2023屆湖北省部分省級示范高中高三上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，集合， 則下列關系式準確的是（    ）A． B．C． D．或【答案】B【分析】由絕對值的幾何意義化簡集合，再利用交、并、補集的運算性質逐一分析四個選項得答案．【詳解】，，，故A不正確；，故B正確；或，或或，故D不正確；或，故C不正確．故選：B．2．函數(shù)的定義域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合函數(shù)解析式得到不等式組，進而可得到答案.【詳解】由，解得，故所求函數(shù)的定義域為.故選：C.3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用偶函數(shù)的性質直接求解即可.【詳解】由已知得，當時，則，即，，∵為偶函數(shù)，∴，即，∴，，∴，故選：.4．已知正方形的對角線，點在邊上，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，其中，則分析即得解.【詳解】因為正方形的對角線為，故正方形的邊長為，點在邊上，則，其中，則，當點與點重合時，等號成立，故的最大值為．故選：C5．若數(shù)列{Fn}滿足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3)，則{Fn}稱為斐波那契數(shù)列，它是由中世紀意大利數(shù)學家斐波那契最先發(fā)現(xiàn)．它有很多美妙的特征，如當n≥2時，前n項之和等于第n+2項減去第2項；隨著n的增大，相鄰兩項之比越來越接近等等．若第30項是832040，請估計這個數(shù)列的前30項之和最接近（    ）（備注：，）A．31萬 B．51萬 C．217萬 D．317萬【答案】C【分析】首先求，再求出，最后求出即可.【詳解】由題意得：，假設的前項和為，則，又因為隨著n的增大，相鄰兩項之比越來越接近所以故，故選：C.【點睛】本題主要考查數(shù)列的基本概念及前項和的求法，屬于簡單題.6．已知，，，則，，的大小關系為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合已知條件，利用中間值法即可比較大小.【詳解】由于，由三角函數(shù)的性質可知，，則，由，則，故．故選：D.7．在中，內角所對的邊分別為，且，下列結論正確的是（    ）A．B．當，時，的面積為C．若是的角平分線，且，則D．當時，為直角三角形【答案】D【分析】選項A：先用正弦定理得，再利用三角恒等變換，求出，即可；選項B：直接解三角，發(fā)現(xiàn)無解即可；選項C：利用等面積法，的到的關系即可；選項D：利用正弦定理得，然后利用三角形角的關系，計算出各個角的大小即可.【詳解】選項A:因為，由正弦定理可得，又因為，所以，化簡可得，因為，所以可得，，故，選項A錯誤；選項B：當，時，由選項A，得，因為，可得，無解，故此時三角形不存在，選項B錯誤；選項C：因為若是的角平分線，且，由選項A，得故，而得，得，所以，選項C錯誤；選項D：因為，由正弦定理可得，又，，得，所以，化簡可得，因為，解得或，由條件可知，故舍去，故，所以，所以為直角三角形，選項D正確．故選：D8．已知函數(shù)，若函數(shù)的單調遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的單調遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，轉化為解集中恰有兩個正整數(shù)，利用數(shù)形結合建立不等式求解即可.【詳解】因為的單調遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，所以的解集中恰有兩個正整數(shù)，由可得， ，令，則，，單調遞增，，單調遞減，作出函數(shù)與的圖象如圖，當恰有兩個正整數(shù)解時，即為1和2，所以，故選： C【點睛】本題以解不等式為載體,要求考生抓住函數(shù)圖象和性質的本質,建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)，屬于難題. 二、多選題9．已知復數(shù)：滿足，則（    ）A． B．z的虛部為C．z的共軛復數(shù)為 D．z是方程的一個根【答案】AD【分析】由復數(shù)除法的運算法則求出，然后根據(jù)復數(shù)的相關概念，以及復數(shù)的模長公式和復數(shù)范圍內方程根的求法即可得答案.【詳解】解：因為，所以，對A：，故選項A正確；對B：z的虛部為，故選項B錯誤；對C：z的共軛復數(shù)為，故選項C錯誤；對D：因為方程的根為，所以z是方程的一個根，故選項D正確.故選：AD.10．下列選項中，正確的有（    ）A．設，都是非零向量，則“”是“”成立的充分不必要條件B．若角的終邊過點且，則C．在中，D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘運算、三角函數(shù)的定義、誘導公式、正弦定理以及三角函數(shù)性質的應用，判斷每個選項的正誤．【詳解】選項A，由，可知，所以，故充分性成立；若，則，因為為大于的實數(shù)，不一定為，所以必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要條件，選項正確；選項B，若角的終邊過點且，則，解得，B選項錯誤；選項C，因為在中，，由正弦定理可知，所以，因為在上單調遞減，而A，B為的內角，，故；故可得，選項C正確；選項D，若，則，D錯誤．故選：AC.11．大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（    ）A． B．C． D．數(shù)列的前項和為【答案】BCD【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)結合累加法即可判斷C選項；由分組求和法即可判斷D選項.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，，可得；當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對于C，當為奇數(shù)且時，累加可得，時也符合；當為偶數(shù)且時，累加可得；則，C正確；對于D，設數(shù)列的前項和為，則，又，，D正確.故選：BCD.【點睛】本題的關鍵點在于利用題目中的遞推關系式，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況來考慮，同時借助累加法即可求出通項，再結合分組求和法以及等差數(shù)列求和公式即可求得前項和，使問題得以解決.12．若，，且，則（    ）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】將變形為和，借助基本不等式與1的代換可解.【詳解】，，， ，且.則，且.對A： ，當時等號成立，A正確；對B： ，解得，B正確；對C：，則，當時等號成立，C正確；對D：，當時等號成立，D正確.故選：ABCD.【點睛】二元條件最值問題的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關系，消元，然后代入代數(shù)式轉化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法，根據(jù)已知條件，構造和或積為常數(shù)的式子, 然后利用均值不等式求解最值. 三、填空題13．已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，，，則=______．【答案】?1【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等差中項，求第六項，再根據(jù)等比數(shù)列的等比中項，解得第六項的平方，結合對數(shù)運算可得答案.【詳解】因為是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前n項和，所以，解得，因為是等比數(shù)列，所以，則.故答案為：.14．已知向量，，若，則在上的投影向量為__________．【答案】【分析】根據(jù)垂直關系得出，再利用向量的投影的概念即得.【詳解】，，，解得，，，，，在上投影向量為：.故答案為：.15．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何現(xiàn)有這樣一個相關的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為__________．【答案】【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再應用基本不等式求得 的最小值.【詳解】解：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則 ∴ 當且僅當，即 時，等號成立，∴ 的最小值為．故答案為：. 四、雙空題16．已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，，則__________，曲線在處的切線方程是__________．【答案】          【分析】根據(jù)題意求得的對稱軸，結合已知函數(shù)解析式，以及導數(shù)的幾何意義，即可求得結果.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，即，用代替，得到，故關于對稱，當時，，則，所以時，，則，故，，故曲線在處的切線斜率，切點坐標為，故切線方程為，即．故答案為：；． 五、解答題17．已知函數(shù)．(1)若，求的單調區(qū)間(2)若函數(shù)在處取得極值，求的最大值和最小值．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，(2)， 【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）先由極值點處的導數(shù)為0（且在極值點左右兩側的符號相反）解得參數(shù)a的值，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值（注意：研究函數(shù)的趨近）.【詳解】（1）若，有，定義域為 則， 得；得或所以，的減區(qū)間是，增區(qū)間是，；（2）∵，即：∴∴∴∴當或時，；當時，∴在，上遞增，在上遞減∴的極大值為，的極小值為.又∵當 時， ，當時，，．18．已知數(shù)列的首項為，且滿足，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列中，，對任意，，都有，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由得，即，由等比數(shù)列定義列通項公式即可；（2）令即求得，利用錯位相減法即可求【詳解】（1），，又，且是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）對任意，都成立，令得，，，，作差化簡得19．如圖，在平面凹四邊形中，，，，角滿足：．(1)求角的大小(2)求凹四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)結合已知條件，利用二倍角公式即可求解；(2)結合已知條件，利用余弦定理和均值不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，因為，則，所以，即.（2）連接，設，，因為，，，所以在中，由余弦定理得，即，在中由余弦定理得，即，故，當且僅當時，不等式取等號，從而，故凹四邊形的面積，從而四邊形面積的最小值是.20．已知函數(shù)，，且在上單調遞增.(1)若恒成立，求的值；(2)在（1）的條件下，若當時，總有使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意得為最小值，代入求解（2）理解題意，求出兩個函數(shù)值域后列不等式組【詳解】（1）由題意得解得且在上單調遞增，故，得（2）由（1）得時，，根據(jù)對稱軸討論取值范圍①時，在時單調遞增，，此時不合題意②時，在時單調遞增，在時單調遞減由題意得，解得③時，在時單調遞減，，由題意得，解得（舍去）綜上，的取值范圍為21．已知函數(shù)的周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變)，再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)與的解析式；(2)是否存在，使得、、按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請求出該數(shù)列公差絕對值的取值范圍；若不存在，請說明理由．(3)當時，判斷在內的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)，(2)存在，公差絕對值的取值范圍為.(3)見解析 【分析】(1)結合已知條件，利用周期公式求出，然后利用正弦函數(shù)的對稱中心的性質求，進而得到，利用伸縮變換和平移變換得到；(2)利用導函數(shù)和零點存在基本定理即可判定，結合正弦函數(shù)范圍以及二次函數(shù)性質即可求解；(3) 將零點問題轉化為與的交點問題，然后利用導函數(shù)求的圖像，進而即可得到答案.【詳解】（1）∵周期，∴，又∵是的一個對稱中心，∴，，解得：，，∵，∴，從而，函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變)后的解析式為：，從而再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù).（2）假設存在，使得、、按照某種順序成等差數(shù)列當時，，則，，∵，∴，故，即，令，，則故在上單調遞增，又∵，且在上連續(xù)，故存在唯一的，使得，即成立，即存在，使得，，或，，成等差數(shù)列，∴公差的絕對值，∵，∴，即該等差數(shù)列公差的絕對值的取值范圍為.（3）由題意得：，當，即時，，故不是的零點；則的零點個數(shù)等價于的根的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，∵，∴是以為周期的周期函數(shù)，當時，，∴當時，；當時，，故在，上單調遞增，在，上單調遞減，則在上的大致圖像如下圖所示，由圖像可知：當時，與在內無交點，在內有兩個交點；當時，在內有兩個交點，在內有兩個交點；當時，與在內有且僅有一個交點，在內有兩個交點；綜上所述，在內，當時，與有2022個交點，即有2022個零點；當時，與有3033個交點，即有3033個零點；當時，與有4044個交點，即有4044個零點.22．已知函數(shù).(1)求的極值；(2)若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）對求導得，分別討論和時，求不等式，的解集，再由極值的定義可求得結果；（2）恒成立，轉化為對任意恒成立，進一步令， 對任意恒成立，令，分類討論和是否滿足，即可得出答案.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，      當時，在恒成立，在單調遞減，故無極值；當時，令，則，  時，，在單調遞減；時，，在單調遞增；故在取極小值，且，無極大值綜上，當時，無極值；當時，在取極小值，且，無極大值.（2）解：∵，∴，即且∴且，即，為的兩個零點∴由（1）知，當時，在取極小值，且，故又∵，∴，         又∵恒成立，∴對任意恒成立，∵，∴，且    ∴對任意恒成立∴令，則，對任意恒成立，則.∴對任意恒成立            令，則當，即時，恒成立            故在為單調遞增函數(shù)，又∵，∴對恒成立       當，即時，為單調增函數(shù)，又∵，，∴使，當時，，故在單調遞減∴當時，，不合題意 綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求函數(shù)的極值及導數(shù)在恒成立求參問題中的應用，考查學生的運算求解能力和轉化與化歸能力.屬于綜合型、難度大型試題. 

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