一、單選題
1．已知集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】只要求出集合B中哪些元素屬于A即可.
【詳解】在集合B中，顯然 ， ；
故選：B.
2．已知命題，則是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題即可選出答案.
【詳解】解：由題意得：
全稱量詞命題的否定是存在性量詞命題：
故，則
故選：C
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義直接判斷即可得解.
【詳解】若，則當(dāng)時(shí)，有，即推不出，
若，則當(dāng)時(shí)，有，即也推不出，
“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D
4．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.
【詳解】對于A，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，A不正確；
對于B，函數(shù)定義域是R，是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上也單調(diào)遞增，
即函數(shù)在其定義域R上單調(diào)遞增，B正確；
對于C，函數(shù)是奇函數(shù)，但在其定義域上不單調(diào)，C不正確；
對于D，函數(shù)定義域是，它是奇函數(shù)，在和上單調(diào)遞增，但在其定義域上不單調(diào)，D不正確.
故選：B
5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則滿足的的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，
所以，
，因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
6．函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的奇偶性與特殊的函數(shù)值對選項(xiàng)逐一判斷，
【詳解】由題意得，則是偶函數(shù)，故B，C錯(cuò)誤，
，故D錯(cuò)誤，
故選：A
7．根據(jù)《民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)》，文化娛樂場所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍.已知某新建文化娛樂場所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂場所竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（ ）
A．5周B．6周
C．7周D．8周
【答案】B
【分析】由相除可得，然后解不等式，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)估計(jì)出，從而可得的范圍，由此可得結(jié)論.
【詳解】由題意可知，，，
，解得.
設(shè)該文化娛樂場所竣工后放置周后甲醛濃度達(dá)到安企開放標(biāo)準(zhǔn)，
則，
整理得，設(shè)，因?yàn)椋?br>所以，即，則，即.
故至少需要放置的時(shí)間為6周.
故選：B.
8．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合題意即可容易比較大小.
【詳解】由題可得：，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，又，
則，即，故在單調(diào)遞增，，
則當(dāng)時(shí)，，即，；
令，則，
當(dāng)時(shí)，，又，
則，即，故在單調(diào)遞減，，
故當(dāng)時(shí)，，即，；
綜上所述，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性比較大??；處理問題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合已知數(shù)據(jù)，構(gòu)造合理的函數(shù)，從而利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬綜合困難題.
二、多選題
9．在公比為等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說法正確的是（ ）
A．B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，所以有，因此選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槌?shù)，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；
，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列定義的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
10．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．點(diǎn)為函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心
B．函數(shù)在上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為
D．若函數(shù)為偶函數(shù)，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)圖像求出函數(shù)解析式，在運(yùn)用整體代入法逐項(xiàng)分析即可求解.
【詳解】由圖像可知，函數(shù) 的周期 ，
， ， ，
；
對于A， ，正確；
對于B，當(dāng) ，其中 ，錯(cuò)誤；
對于C，令 ， ，正確；
對于D， 是偶函數(shù)，則有 ，錯(cuò)誤；
故選：AC.
11．下列說法正確的是（ ）
A．若，則一定有
B．若關(guān)于的不等式的解集為，則
C．若，則的最小值為4
D．若，且，則的最小值為0
【答案】ACD
【分析】對A：利用不等式的性質(zhì)即可判斷；對B：根據(jù)二次不等式和二次方程之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對C：利用基本不等式進(jìn)行求解，即可判斷；對D：利用消元法，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.
【詳解】對A：因?yàn)?，則，，又，故，則，故A正確；
對B：由題可知，是方程的兩根，故，解得，則，故B錯(cuò)誤；
對C：因?yàn)?，則，即，
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號；故的最小值為4，C正確；
對D：，且，則，
因?yàn)椋?，即，又都是上的單調(diào)減函數(shù)，
故也是上的單調(diào)減函數(shù)，又時(shí)，，故，即的最小值為，D正確.
故選：ACD.
12．已知.（ ）
A．的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4B．的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3
C．x軸為曲線的切線D．若，則
【答案】BC
【分析】首先根據(jù)得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，再依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】，令，得到.
分別畫出和的圖像，如圖所示：
由圖知：有三個(gè)解，即有三個(gè)解，分別為，，.
所以，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，
，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù).
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為，當(dāng)時(shí)，取得極小值為，
當(dāng)時(shí)，取得極大值為，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，三個(gè)極值點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B正確.
因?yàn)楹瘮?shù)的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.
因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，為減函數(shù)，
所以存在，滿足，且，
顯然，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)和切線，屬于難題.
三、填空題
13．已知角的終邊過點(diǎn)，則___________.
【答案】2
【分析】根據(jù)題意求得，結(jié)合倍角公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，，，
則；，
則.
故答案為：.
14．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到100這100個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被3除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列各項(xiàng)的和為___________.
【答案】833
【分析】求出除以2余1和除以3余1的數(shù)列，再求重疊部分，再求和即可.
【詳解】除以2余1的數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，并且 ， ；
除以3余1的數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ， ， ；
令 ，則有 ，即m為偶數(shù)時(shí)為兩數(shù)列重疊部分， ，
對應(yīng)的數(shù)列為 ，是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，
；
故答案為：833.
15．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有，當(dāng)時(shí)，，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性求出當(dāng) 時(shí)的解析式，再根據(jù)周期性即可求出 .
【詳解】由于 是偶函數(shù)，∴當(dāng) 時(shí)， ；
由 得 ，關(guān)于 點(diǎn)對稱，
當(dāng) 時(shí)， ， ，
并且函數(shù)的周期 ， ， ， ，
∴ ；
故答案為： .
16．已知函數(shù) ，若且 ，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求出 和 時(shí)的值域，判斷出 的取值范圍即可求解.
【詳解】對于 ，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，并且圖像關(guān)于 對稱，函數(shù)圖像如下圖：
如果 ，則 不成立， ， ，并且有 ；
由 可知，必有 ；
；
故答案為： .
四、解答題
17．已知集合.
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式在上恒成立，列出關(guān)于的不等式，求解即可；
（2）解含參一元二次不等式求得集合，再根據(jù)集合的交運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）∵，∴恒成立，∴，解得，
∴當(dāng)時(shí)，a的取值范圍是.
（2）∵，∴，
∴方程的兩根分別為，，
∴| 或，
又∵，且，
∴或.
18．在△中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.
(1)求；
(2)已知為邊上一點(diǎn)，平分，△的面積是△的面積的2倍，若，求.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合長度，求得，再在△中利用余弦定理求得，再結(jié)合，由勾股定理求得即可.
【詳解】（1）∵，∴，
即，∵，∴，∴，∴，
（2）∵AD平分，，∴，
∵的面積是的面積的2倍，設(shè)△底邊BC上的高為h，
則，∴，，
又∵，∴，
在△中，，解得，
∴，∴，∴，∴.
19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且.
(1)若：，求；
(2)將函數(shù)的圖使上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頌?倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)是奇函數(shù)，且，求得，以及的解析式；再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，以及正弦的和角公式即可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合函數(shù)圖象的變換求得，再利用整體法求其值域即可.
【詳解】（1）
，
∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴恒成立，∴，又，∴，
∴，又，∴，
∴，
，∴，又，∴，
∴.
（2）由題意得，將函數(shù)的圖使上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉頌?倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，
再將得到的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，
∵，∴，∴，，
∴函數(shù)在上的值域?yàn)?
20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件寫出 的遞推公式，求出 的通項(xiàng)公式；
（2）運(yùn)用縮放法證明即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，，
∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別是以，為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，即，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即，
；
（2）由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴；
得證.
21．某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘）；公交群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘）.已知當(dāng)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間比自駕群體的人均通勤時(shí)間長1分鐘.
(1)求的值；
(2)求該地上班族的最短人均通勤時(shí)間.
【答案】(1)
(2)分鐘
【分析】（1）根據(jù)條件計(jì)算即可；
（2）求平均通勤時(shí)間函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】（1）由題知，，
∴；
（2）由（1）知， ，
設(shè)該地上班族S的人均通勤時(shí)間為，則
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
，
∵拋物線的開口向上，對稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵拋物線的開口向上，對稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴該地上班族S的最短人均通勤時(shí)間為分鐘.
綜上， ，最短人均通勤時(shí)間為分鐘.
22．已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若1是關(guān)于的方程的根，且方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，對a的符號分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求得極值；
（2）根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù) ，對 的性質(zhì)討論，根據(jù) 的性質(zhì)確定b的范圍.
【詳解】（1） ，
當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，無極值，
當(dāng)時(shí)，令 ，解得，
當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，
∴ ，無極大值；
（2）∵1是方程的根，
∴，解得 ，∴ ，
設(shè) ，則 ，
設(shè) ，則 ，
∵，，且方程在上有實(shí)根，
設(shè)，，則在，上不單調(diào)，
∴ 在上存在零點(diǎn)，在上存在零點(diǎn)，
∴在上至少有兩個(gè)相異實(shí)根，
當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，不合題意，
當(dāng)時(shí)，令 ，解得，
當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)， ，單調(diào)遞增，
∴ ，
設(shè) ，則 ，
令 ，解得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，單調(diào)遞淢，
∴ ，∴，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴b的取值范圍為 ；
綜上，，無極大值；b的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】對于第二問，得出在上至少有兩個(gè)相異實(shí)根是問題的核心，由此討論 的最小值以及 至少有兩個(gè)相異實(shí)根的充分條件而得出b的取值范圍.

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