2022-2023學(xué)年湖北省部分省級示范高中高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．橢圓的焦距是（    ）A．16 B．8 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，即可得焦距.【詳解】由可得，，所以，可得，所以焦距，故選：.2．在等差數(shù)列中，，則（    ）A．14 B．16 C．18 D．28【答案】B【分析】利用等差數(shù)列等差中項求解即可.【詳解】因為等差數(shù)列中，，，故選：.3．已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的離心率和性質(zhì)求解即可.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以由得，所以，即漸近線方程為，故選：A4．已知圓的方程為，過點的該圓的所有弦中，最短弦的長為（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】計算出圓的圓心和半徑，設(shè)，由幾何性質(zhì)得到當(dāng)與圓的弦垂直時，弦最短，利用垂徑定理求解出最短弦長.【詳解】整理為，故圓心為，半徑為，設(shè)，故當(dāng)與圓的弦垂直時，弦最短，其中，由垂徑定理得：.故選：B5．設(shè)，是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（    ）A．若，，,則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】B【分析】根據(jù)面面平行性質(zhì)可說明可能異面可能平行，判斷A;利用平面的法向量的關(guān)系可判斷B; 根據(jù)，，，可判斷可能平行，不一定垂直，判斷C;根據(jù)面面平行的判定可判斷D.【詳解】對于A，若，，，則可能異面可能平行，A錯誤；對于B，若，，則可在直線m上取向量作為平面的法向量，可在直線n上取向量作為平面的法向量，因為，故，所以，B正確；對于C，若，，，則可能平行，不一定垂直，C錯誤；對于D, 若，，，，由于可能是平行直線，此時可能相交，D錯誤，故選：B.6．在長方體中，已知，，，為的中點，則的長等于（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，由向量模長的坐標(biāo)運算可求得.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，即的長為.故選：A.7．已知橢圓的左右焦點分別為，過點且斜率為的直線l與C在x軸上方的交點為A．若，則C的離心率是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的正切值，求出的余弦值，在用余弦定理求出用表示，再求解.【詳解】設(shè)則，又，在中，由余弦定理得：故選：A8．17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在著作中證明，方程表示橢圓，費馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)若從橢圓上任意一點P（異于A，B兩點）向長軸引垂線，垂足為Q，記，則（    ）A．方程表示的橢圓的焦點落在x軸上B．C．M的值與P點在橢圓上的位置無關(guān)D．M越來越小，橢圓的離心率越來越小【答案】C【分析】對選項A，根據(jù)橢圓的定義即可判斷A錯誤，對選項B，根據(jù)題意得到，故B錯誤，對選項C，分別討論焦點在軸和軸的情況，即可判斷C正確，對選項D，根據(jù)，即可判斷D錯誤.【詳解】對選項A，方程，化簡為.當(dāng)時，則，方程表示焦點在軸的橢圓，故A錯誤.對選項C，設(shè)，橢圓的焦點在軸上，，，，因為為常數(shù)，所以的值與點在橢圓上的位置無關(guān).設(shè)，橢圓的焦點在軸上，，，，因為為常數(shù)，所以的值與點在橢圓上的位置無關(guān)，故C正確.對選項B，當(dāng)橢圓的焦點在軸時，，.當(dāng)橢圓的焦點在軸時，，所以，綜上，故B錯誤.對選項D，因為，所以越來越小，橢圓的離心率越來越大，故D錯誤.故選：C 二、多選題9．已知數(shù)列，則下列說法正確的是  （     ）A．此數(shù)列的通項公式是B．是它的第23項C．此數(shù)列的通項公式是D．是它的第25項【答案】AB【分析】根據(jù)已知條件求得數(shù)列的通項公式，由此對選項進(jìn)行分析，從而確定正確選項.【詳解】數(shù)列，所以，A選項正確，C選項錯誤.，B選項正確，，D選項錯誤.故選：AB10．已知圓和圓，則（    ）A． B．圓半徑是4 C．兩圓相交 D．兩圓外離【答案】AC【分析】先根據(jù)配方法確定兩個圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系即可判斷兩圓的位置.【詳解】對于B，因為圓，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，故B錯誤；對于A，因為圓，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，故A正確；對于CD，因為，所以兩圓相交，故C正確，D錯誤.故選：AC.11．已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點，過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，且兩點在準(zhǔn)線上的投影點分別為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．的最小值為4C．為定值 D．【答案】ABD【分析】由焦點到準(zhǔn)線的距離可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設(shè)直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長的表達(dá)式，再由參數(shù)的范圍可得其最小值，判斷B正確；分別表示出可判斷C不正確；表示出，，由可判斷D正確．【詳解】對于A，因為拋物線的準(zhǔn)線，所以，則，故A正確；對于，拋物線，過焦點的直線為，則，整理可得，設(shè)，可得，，，所以，當(dāng) 時取等號， 最小值為4，所以正確；對于C，，所以所以，所以C不正確；對于D，，，，所以，故D正確.故選：ABD.12．很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個棱數(shù)，棱長為的半正多面體，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的．下列結(jié)論正確的有（    ）A．該半正多面體的表面積為 B．平面C．點到平面的距離為 D．若為線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】將該半正多面體補成正方體，即可求出正方體的棱長，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】解：將該半正多面體補成正方體， 因為該半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為，所以該幾何體的表面積為，故A錯誤；建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，故B正確；，，，設(shè)平面的法向量為，所以，即，所以，則點到平面的距離，故C正確；若為線段的中點，則，所以，，則異面直線與所成角的余弦值，故D正確；故選：BCD 三、填空題13．若直線與直線垂直，則_____________．【答案】【分析】根據(jù)直線垂直滿足求解.【詳解】因為直線與直線垂直所以故答案為：14．記為等差數(shù)列的前項和，若，，則_____．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再根據(jù)其通項即可得出.【詳解】解：等差數(shù)列中，，，所以，且，即，所以，解得，所以，故答案為：9.15．已知A，B是平面上的兩定點，，動點M滿足，動點N在直線上，則距離的最小值為___________．【答案】【分析】以為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)定義可得點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【詳解】如圖，以為原點，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)動點，則由可得，整理可得，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，易得直線的方程為，則由圖可知MN距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，則圓心到直線的距離為，所以MN距離的最小值為.故選：C.16．已知是橢圓和雙曲線的交點，，是，的公共焦點，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義把用來表示，然后在中用余弦定理求出的關(guān)系，然后再用函數(shù)求解.【詳解】設(shè)因為點在橢圓上，所以①又因為點在雙曲線上，所以②則①②得；①②在中由余弦定理得：即即，即即所以，令，則所以.故答案：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求，并求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）化成的方程組解決.（2） 求出，判斷單調(diào)性，求最值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，所以18．已知拋物線過點．(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)過該拋物線的焦點，作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點，求線段的長度．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）將點代入拋物線方程即可求得的方程，由拋物線方程可得準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理形式，利用拋物線焦點弦長公式可直接得到結(jié)果.【詳解】（1）過點，，解得：，拋物線，準(zhǔn)線方程為：（2）由（1）知：拋物線焦點為，因為直線傾斜角為，所以設(shè)直線，，，由得：，，.19．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點.(1)求直線與直線的所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與直線的所成角的余弦值.（2）利用向量法求得點到平面的距離.【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)直線與直線的所成角為，所以.（2），，設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè).設(shè)到平面的距離為，則.20．如圖，某海面上有O、A、B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東方向距O島千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處以O為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系圓C經(jīng)過O、A、B三點．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西方向距O島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】(1)(2)該船沒有觸礁的危險 【分析】（1）由圖中坐標(biāo)系得坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程，代入三點坐標(biāo)求解，然后把一般方程配方得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先求出航行方向所在直線方程，再求出圓心到直線的距離，與半徑比較可得．【詳解】（1）如圖所示，，設(shè)過O、A、B三點的圓C的方程為，得：，解得，故所以圓C的方程為，圓心為，半徑，（2）該船初始位置為點D，則，且該船航線所在直線l的斜率為,故該船航行方向為直線，由于圓心C到直線l的距離，故該船沒有觸礁的危險21．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．(1)求；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用求得.（2）利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）平面，平面，所以，四邊形為矩形，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.22．已知圓和定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線交于點M，設(shè)動點M的軌跡為曲線E，且曲線E與直線相切．(1)求曲線E的方程；(2)若過點且斜率為k的直線l與曲線E交于A，B兩點，求面積的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求得曲線的方程，（2）求得三角形面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得面積的最大值.【詳解】（1）由題意圓，故圓心，半徑；∵點且線段的垂直平分線交于點M；∴；∴；∴動點M的軌跡曲線E是以，為焦點，為長軸的橢圓；∴曲線；∵曲線E與直線相切，故，；∴曲線；（2）依題直線；則由；∵；∴或；設(shè)∵∴；；；原點O到直線l的距離；∴；當(dāng)且僅當(dāng)即時取得最大值；∴面積的最大值為. 

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