河北省唐山市第一中學2022-2023學年高一上學期12月月考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ 一、單選題1．若函數(shù)的圖像不經過第二象限，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調遞減的是（    ）A． B． C． D．3．設的兩根是、，則（    ）A． B． C． D．4．設，，，則a，b，c的大小順序是（    ）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，且都可以用二分法求得，其圖象是連續(xù)不斷的，若，，則下列命題不正確的是（    ）A．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內B．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內C．函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內D．函數(shù)的兩個零點不可能同時在區(qū)間內6．函數(shù)與在上的圖象相交于M，N兩點，O為坐標原點，則的面積為（    ）A． B． C． D．7．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則α的值可能為（    ）．A．0 B． C． D．8．設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，，則在區(qū)間內關于x的方程解的個數(shù)為（    ）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 二、多選題9．已知函數(shù)，則的化簡的結果可能是（    ）A． B． C． D．10．（多選）已知函數(shù)，則的單調區(qū)間有（    ）A． B． C． D．11．已知，則下列說法正確的是（    ）A．為奇函數(shù) B．的值大于零C．若，則 D．若，，則12．（多選）已知函數(shù)，下列說法正確的有（    ）A．當時，函數(shù)的定義域為B．當時，函數(shù)的值域為C．函數(shù)有最小值的充要條件為：D．是偶函數(shù)的充要條件是 三、填空題13．函數(shù)，的值域為______.14．已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是______.15．如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，若，則萊洛三角形的面積（即陰影部分面積）為______. 四、解答題16．已知函數(shù)，則不等式在上的解集為______.17． (1)已知，求的值；(2)計算：.18．已知函數(shù)(，且)是指數(shù)函數(shù).(1)求k，b的值；(2)求解不等式.19．已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)當時，求的最小值以及取得最小值時x的值.20．自2020年1月以來，新冠肺炎疫情仍在世界許多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳播能力強，傳染速度更快的“德爾塔”、“拉姆達”、“奧密克戌”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松．2022年8月，奧密克戎BA．5．1．3變異毒株再次入侵海南，為了更清楚了解該變異毒株，某科研機構對該變異毒株在一特定環(huán)境下進行觀測，每隔單位時間T進行一次記錄，用x表示經過單位時間的個數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個，得到如下觀測數(shù)據：123456…y（萬個）…10…50…250… 若該變異毒株的數(shù)量y（單位：萬個）與經過個單位時間T的關系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．(1)判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；(2)求至少經過多少個單位時間該病毒的數(shù)量不少于十億個．（參考數(shù)據：，）21．設函數(shù)(且)是定義在上的奇函數(shù).（1）若，求使不等式對恒成立的實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)的圖像過點，函數(shù).若對于任意的，都有，求的最小值.22．已知函數(shù)（，且）滿足.(1)求a的值；(2)求證：在定義域內有且只有一個零點，且.
參考答案：1．D【分析】先根據指數(shù)函數(shù)性質得函數(shù)過點,再根據題意列不等式，解得結果.【詳解】指數(shù)函數(shù)過點,則函數(shù)過點,若圖像不經過第二象限,則,即,故選：D【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)圖象及其應用，考查數(shù)形結合思想方法，屬基礎題.2．B【分析】根據三角函數(shù)的最小正周期、單調性對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，對于函數(shù)，由得，所以不滿足“區(qū)間上單調遞減”，A選項錯誤.B選項，對于函數(shù)，根據函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，符合題意，B選項正確.C選項，對于函數(shù)，其在區(qū)間上單調遞增，不符合題意，C選項錯誤.D選項，對于函數(shù)，最小正周期，不符合題意，D選項錯誤.故選：B3．C【分析】求得，結合對數(shù)運算求得正確答案.【詳解】由得或，解得或，不妨設，所以.故選：C4．D【分析】利用冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性即可得解.【詳解】因為，，，又因為在上單調遞增，所以，即，因為，所以，又因為在上單調遞增，所以，即，綜上：.故選：D.5．C【分析】對于A，令，，，即可判斷；對于B，令，，，即可判斷；對于C，假設函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內，得到與矛盾的結論，即可判斷；對于D，假設函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內，則會得與矛盾的結論，即可判斷.【詳解】對于A，由，，令，，，則可得函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內，故正確；對于B，由，，令，，，則可得函數(shù)的兩個零點可以分別在區(qū)間和內，故正確；對于C，由，且函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內，則必有，，與矛盾，故錯誤；對于D，如果函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內，又因為，則必有，，進而有，與矛盾，所以函數(shù)的兩個零點不可能同時在區(qū)間內，故正確.故選：C.6．D【分析】通過解三角方程求得的坐標，從而求得的面積.【詳解】依題意，，則由，得，，.，，解得，所以或（不妨設），所以，所以，線段中點坐標為，所以.故選：D7．D【詳解】取x=0，f(0)=cosα+cos2α，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，，只有D選項符合奇函數(shù)的性質．故選：D.8．B【分析】將在區(qū)間內關于x的方程解的個數(shù)，轉化為的交點個數(shù)，根據已知條件可得函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且周期為4，畫出在區(qū)間的函數(shù)圖像，數(shù)形結合即可求出交點個數(shù).【詳解】解：已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則，， 又，則即，可知函數(shù)的周期為4，值域為，求在區(qū)間內關于x的方程解的個數(shù)，即為求的交點個數(shù)，令，有，，由以上分析，畫出函數(shù)和在區(qū)間的大致圖像，如下圖所示，可得在區(qū)間有一個交點，區(qū)間有一個交點，以此類推，所以在區(qū)間有個交點，在區(qū)間內，，與函數(shù)無交點，所以在區(qū)間內關于x的方程解的個數(shù)為1010，故選：B.9．AB【分析】由題意可得，根據同解的平方關系可得，，于是有=，再分，去絕對值即可得答案.【詳解】解：因為，所以，即函數(shù)的定義域為：，所以，，所以==.故選：AB.10．ACD【分析】化簡的解析式，結合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】，所以在區(qū)間、上單調遞增；在區(qū)間上單調遞減.由于，，所以在區(qū)間上單調遞減.故選：ACD11．AD【分析】利用誘導公式化簡得，可求的值，根據奇函數(shù)的定義即可判斷是否為奇函數(shù)，構造齊次式方程，代入，即可求出的值，利用同角三角函數(shù)的平方關系，即可求出，再根據三角函數(shù)值的正負，即可求出結果.【詳解】解：，則，的定義域為R，，且， 為奇函數(shù)，A選項正確；，B選項錯誤；，C選項錯誤；若，則，即，，，而，，則，D選項正確；故選：AD.12．BCD【分析】結合對數(shù)函數(shù)的性質、充要條件、偶函數(shù)等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】當時，，由解得或，所以的定義域為或，A選項錯誤.由于的范圍是，所以的值域為，B選項正確.由于，所以函數(shù)有最小值，整理得，C選項正確.由于偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，若函數(shù)是偶函數(shù)，則；若，，定義域為，且，即為偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)的充要條件是，D選項正確.故選：BCD13．【分析】利用換元法，結合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的知識求得正確答案.【詳解】令，由于，所以.則，根據二次函數(shù)的性質可知，當時，；當時，，所以函數(shù)，的值域為.故答案為：14．【分析】利用復合函數(shù)的單調性，結合對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調性即可得解.【詳解】令，則開口向上，對稱軸為，因為在上單調遞減，所以在上只有一個單調區(qū)間，則在上單調遞增，故，即，又由對數(shù)函數(shù)的定義域可知在上恒成立，則，即，故，又因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞減，故，綜上：，即.故答案為：.15．【分析】圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積等于三塊扇形的面積相 加，再減去兩個等邊三角形的面積，分別求出即可.【詳解】解：過作于，是等邊三角形，，，，，，，扇形BAC的面積，萊洛三角形的面積為：，故答案為：.16．【分析】根據函數(shù)的奇偶性和單調性，列出不等式，解之即可.【詳解】因為的定義域為，定義域關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)在上單調遞增，且，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又因為不等式，也即，所以，則，因為，所以，故答案為：.17．(1)6(2)3 【分析】（1）根據指數(shù)與根式的互化，以及指數(shù)的運算法則，即可求值；（2）根據對數(shù)的運算和換底公式，即可求解.【詳解】（1）解：已知，即，，即，所以，則.（2）解：原式.18．(1)，(2)答案見解析 【分析】（1）根據指數(shù)函數(shù)的定義列出方程，即可得解；（2）分和兩種情況討論，結合指數(shù)函數(shù)的單調性即可得解.【詳解】（1）解：因為(，且)是指數(shù)函數(shù)，所以，，所以，；（2）解：由（1）得(，且)，①當時，在R上單調遞增，則由，可得，解得；②當時，在R上單調遞減，則由，可得，解得，綜上可知，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.19．(1)最小正周期為，單調遞增區(qū)間是，(2)最小值為，此時. 【分析】（1）利用三角函數(shù)最小正周期公式求得的最小正周期；利用整體代入法求得的單調遞增區(qū)間.（2）根據三角函數(shù)最值的求法求得在區(qū)間上的最小值以及此時對應的的值.【詳解】（1）依題意，，所以最小正周期；由，解得，，所以在區(qū)間，上單調遞增.（2），，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，由可求得此時.20．(1)函數(shù)更合適，解析式為(2)14 【分析】（1）將，和，分別代入兩種模型求解解析式，再根據的值，即可判斷；（2）設至少需要個單位時間，則，再結合對數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】（1）若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入，，不符合題意，若選，將，和，代入可得，，解得，故，將代入可得，符合題意，綜上所述，選擇函數(shù)更合適，解析式為.（2）設至少需要個單位時間，則，即，兩邊同時取對數(shù)可得，，則，∵，∴的最小值為14，故至少經過14個單位時間該病毒的數(shù)量不少于十億個．21．（1）；（2）最小值為.【解析】（1）根據是奇函數(shù)可求得，由可得，繼而判斷是增函數(shù)，將不等式化為，利用單調性可得對恒成立，即可求解；（2）由點求得，可判斷在上單調遞增，進而可得，求出的最大最小值即可.【詳解】解：（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，∴，∴，解得，則，此時，滿足題意，而等價于，若，則，結合且，解得，則為增函數(shù)，結合，可得，根據題意，對恒成立，則，解得；（2）∵函數(shù)的圖像過點，∴，解得(不符，舍去)或，∴，在上單調遞增，在上單調遞增，∵對于任意的，都有，且在區(qū)間上恒有，∴，則，，則，即的最小值為.【點睛】本題考查利用奇偶性解不等式，解題的關鍵是判斷出函數(shù)的單調性，利用奇函數(shù)的性質將不等式化為，利用單調性求解.22．(1)；(2)證明見解析. 【分析】（1）由題可得，即求；（2）分類討論結合對數(shù)函數(shù)的性質、正弦函數(shù)的性質及零點存在定理可得函數(shù)在定義域內有且只有一個零點，利用對數(shù)的運算可得，再利用對勾函數(shù)的性質即得.【詳解】（1）因為，所以，即，解得.（2）由題意可知函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.①當時，因為與在上單調遞增，所以在上單調遞增.又因為，所以.根據函數(shù)零點存在定理，存在，使得，所以在上有且只有一個零點.②當時，，所以，所以在上沒有零點.③當時，，所以，所以在上沒有零點.綜上所述，在定義域上有且只有一個零點.因為，即.所以，又因為在上單調遞減，所以，即.【點睛】關鍵點點睛：對分類討論時，①當時，函數(shù)與在上單調遞增，結合零點存在定理可得函數(shù)有且只有一個零點；②當時，函數(shù)沒有零點；③當時，函數(shù)沒有零點. 

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