾角就可以解決平方過程中的數(shù)量積問題，題目最后不要忘記開方．
本題是對向量數(shù)量積的考查，根據(jù)兩個向量的夾角和模之間的關(guān)系，根據(jù)和的模兩邊平方，注意要求的結(jié)果非負(fù)，舍去不合題意的即可．兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，它的值是兩個向量的模與兩向量夾角余弦的乘積，結(jié)果可正、可負(fù)、可以為零，其符號由夾角的余弦值確定．
 6.【答案】 【解析】解：因為，故A正確，B錯誤，
函數(shù)的最小正周期為，故C正確，
當(dāng)時，，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故D正確，
故選：．
由已知化簡可得，然后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)對各個選項逐個判斷即可求解．
本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：由題意知，



，
，，，
故選：．
利用平面向量線性運算化簡即可．
本題考查了平面向量線性運算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：設(shè)中三個角為，，，角，，所對的邊分別為，，，
設(shè)，、、邊上的高分別為，，，
則，
根據(jù)題意可得，則，
設(shè)，則，解得，
，
由余弦定理可得，，
又為內(nèi)角，
，
．
故選：．
先根據(jù)題意求出的三條邊長，再利用余弦定理求得一個角的余弦值，進(jìn)而得到正弦值，由此可得面積．
本題考查余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：，故排除．
 不存在，故排除．
，故C正確．
，故排除．
故選：．
利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡各個選項并求出值，從中選出符合條件的選項．
本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
 10.【答案】 【解析】解：對于，，，故這兩個向量不能作為基底，故A錯誤；
對于，不屬于鈍角，故B錯誤；
對于，，故C正確；
對于，若，則在上的投影向量為，故D正確．
故選：．
：判斷與是否共線即可；：根據(jù)向量數(shù)量積的定義和鈍角的概念即可判斷；：根據(jù)向量加減法計算法則即可計算；：根據(jù)投影向量的概念和計算方法即可求解判斷．
本題考查了平面向量基本定理、向量的加減運算、向量的夾角以及投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：選項，、、、四點不共面，
直線與是異面直線，故選項A錯誤；
選項，直線與不同在任何一個平面，
直線與是異面直線，故選項B正確；
選項，取的中點，連接、，則有，

與交于點，與不平行，則與不平行，故選項C錯誤；
選項，，，
、、、四點共面，
直線與共面，故選項D正確．
故選：．
根據(jù)異面直線的定義，判定空間中直線是異面還是共面即可．
本題考查的是空間中直線與直線的位置關(guān)系，根據(jù)定義判定直線與直線平行、相交、異面是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】【分析】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、二倍角公式，考查化簡運算能力，屬于中檔題。
由正弦定理可判斷；由余弦定理可判斷；由余弦定理和二倍角公式可判斷；由正弦定理可判斷．【解答】解：由：：：：，可設(shè)，， ，
解得，，，
由正弦定理可得：：：：：：，故A正確；
由為最大邊，可得，即角為銳角，故B錯誤；
由，由，
由，，可得，故C正確；
若，可得，故外接圓半徑，故D正確．
故答案選：．  13.【答案】或 【解析】解：復(fù)數(shù)的模為，虛部為，
設(shè)復(fù)數(shù)，則，
解得，
則復(fù)數(shù)或．
故答案為：或．
設(shè)復(fù)數(shù)，則，求出，由此能求出復(fù)數(shù)．
本題考查復(fù)數(shù)的運算，考查復(fù)數(shù)的性質(zhì)、運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】【分析】本題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值，以及向量的共線定理，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
由兩向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量的共線定理列出關(guān)系式，并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，求出的值，然后把所求式子利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將的值代入即可求出值．【解答】解：向量，，且與共線，
，即，
則．
故答案為：．
   15.【答案】 【解析】解：在銳角中，，，
，且 ，
故，
 故   
由正弦定理可得：，
，
，
即．
故答案為：
由條件可得，且 ，故，，由正弦定理可得 ，從而得到 的取值范圍．
本題考查的知識要點：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用．正弦定理的應(yīng)用．
 16.【答案】 【解析】解：正方體對角線長為，即外接球直徑，因此球半徑為，球表面積為，錯；
正方體中與平行且相等，是平行四邊形，，是正三角形，與的夾角銳角或直角的范圍是，因此正確；
由上知，而平面，平面，所以平面，
同理平面，又，，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，正確；
由平面，因此到平面的距離不變，所以不變，錯．
故答案為：．
由正方體的對角線即為外接球的直徑求得球表面積判斷，由異面直線所成角的定義確定與的夾角范圍判斷，根據(jù)線面平面平行的判定定理判斷，換度后由三棱錐體積公式判斷．
本題考查了正方體外接球表面積，異面直線所成角，線面平行的判定定理和等體積法的計算，屬于中檔題．
 17.【答案】解：Ⅰ，，，，．
Ⅱ．
Ⅲ因為向量與互相垂直，
所以，即
因為，，
所以，解得． 【解析】本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
Ⅰ利用兩個向量坐標(biāo)形式的加減運算法則，進(jìn)行運算．
Ⅱ把兩個向量的坐標(biāo)直接代入兩個向量的夾角公式進(jìn)行運算．
Ⅲ因為向量與互相垂直，所以它們的數(shù)量積等于，解方程求得的值．
 18.【答案】解：證明：如圖，連接交于點，連接，

由正三棱柱可知，
點為的中點，又為的中點，
，且平面，
平面，平面．
由可知異面直線與所成角即直線與所成角，
由正三棱柱可知，，
，，
，，，
在等邊中，為中點，則，，得，
在中，，，
異面直線與所成的角為． 【解析】連接交于點，連接，推導(dǎo)出，由此能證明直線平面；
異面直線與所成的角即直線與所成角，在中求解即可知異面直線所成角．
本題考查線面平行的判定、異面直線所成角、正三棱柱結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
 19.【答案】解：函數(shù)

，，
函數(shù)的最小正周期為；
令，，
解得，，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
令，
解得，，
對稱軸方程為，；
當(dāng)時，，
，
時，取得最小值為；
當(dāng)時，取得最大值為；
函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是． 【解析】化函數(shù)為正弦型函數(shù)，求出的最小正周期；
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出的單調(diào)遞增區(qū)間，
根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出的對稱軸方程；
求時的取值范圍，即可得出的最大、最小值．
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．
 20.【答案】解：根據(jù)正弦定理，由得：，
，
，
，且，
，且，
；
在中，，
根據(jù)正弦定理得：，解得，且，
，，
． 【解析】根據(jù)正弦定理可得出，然后可得出，從而得出；
根據(jù)正弦定理可求出，進(jìn)而得出，從而求出，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．
本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，三角形的面積公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 21.【答案】正四棱錐中，

，，
側(cè)面的高
正四棱錐的表面積
在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足
理由如下：
取中點為，因為，則，
過作的平行線交于，連接，．
在中，由，
平面，平面，
平面，
由于，，又由于，平面，平面，
平面，
，
平面平面，
平面，
平面．
此時． 【解析】根據(jù)棱錐的表面積公式計算即可；
取中點為，過作的平行線交于，連接，，由線面平行的判定可得平面，根據(jù)等比例性質(zhì)有，再根據(jù)線面平行的判定定理得平面，最后由面面平行的判定及性質(zhì)即可確定存在性．
本題考查了空間中線面位置關(guān)系，考查了推理能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：已知平面四邊形滿足，，，設(shè)，，
，，，
又，，又，
為正三角形，，，
在中，，，
故四邊形的面積；
，，，
又，，，，
在中，，，
在中，，
；
在中，，，
則，
，，
當(dāng)時，． 【解析】四邊形的面積，解得與的長度后，求出及的面積，即可求得四邊形面積；
在及中分別用正弦定理，即可建立用表示；
結(jié)合正弦定理以及輔助角公式，將用表示，再利用的范圍求解的最小值即可．
本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
 

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