?2022-2023學(xué)年八年級（上）期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷四
一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（3分）如圖，下列圖案中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A．；B． ；C．；D．
2．（3分）在實(shí)數(shù)，3.1415926，0.123123123…，，，0.2020020002…（相鄰兩個(gè)2中間一次多1個(gè)0）中，無理數(shù)有（　?。?br /> A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
3．（3分）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構(gòu)成直角三角形的是（　?。?br /> A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13
4．（3分）若直線y＝2x+1經(jīng)過點(diǎn)M（﹣3，m），N（2，n），則m，n的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．m＝n B．m＝﹣n C．m＞n D．m＜n
5．（3分）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（　?。?br /> A．9 B．7 C．12 D．9或12
6．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列條件中不能使△ABC≌△DCB的是（　?。?br /> A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠D
第6題第7題
7．（3分）如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，3），則不等式ax+4＞2x的解集是（　?。?br /> A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
8．（3分）小剛以400米/分的速度勻速騎車5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度騎回出發(fā)地，設(shè)小剛離家路程為s（千米），速度為v（千米/分），時(shí)間為t（分）．下列函數(shù)圖象能表達(dá)這一過程的是（　?。?br /> A．；B．；C．；D．
9．（3分）如圖，△PBC的面積為15cm2，PB為∠ABC的角平分線，作AP垂直BP于P，則△ABC的面積為（　?。?br /> A．25cm2 B．30cm2 C．32.5cm2 D．35cm2
第9題第10題
10．（3分）如圖，點(diǎn)A，B在直線MN的同側(cè)，A到MN的距離AC＝8，B到MN的距離BD＝5，已知CD＝4，P是直線MN上的一個(gè)動點(diǎn)，記PA+PB的最小值為a，|PA﹣PB|的最大值為b，則a2﹣b2的值為（　?。?br /> A．160 B．150 C．140 D．130
二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）
11．（3分）的平方根是　 　．
12．（3分）將3.14159精確到百分位是　 ?。?br /> 13．（3分）已知點(diǎn)M（﹣6，a﹣3）是第二象限的點(diǎn)，則a的取值范圍是 　 ?。?br /> 14．（3分）若等腰三角形的一個(gè)角是50°，則這個(gè)等腰三角形的底角為　 　°．
15．（3分）將直線y＝2x﹣3向下平移4個(gè)單位后，所得直線的表達(dá)式是 　 　．
16．（3分）如圖，直線l與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)M（a，2）是直線l上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線MN交邊OA點(diǎn)N，若直線MN將△AOB分成面積相等的兩部分，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是 　 ?。?br /> 17．（3分）如圖，Rt△ABC中，BC＝AC＝，D是斜邊AB上一個(gè)動點(diǎn)，把△ACD沿直線CD折疊，點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的A'處，當(dāng)A'D平行于Rt△ABC的直角邊時(shí)，AD的長為 　 ?。?br /> 18．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，將邊DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，若EF＝2，BF＝3，則線段CD的長是　 　．

第16題 第17題 第18題
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19．（12分）計(jì)算
（1）（﹣）2﹣+（﹣1）0； （2）|﹣|+﹣；




（3）2x2﹣50＝0，求x； （4）（x+3）3＝﹣27，求x．




20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；A1（ 　 ?。珺1（ 　 ?。?，C1（ 　 　）．
（2）求△ABC的面積．

21．（6分）如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，∠ACD＝∠B，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF．
（1）求證：AD＝EF；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度數(shù)．

22．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y＝k1x的圖象相交于點(diǎn)A（3，4），且OA＝OB．
（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

23．（8分）隨著人民生活水平提高，環(huán)境污染問題日趨嚴(yán)重，為了更好治理和凈化河道，保護(hù)環(huán)境，河道綜合治理指揮部決定購買10臺污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價(jià)格、月處理污水量如表．經(jīng)調(diào)查：購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元．
（1）求表中a，b的值；
（2）由于受資金限制，河道綜合治理指揮部決定購買污水處理設(shè)備的資金不超過110萬元，問每月最多能處理污水多少噸？

A型
B型
價(jià)格（萬元/臺）
a
b
處理污水量（噸/月）
220
180

24．（7分）甲、乙兩車從A城出發(fā)沿一條筆直公路勻速行駛至B城在整個(gè)行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（km）與甲車行駛的時(shí)間t（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）A、B兩城相距 　 　千米，乙車比甲車早到 　 　小時(shí)；
（2）求出點(diǎn)C坐標(biāo)，并解釋其實(shí)際意義；
（3）兩車都在行駛的過程中，當(dāng)甲、乙兩車相距40千米時(shí)，t＝　 　．

25．（9分）問題情境：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？請你給出證明；
變式拓展：如圖2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一點(diǎn)，∠EPF＝60°，PE邊與OA邊相交于點(diǎn)E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點(diǎn)F．試解決下列問題：
①PE與PF還相等嗎？為什么？
②試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．






26．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝2x+2分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，直線分別與x軸、y軸交于D、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（﹣3，m）是BD上一點(diǎn)．
（1）b＝　 　，m＝　 ?。?br /> （2）試判斷線段CA與線段BA之間的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)Q（0，﹣1）是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)M是直線AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是直線BD上一動點(diǎn)，當(dāng)△MNQ是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰三角形時(shí)，請直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．


【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于2+2＜5，則三角形不存在；
（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
所以這個(gè)三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
6．（3分）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，下列條件中不能使△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC B．AC＝DB C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠D
【分析】由兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可判定A正確；由兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，可判定C正確；由兩角及其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，即可判定D正確．
【解答】解：A、在△ABC和△DCB中，
，∴△ABC≌△DCB（SAS）；故本選項(xiàng)能使△ABC≌△DCB；
B、本選項(xiàng)不能使△ABC≌△DCB；
C、在ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB（ASA）；故本選項(xiàng)能使△ABC≌△DCB；
D、在△ABC和△DCB中，，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；故本選項(xiàng)能使△ABC≌△DCB．故選：B．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定．注意利用SSS，SAS，ASA，AAS即可判定三角形全等．
第6題第7題
7．（3分）如圖，函數(shù)y＝2x和y＝ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m，3），則不等式ax+4＞2x的解集是（　?。?br /> A．x＞ B．x＜ C．x＞3 D．x＜3
【分析】首先利用待定系數(shù)法求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再以交點(diǎn)為分界，結(jié)合圖象寫出不等式ax+4＞2x解集即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝2x過點(diǎn)A（m，3），∴2m＝3，解得：m＝，
∴A（，3），∴不等式ax+4＞2x的解集為x＜．故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是求出A點(diǎn)坐標(biāo)．
8．（3分）小剛以400米/分的速度勻速騎車5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度騎回出發(fā)地，設(shè)小剛離家路程為s（千米），速度為v（千米/分），時(shí)間為t（分）．下列函數(shù)圖象能表達(dá)這一過程的是（　　）

作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．
過點(diǎn)A′作直線A′E⊥BD的延長線于點(diǎn)E，則線段A′B的長即為PA+PB的最小值．
∵AC＝8，BD＝5，CD＝4，∴A′C＝8，BE＝8+5＝13，A′E＝CD＝4，
∴A′B＝＝，即PA+PB的最小值是a＝．如圖，

延長AB交MN于點(diǎn)P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到P′點(diǎn)時(shí)，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝5，CD＝4，AC＝8，過點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE＝CD＝4，AE＝AC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴AB＝＝5．∴|PA﹣PB|＝5為最大，即b＝5，
∴a2﹣b2＝185﹣25＝160．故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是最短線路問題及勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線段最短及三角形的三邊關(guān)系是解答此類問題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分）
11．（3分）的平方根是　?。?br /> 【分析】直接根據(jù)平方根的定義即可解決問題．
【解答】解：∵（±）2＝∴＝．故答案為：±．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平方根的概念，要求學(xué)生能夠正確求出一個(gè)正數(shù)的平方根．
12．（3分）將3.14159精確到百分位是　3.14?。?br /> 【分析】對千分位數(shù)字1四舍五入即可．
【解答】解：將3.14159精確到百分位是3.14，故答案為：3.14．
【點(diǎn)評】本題主要考查近似數(shù)，近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法．
13．（3分）已知點(diǎn)M（﹣6，a﹣3）是第二象限的點(diǎn)，則a的取值范圍是 　a＞3　．
【分析】根據(jù)第二象限點(diǎn)的特征列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．
【解答】解：∵點(diǎn)M（﹣6，a﹣3）是第二象限的點(diǎn)，
∴a﹣3＞0，解得：a＞3．故答案為：a＞3．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握象限點(diǎn)的特征及不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．
14．（3分）若等腰三角形的一個(gè)角是50°，則這個(gè)等腰三角形的底角為　65或50　°．
【分析】已知給出了一個(gè)內(nèi)角是50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還有用內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立．
【解答】解：當(dāng)50°是等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為（180°﹣50°）×＝65°；當(dāng)50°是底角時(shí)亦可．故填65°或50°．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
15．（3分）將直線y＝2x﹣3向下平移4個(gè)單位后，所得直線的表達(dá)式是 　y＝2x﹣7　．
【分析】直接利用一次函數(shù)平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵將直線y＝2x﹣3向下平移4個(gè)單位，
∴平移后解析式為：y＝2x﹣4﹣3＝2x﹣7．故答案為：y＝2x﹣7．
【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，直線l與x軸交于點(diǎn)A（6，0），與y軸交點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)M（a，2）是直線l

【點(diǎn)評】考查翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．


18．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，將邊DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，若EF＝2，BF＝3，則線段CD的長是　　．
題圖答圖
【分析】由勾股定理可求BE的長，由“SAS”可證△ABE≌△ACD，可得BE＝CD＝．
【解答】解：如圖，連接AC，AE，BE，
∵EF＝2，BF＝3，∴BE＝＝＝，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵將邊DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝，故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共8小題，共66分）
19．（12分）計(jì)算
（1）（﹣）2﹣+（﹣1）0； （2）|﹣|+﹣；
（3）2x2﹣50＝0，求x； （4）（x+3）3＝﹣27，求x．
【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，立方根，零指數(shù)冪計(jì)算即可；
（2）根據(jù)絕對值，實(shí)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可；
（3）根據(jù)平方根的定義求解即可；
（4）根據(jù)立方根的定義求解即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1＝2；
（2）原式＝﹣+5﹣＝5﹣；
（3）根據(jù)題意得2x2＝50，∴x2＝25，∴x＝±5；
（4）根據(jù)題意得x+3＝﹣3，∴x＝﹣6．
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，平方根，立方根，掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有2個(gè)是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)；A1（ 　2，﹣4　），B1（ 　3，﹣1?。珻1（ 　﹣2，1?。?br /> （2）求△ABC的面積．
題圖答圖
【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個(gè)三角形面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
故答案為：2，﹣4，3，﹣1，﹣2，1；
（2）．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)，學(xué)會用分割法求三角形面積，
21．（6分）如圖，AC是四邊形ABCD的對角線，∠ACD＝∠B，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF．
（1）求證：AD＝EF；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)SAS證明△BEF≌△CDA即可得到AD＝EF；
（2）全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠D＝∠BEF，∠BAC＝∠BEF，等量代換即可求出答案．
【解答】（1）證明：在△BEF與△CDA中，
，∴△BEF≌△CDA（SAS），∴AD＝EF；
（2）解：∵△BEF≌△CDA，∴∠D＝∠BEF，
∵∠D＝78°，∴∠BEF＝78°．∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠BEF＝78°．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．
22．（8分）如圖，一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y＝k1x的圖象相交于點(diǎn)A（3，4），且OA＝OB．
（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）點(diǎn)P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)，可以求出正比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)B坐標(biāo)即可求出一次函數(shù)解析式．
（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，求出AD即可解決問題．
（3）分三種情形討論即可①OA＝OP，②AO＝AP，③AP＝OP．
題圖答圖
【解答】（1）∵正比例函數(shù)y＝k1x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，4），
∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函數(shù)解析式為y＝x．
如圖1中，過A作AC⊥x軸于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，
∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），
∴，解得，∴一次函數(shù)的解析式為y＝3x﹣5．
（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，∵A（3，4），∴AD＝3，
∴S△AOB＝；
（3）當(dāng)OP＝OA時(shí)，P1（﹣5，0），P2（5，0），當(dāng)AO＝AP時(shí)，P3（6，0），
當(dāng)PA＝PO時(shí)，線段OA的垂直平分線為y＝﹣，∴，
滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)綜合題、三角形面積、等腰三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會分類討論，不能漏解，屬于中考?？碱}型．
23．（8分）隨著人民生活水平提高，環(huán)境污染問題日趨嚴(yán)重，為了更好治理和凈化河道，保護(hù)環(huán)境，河道綜合治理指揮部決定購買10臺污水處理設(shè)備．現(xiàn)有A、B兩種型號的設(shè)備，其中每臺的價(jià)格、月處理污水量如表．經(jīng)調(diào)查：購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元．

A型
B型
價(jià)格（萬元/臺）
a
b
處理污水量（噸/月）
220
180
（1）求表中a，b的值；
（2）由于受資金限制，河道綜合治理指揮部決定購買污水處理設(shè)備的資金不超過110萬元，問每月最多能處理污水多少噸？
【分析】（1）依據(jù)購買一臺A型設(shè)備比購買一臺B型設(shè)備多2萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少6萬元列出關(guān)于a、b的方程組求解即可；
（2）設(shè)購買A型設(shè)備x臺，則B型設(shè)備（10﹣x）臺，能處理污水y噸，根據(jù)資金不超過110萬元，可得到關(guān)于x不等式，從而可求得x的取值范圍，然后列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，解得：．


【分析】問題情境：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；
變式拓展：①過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結(jié)論；
②結(jié)論：OE﹣OF＝OP．證明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得結(jié)論．
【解答】問題情境：證明：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；

變式拓展：①解：結(jié)論：PE＝PF．
理由：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF＝PE；
②解：結(jié)論：OE﹣OF＝OP．
理由：在△OPM和△OPN中，，∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，∵△PMF≌△PNE（ASA），∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，
∴∠OPM＝30°，∴OP＝2OM，∴OE﹣OF＝OP．
【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，


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