2022-2023學年山東省泰安市高二下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．如果一個物體的運動方程為，其中位移的單位是千米，時間的單位是小時，那么該物體在4小時末的瞬時速度是（    ）A．24千米/小時 B．26千米/小時 C．56千米/小時 D．80千米/小時【答案】C【分析】對求導，代入t值即可.【詳解】由，則當時，，故選：C.2．已知，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式及其性質(zhì)，結(jié)合特殊值計算可得結(jié)論．【詳解】由于已知，，且，利用排列數(shù)的性質(zhì)，令，則，故A不正確；當，時，，故B錯誤；當時，，故C錯誤；，故D正確，故選：D．3．下列求導過程錯誤的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)簡單復合函數(shù)的求導法則即可求解.【詳解】因為，故選項A正確；因為，故選項B正確；因為，故選項C錯誤；因為，故選項D正確，故選：C.4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)t的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求導得到在上恒成立，即，設(shè)，計算值域得到答案.【詳解】，在上恒成立，即，設(shè)，，故，故.故選：A5．若，且能被17整除，則的最小值為（    ）A．0 B．1 C．16 D．18【答案】D【分析】將化為二項展開式，根據(jù)能被 17 整除，即可求得的值, 進而得出答案.【詳解】由題意，因為能被17整除，而能被17整除,∴也能被 17 整除,∴, 即,∴的最小值為18 .故選：D.6．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則其導函數(shù)的圖象可能是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的關(guān)系判斷即可；【詳解】解：由的圖象可知，當時函數(shù)單調(diào)遞增，則，故排除C、D；當時先遞減、再遞增最后遞減，所以所對應的導數(shù)值應該先小于，再大于，最后小于，故排除B；故選：A7．某學校選派甲，乙，丙，丁，戊共5位優(yōu)秀教師分別前往四所農(nóng)村小學支教，用實際行動支持農(nóng)村教育，其中每所小學至少去一位教師，甲，乙，丙不去小學但能去其他三所小學，丁，戊四個小學都能去，則不同的安排方案的種數(shù)是（    ）A．72 B．78 C．126 D．240【答案】B【分析】分組討論結(jié)合組合排列關(guān)系計算即可.【詳解】要求每所小學至少去一位教師，則需要將5人分成4組，則①甲，乙，丙中有2位教師去同一所學校有：種情況，②甲，乙，丙中有1位教師與丁去同一所學校有：種情況，③丁，戊兩人選擇同一所學校有：種情況，所以滿足題意的情況為：，故選：B.8．在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（    ）A．1440 B．720 C．1920 D．960【答案】C【分析】按照地圖涂色問題的方法，先分步再分類去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).【詳解】如圖，設(shè)5個區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；則區(qū)域E可選擇的花卉有種，故不同的種植方法種數(shù)是.故選：C 二、多選題9．某大學的3名男生和3名女生利用周末到社區(qū)進行志愿服務，當天活動結(jié)束后，這6名同學排成一排合影留念，則下列說法正確的是（    ）A．若要求3名女生相鄰，則這6名同學共有144種不同的排法B．若要求女生與男生相間排列，則這6名同學共有96種排法C．若要求3名女生互不相鄰，則這6名同學共有144種排法D．若要求男生甲不在排頭也不在排尾，則這6名同學共有480種排法【答案】ACD【分析】捆綁法解決選項A，插空法解決選項BC，特殊優(yōu)先法或間接法解決選項D.【詳解】選項A，將3名女生捆綁在一起，再與3名男生進行全排列，則有（種），故A正確，選項B，要求女生與男生相間排列，采用插空法，則有（種），故B不正確，選項C，先排3名男生，3名女生插空，則有（種），故C正確，選項D，間接法，6人排列有（種）情況，男生甲在排頭或排尾，則有（種），所以男生甲不在排頭也不在排尾有（種），故D正確，故選：ACD.10．已知三次函數(shù)的圖象如圖，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．的解集為【答案】BC【分析】設(shè)，分析可知的極值點為、，以及為奇函數(shù)，可求得，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，逐項分析可得出合適的選項.【詳解】由圖可知，三次函數(shù)為奇函數(shù)，且的極值點為、，設(shè)，則，可得，由奇函數(shù)的定義可得，即，所以，，可得，則，由題意可得，可得，則，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故不等式的解集為，所以，，對于A選項，，，所以，，A錯；對于B選項，，所以，，B對；對于C選項，由題意可知，，由導數(shù)的定義可得，C對；對于D選項，由，可得，解得或，因此，不等式的解集為，D錯.故選：BC.11．若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)二項式的特征，利用賦值法逐項計算即可求解.【詳解】令可得，，故選項A錯誤；令可得，①令可得，②②①可得，則，因為，所以，故選項B正確；展開式中的系數(shù)為，則，的系數(shù)為，即，因為，所以，故選項C正確；令，等式兩邊同時對求導可得，，令可得，，故選項D正確；故選：BCD.12．已知，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．存在，使得成立B．存在，使得C．對任意，都有D．若過點可以作曲線的兩條切線，則【答案】BD【分析】求出，結(jié)合可解出，即有的解析式，對于A，根據(jù)單調(diào)性得出即可判斷；對于B，根據(jù)單調(diào)性，應用零點存在定理，即可判斷；對于C，根據(jù)基本不等式，即可判斷；對D，設(shè)函數(shù)的切線方程，代入可得，此時有兩條切線等價于方程有兩個互異實根，令，討論的單調(diào)性、最值，即可判斷的范圍.【詳解】，故，，，再由，可得，，故，，故在上單調(diào)遞增，對于A，，,單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增，, ,故A錯；對于B， 在上單調(diào)遞增且 根據(jù)零點存在定理，存在，使得，故 B對；對于C， ，故C錯；對D，設(shè)切點為，則切線方程為，將代入得：，要有兩條切線，則方程有兩個互異實根，令，則，則當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，故，當時，；當時，，故只需，即可使有兩個互異實根，故D對.故選：BD. 三、填空題13．若，則______.【答案】4或7【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)，列式計算可得答案.【詳解】由可得或，解得或，故答案為：4或714．的展開式中的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先求出的通項，然后分別和通項相乘湊出含的項，從而得到的系數(shù).【詳解】，而的通項為，，故展開式中的系數(shù)是,故答案為：.15．數(shù)字2022具有這樣的性質(zhì)：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6，稱這種正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中，“吉祥數(shù)”的個數(shù)為___________.【答案】12【分析】討論百位數(shù)為6、5、4、3、2、1分別列舉出符合要求的“吉祥數(shù)”，即可得結(jié)果.【詳解】當百位為6，符合要求的“吉祥數(shù)”有600；當百位為5，符合要求的“吉祥數(shù)”有510；當百位為4，符合要求的“吉祥數(shù)”有420、402；當百位為3，符合要求的“吉祥數(shù)”有330、312；當百位為2，符合要求的“吉祥數(shù)”有240、204、222；當百位為1，符合要求的“吉祥數(shù)”有150、114、132；綜上，共有12個“吉祥數(shù)”.故答案為：1216．已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，，，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】令根據(jù)題意可知，函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，因為，，所以，，即，，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，由，又因為當時，，則當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為可化為，即，則，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù)在處有極值，其圖象經(jīng)過點，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在處的切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)題意列方程求得，即得答案；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】（1）由題意，∵， ∴，∵在處有極值，∴，即，∵的圖象過點，∴，即，由，解得，，∴；故，當時，，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在出取極小值，符合題意，故.（2）由（1）知，∴，又，∴函數(shù)在處的切線方程為，即.18．在混放在一起的6件不同的產(chǎn)品中，有2件次品，4件正品.現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機抽取一件進行檢測，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出4件正品時檢測結(jié)束.(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少種不同的抽法；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要100元費用，求檢測結(jié)束時檢測費用為400元的抽法有多少種？（要求：解答過程要有必要的說明和步驟）【答案】(1)120(2)96 【分析】（1）由題意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結(jié)束，然后利用兩個計數(shù)原理和排列組合數(shù)即可求解；（2）利用分類加法計數(shù)原理和排列組合的相關(guān)知識即可進行求解.【詳解】（1）由題意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次檢測結(jié)束，第1次抽到的是正品有種抽法；第2次抽到的是次品有種抽法；第3次抽到的是正品有種抽法；當抽取4次結(jié)束時，第4次抽到的必是次品，共有種抽法；當抽取5次結(jié)束時，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，則共有種抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，則共有種抽法；綜上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120種抽法.（2）由題意知，檢測費用為400元，說明一共抽取了4次檢測結(jié)束，共有以下兩種情況：①4次抽到的均為正品，共有種抽法；②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有種抽法. 所以，檢測結(jié)束時，檢測費用為400元的抽法共有96種.19．已知二項式的展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為79.(1)求展開式中的常數(shù)項；（結(jié)果用數(shù)字表示）(2)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項.（系數(shù)用數(shù)字表示）【答案】(1)7920(2) 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合二項式系數(shù)求得，再結(jié)合二項展開式分析運算；（2）由（1）可得系數(shù)的絕對值為，根據(jù)題意列式解得時，取到最大值，即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得：，解得或（舍），所以二項式的通項為，令，解得，故展開式中的常數(shù)項為.（2）由（1）可知展開式系數(shù)的絕對值為，設(shè)第項系數(shù)的絕對值最大，則，整理得，解得，又因為且，所以，故展開式中系數(shù)絕對值最大的項為.20．已知函數(shù)的導函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，(2)， 【分析】（1）對函數(shù)求導，再利用導數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）所得單調(diào)性判斷其區(qū)間符號，進而確定單調(diào)性，即可求最值.【詳解】（1），設(shè)，則，令，解得，，令，解得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）由（1）知，當時，單調(diào)遞減，又，∴當時，故在上單調(diào)遞減.∴，.21．某工廠計劃投資一定數(shù)額的資金生產(chǎn)甲，乙兩種新產(chǎn)品.甲產(chǎn)品的平均成本利潤（單位：萬元）與投資成本（單位：萬元）滿足：（，為常數(shù)，，）；乙產(chǎn)品的平均成本利潤（單位：萬元）與投資成本（單位：萬元）滿足：.已知投資甲產(chǎn)品為1萬元，10萬元時，獲得的利潤分別為5萬元，16.515萬元.(1)求，的值；(2)若該工廠計劃投入50萬元用于甲，乙兩種新產(chǎn)品的生產(chǎn)，每種產(chǎn)品投資不少于10萬元，問怎樣分配這50萬元，才能使該工廠獲得最大利潤？最大利潤為多少萬元？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)，(2)甲，乙兩種產(chǎn)品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元 【分析】（1）根據(jù)投資甲產(chǎn)品為1萬元，10萬元時，獲得的利潤列出方程，即可求得答案；（2）設(shè)甲產(chǎn)品投資萬元，乙產(chǎn)品投資萬元，由此列出獲得利潤的表達式，利用導數(shù)求得最大值，可得答案.【詳解】（1）由題意知，，整理得，解得，；（2）設(shè)甲產(chǎn)品投資萬元，乙產(chǎn)品投資萬元，且，則該公司獲得的利潤，；則在上單調(diào)遞減，令，解得或（舍去），當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴，∴當甲，乙兩種產(chǎn)品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元.22．已知方程有兩個不同的實根，.(1)求的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）令，對函數(shù)求導，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性可得當當時，無零點，不合題意；當時，函數(shù)在上有一個零點，在上有一個零點，符合題意；（2）記的兩個零點為，，則有，同理，進而得到，由可得的兩個零點，互為倒數(shù)，代入即可得證.【詳解】（1）設(shè)（且），則，方程有兩個不同的實根，等價于有兩個不同的零點.①當時，（且）∴無零點，不符合題意；②當時，，∴在和上單調(diào)遞增.當時，，，，，∴在上有一個零點，當時，，，，，∴在上有一個零點，③當時，，設(shè)，∵，，∴在和上分別存在零點和∴在處取極大值，在處取極小值.又，∴當時，，又，∴當時，，∴當時，無零點，不符合題意；綜上，.（2）的兩個零點為，，∴，即，∴.同理，，∴，若，即，則，∴的兩個零點，互為倒數(shù)，即，∴（等號不成立），∴，由（1）知，有兩個不同的零點時，∴.【點睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 

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