2023屆山東省泰安市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】只要求出集合B中哪些元素屬于A即可.【詳解】在集合B中，顯然 ， ；故選：B.2．已知命題，則是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題即可選出答案.【詳解】解：由題意得：全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題：故，則故選：C3．“”是“”的（　　）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義直接判斷即可得解.【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，有，即推不出，若，則當(dāng)時(shí)，有，即也推不出，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D4．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，A不正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域是R，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上也單調(diào)遞增，即函數(shù)在其定義域R上單調(diào)遞增，B正確；對(duì)于C，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，C不正確；對(duì)于D，函數(shù)定義域是，它是奇函數(shù)，在和上單調(diào)遞增，但在其定義域上不單調(diào)，D不正確.故選：B5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則滿足的的值為（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，故選：B6．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性與特殊的函數(shù)值對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】由題意得，則是偶函數(shù)，故B，C錯(cuò)誤，，故D錯(cuò)誤，故選：A7．根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場(chǎng)所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂場(chǎng)所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂場(chǎng)所竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（    ）A．5周 B．6周C．7周 D．8周【答案】B【分析】由相除可得，然后解不等式，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)估計(jì)出，從而可得的范圍，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，，，，解得.設(shè)該文化娛樂場(chǎng)所竣工后放置周后甲醛濃度達(dá)到安企開放標(biāo)準(zhǔn)，則，整理得，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，即，則，即.故至少需要放置的時(shí)間為6周.故選：B.8．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合題意即可容易比較大小.【詳解】由題可得：，令，則，當(dāng)時(shí)，，又，則，即，故在單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，即，；令，則，當(dāng)時(shí)，，又，則，即，故在單調(diào)遞減，，故當(dāng)時(shí)，，即，；綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大??；處理問題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合已知數(shù)據(jù)，構(gòu)造合理的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬綜合困難題. 二、多選題9．在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說法正確的是（    ）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；因?yàn)?/span>，所以選項(xiàng)C正確；，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（    ）A．點(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為D．若函數(shù)為偶函數(shù)，則【答案】AC【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)解析式，在運(yùn)用整體代入法逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】由圖像可知，函數(shù) 的周期 ， ， ， ， ；對(duì)于A， ，正確；對(duì)于B，當(dāng) ，其中 ，錯(cuò)誤；對(duì)于C，令 ， ，正確；對(duì)于D，  是偶函數(shù)，則有 ，錯(cuò)誤；故選：AC.11．下列說法正確的是（    ）A．若，則一定有B．若關(guān)于的不等式的解集為，則C．若，則的最小值為4D．若，且，則的最小值為0【答案】ACD【分析】對(duì)A：利用不等式的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B：根據(jù)二次不等式和二次方程之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)C：利用基本不等式進(jìn)行求解，即可判斷；對(duì)D：利用消元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)A：因?yàn)?/span>，則，，又，故，則，故A正確；對(duì)B：由題可知，是方程的兩根，故，解得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)?/span>，則，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；故的最小值為4，C正確；對(duì)D：，且，則，因?yàn)?/span>，故，即，又都是上的單調(diào)減函數(shù)，故也是上的單調(diào)減函數(shù)，又時(shí)，，故，即的最小值為，D正確.故選：ACD.12．已知.（    ）A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4 B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3C．x軸為曲線的切線 D．若，則【答案】BC【分析】首先根據(jù)得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】，令，得到.分別畫出和的圖像，如圖所示：由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.所以，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，，，為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，當(dāng)時(shí)，取得極大值為，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以存在，滿足，且，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題. 三、填空題13．已知角的終邊過點(diǎn)，則___________.【答案】2【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合倍角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，，則；，則.故答案為：.14．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到100這100個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列各項(xiàng)的和為___________.【答案】833【分析】求出除以2余1和除以3余1的數(shù)列，再求重疊部分，再求和即可.【詳解】除以2余1的數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，并且 ， ；除以3余1的數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ， ， ；令 ，則有 ，即m為偶數(shù)時(shí)為兩數(shù)列重疊部分， ，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為 ，是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列， ；故答案為：833.15．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，則___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出當(dāng) 時(shí)的解析式，再根據(jù)周期性即可求出 .【詳解】由于 是偶函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)， ；由 得 ，關(guān)于 點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng) 時(shí)， ， ，并且函數(shù)的周期 ， ， ， ，∴ ；故答案為： .16．已知函數(shù) ，若且 ，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求出 和 時(shí)的值域，判斷出 的取值范圍即可求解.【詳解】對(duì)于 ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，并且圖像關(guān)于 對(duì)稱，函數(shù)圖像如下圖：如果 ，則 不成立， ， ，并且有 ；由 可知，必有 ； ；故答案為：  . 四、解答題17．已知集合.(1)若，求的取值范圍；(2)若，求.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式在上恒成立，列出關(guān)于的不等式，求解即可；（2）解含參一元二次不等式求得集合，再根據(jù)集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）∵，∴恒成立，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，a的取值范圍是.（2）∵，∴，∴方程的兩根分別為，，∴| 或，又∵，且，∴或.18．在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.(1)求；(2)已知為邊上一點(diǎn)，平分，△的面積是△的面積的2倍，若，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合長(zhǎng)度，求得，再在△中利用余弦定理求得，再結(jié)合，由勾股定理求得即可.【詳解】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴，∴，（2）∵AD平分，，∴，∵的面積是的面積的2倍，設(shè)△底邊BC上的高為h，則，∴，，又∵，∴，在△中，，解得，∴，∴，∴，∴.19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且.(1)若：，求；(2)將函數(shù)的圖使上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頌?/span>2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)，且，求得，以及的解析式；再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，以及正弦的和角公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合函數(shù)圖象的變換求得，再利用整體法求其值域即可.【詳解】（1），∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴恒成立，∴，又，∴，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，∴.（2）由題意得，將函數(shù)的圖使上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頌?/span>2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，∵，∴，∴，，∴函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)條件寫出 的遞推公式，求出 的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用縮放法證明即可.【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵，，∴，，∴，，，∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別是以，為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即， ；（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∴；得證.21．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘）；公交群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘）.已知當(dāng)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間比自駕群體的人均通勤時(shí)間長(zhǎng)1分鐘.(1)求的值；(2)求該地上班族的最短人均通勤時(shí)間.【答案】(1)(2)分鐘 【分析】（1）根據(jù)條件計(jì)算即可；（2）求平均通勤時(shí)間函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）由題知，，∴；（2）由（1）知， ，設(shè)該地上班族S的人均通勤時(shí)間為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ，∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，，∵拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴該地上班族S的最短人均通勤時(shí)間為分鐘.綜上， ，最短人均通勤時(shí)間為分鐘.22．已知函數(shù) .(1)求函數(shù)的極值；(2)若1是關(guān)于的方程的根，且方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)a的符號(hào)分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得極值；（2）根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù) ，對(duì) 的性質(zhì)討論，根據(jù) 的性質(zhì)確定b的范圍.【詳解】（1） ，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，令 ，解得，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，∴ ，無極大值；（2）∵1是方程的根，∴，解得 ，∴ ，設(shè) ，則 ，設(shè) ，則 ，∵，，且方程在上有實(shí)根，設(shè)，，則在，上不單調(diào)，∴ 在上存在零點(diǎn)，在上存在零點(diǎn)，∴在上至少有兩個(gè)相異實(shí)根，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，不合題意，當(dāng)時(shí)，令 ，解得，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，∴ ，設(shè) ，則 ，令 ，解得 ，當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)遞淢，∴ ，∴，∴ ，∴ ，即 ，解得 ，∴b的取值范圍為 ；綜上，，無極大值；b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于第二問，得出在上至少有兩個(gè)相異實(shí)根是問題的核心，由此討論 的最小值以及 至少有兩個(gè)相異實(shí)根的充分條件而得出b的取值范圍. 

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