絕密★啟用前高三數(shù)學考試注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1. 已知，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設出，得到，，從而列出方程，求出，，得到答案.【詳解】設復數(shù)，則，因為，所以，解得，因為，，所以，解得，故.故選：B2. 定義差集且，已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)差集的定義直接求解即可.【詳解】因為，，所以，所以．故選：B3. “”是“”（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式以及充分條件、必要條件的概念即可得結(jié)果.【詳解】若，則．若，則或．故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4. 已知某種裝水的瓶內(nèi)芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當瓶內(nèi)裝滿水并喝完一半，且瓶正立旋置時（如圖所示），水的高度約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，）A. 1.62dm B. 1.64dm C. 3.18dm D. 3.46dm【答案】B【解析】【分析】由題意可知當裝水的瓶正立放置時，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設上半部分小圓錐的底面半徑為r dm，則小圓錐的高為2r dm，然后列方程可求出，從而可求出結(jié)果.【詳解】因為瓶內(nèi)裝滿水并喝完一半，所以當裝水的瓶正立放置時，圓錐上半部分的體積占圓錐體積的一半，設上半部分小圓錐的底面半徑為r dm，則由題意可得小圓錐的高為2r dm，則，解得，即，．則剩余的水的高度為．故選：B5. 若函數(shù)在內(nèi)有2個零點，則a的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】直接解方程，然后根據(jù)解的要求列不等式得結(jié)論．【詳解】由，得或．依題意可得，且，所以，且．故選：D．6. 展開式中的系數(shù)為（    ）A.  B. 21 C.  D. 35【答案】A【解析】【分析】先將原式整理為，視為兩項的展開式，要含有的項，需要在中找即可【詳解】因為展開式的通項公式為，所以當時，含有的項，此時，故的系數(shù)為．故選：A7. 若，橢圓C：與橢圓D：的離心率分別為，，則（    ）A. 的最小值為 B. 的最小值為C. 的最大值為 D. 的最大值為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，求得兩個橢圓的離心率，然后利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，所以，，所以，當且僅當時，等號成立，故的最大值為，無最小值．故選：D8. 正三棱柱的底面邊長是4，側(cè)棱長是6，M，N分別為，的中點，若點P是三棱柱內(nèi)（含棱柱的表面）的動點，MP∥平面，則動點P的軌跡面積為（    ）A.  B. 5 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】取AB的中點Q，證明平面平面得動點P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點M）．然后計算△MQC的面積即可．【詳解】取AB的中點Q，連接MQ，CQ，MC，由M，N，Q分別為，，AB的中點可得，平面，平面，所以平面，同理得平面，，平面，則平面平面，所以動點P的軌跡為△MQC及其內(nèi)部（挖去點M）．在正三棱柱中，△ABC為等邊三角形，Q為AB的中點，則，平面平面，平面平面，則CQ⊥平面，平面，所以．因為，所以，因為側(cè)棱長是6，所以．所以，則△MQC的面積，故動點P的軌跡面積為．故選：C【點睛】結(jié)論點睛：本題考查空間點的軌跡問題，空間點的軌跡幾種常見情形：（1）平面內(nèi)到空間定點的距離等于定長，可結(jié)合球面得軌跡；（2）與定點的連線與某平面平行，利用平行平面得點的軌跡；（3）與定點的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點的軌跡；（4）與空間定點連線與某直線成等角，可結(jié)合圓錐側(cè)面得軌跡；二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9. 下列函數(shù)滿足的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)，有，逐項判斷.【詳解】解：因為，則當時，必有．若，則，則A錯誤．若，則，則B正確．若，則，則C錯誤．若，則，則D正確．故選：BD10. 已知圓C：，則（    ）A. 圓C與圓D：相交B. 直線與圓C可能相切C. 直線與圓C必相交D. 直線，各自被圓C所截得的弦長恰好相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直線與圓，圓與圓的位置關系判斷.【詳解】對于A，因為，所以圓C與圓D：相交，A正確．對于B，點C到直線的距離，則直線與圓C相離，B錯誤．對于C，，得，令，得，解得，，所以直線l過定點，易知在圓C的內(nèi)部，所以直線與圓C必相交，C正確．對于D，因為，所以點C到這兩條直線的距離相等，且這兩條直線與圓C相交，所以直線，各自被圓C所截得的弦長恰好相等，D正確．故選：ACD11. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象，若在內(nèi)恰有5個極值點，則的取值可能是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換得到，再根據(jù)因為在內(nèi)恰有5個極值點，由求解.【詳解】解：將的圖象向右平移個單位長度后，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到，設，由，得，因為在內(nèi)恰有5個極值點，所以，解得．故選：BCD12. 若，，，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)比較大小，構(gòu)造函數(shù)比較大小，利用三角函數(shù)定義有比較大小，從而得結(jié)論．【詳解】由，令，則，故為增函數(shù)．由，得．由，令，則，當時，，，設，則，則在上單調(diào)遞減，則，得在上單調(diào)遞減，所以，得，故．根據(jù)三角函數(shù)的定義可證，故，即．故選：ABD【點睛】關鍵點點點睛：本題考查實數(shù)大小比較，解題關鍵是根據(jù)數(shù)據(jù)的形式構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性后，由單調(diào)性得大小關系．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知向量，，若A，B，C三點共線，則____________．【答案】5【解析】【分析】由向量共線的坐標表示求解.【詳解】由A，B，C三點共線知，則，解得．故答案為：5．14. 若函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為____________．【答案】（或）【解析】【分析】求出導函數(shù)，由其為偶函數(shù)得值，然后計算出斜率，再計算出，由點斜式得直線方程并整理．【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，解得，則．又，故曲線在點處的切線方程為，即．故答案為：．15. 已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是____________．【答案】3【解析】【分析】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，由雙曲線定義得點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，數(shù)量積的運算律求解．【詳解】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，由雙曲線定義可知，點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，即點P的軌跡方程為．，由，可得．因為的最小值為，所以的最小值是3．故答案為：3.16. 設是數(shù)列的前n項和，，則____________；若不等式對任意恒成立，則正數(shù)k的最小值為____________． 【答案】    ①. ；    ②. .【解析】【分析】由與關系，推出為等差數(shù)列，即可求出，再由原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，，可證出為遞增數(shù)列，不等式轉(zhuǎn)化為，即可得解.【詳解】當時，，得．當時，，，兩式相減得，得，所以．又因為，所以是以6為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以，即．因為，所以，即．記，所以為遞增數(shù)列，．所以，解得，則正數(shù)k的最小值為．故答案為：，.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17. 在①，，②，，③，這三個條件中選一個合適的補充在下面的橫線上，使得問題可以解答，并寫出完整的解答過程．問題：在鈍角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，            ．（1）求△ABC的面積；（2）求△ABC外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．【答案】（1）選①③不合題意，選②面積為    （2）【解析】【分析】（1）先判斷選①③不合題意，若選②，利用余弦定理、平方關系以及三角形面積公式可得答案；（2）由正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，由三角形面積相等可得△ABC內(nèi)切圓的半徑.【小問1詳解】若選①，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選③，則，，，可得，則△ABC為銳角三角形，不合題意；若選②，因為，所以，故△ABC的面積．【小問2詳解】由（1）知選①③不合題意；若選②，設△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理得，所以．設△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由，得．18. 已知在等比數(shù)列中，，且,,成等差數(shù)列，數(shù)列滿足,，.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）;    （2）.【解析】【分析】（1）由已知條件求得等比數(shù)列的公比和首項，即可求得其通項公式；（2）求得的通項公式，結(jié)合（1）的結(jié)論可得，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式即可求得答案.【小問1詳解】因為,,成等差數(shù)列，所以 ,又因為在等比數(shù)列中，,所以，得的公比 ，所以 ,解得 ，故.【小問2詳解】由,，，得 ，則是等差數(shù)列，因為,所以，則 ，則 ．19. 故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂?shù)奈蓓敇邮?，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分別為AD，BC的中點．（1）證明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．（2）若二面角為，求CF與平面ABF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)結(jié)合已知條件可證得EF∥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可得EM⊥AD，FN⊥BC，再結(jié)合線面垂直的判定可證得BC⊥平面EFNM；（2）過點E作，垂足為H，作，垂足為K，以H為原點，以的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：因為EF∥底面ABCD，平面ABFE，平面底面，所以．因為，M，N分別為AD，BC中點，所以EM⊥AD，FN⊥BC，，因為∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以四邊形EFNM梯形，且EM與FN必相交于一點，又，所以，因為平面，故BC⊥平面．【小問2詳解】解：過點E作，垂足為H，由（1）知BC⊥平面，因為平面，所以平面平面，因為平面平面，平面，所以EH平面，由，，得為二面角的平面角，則．因為，所以．作，垂足為K．以H為原點，以的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，．設平面ABF的法向量為，則，令，得．因為，所以，故CF與平面ABF所成角的正弦值為．20. 某學校在50年校慶到來之際，舉行了一次趣味運動項目比賽，比賽由傳統(tǒng)運動項目和新增運動項目組成，每位參賽運動員共需要完成3個運動項目．對于每一個傳統(tǒng)運動項目，若沒有完成，得0分，若完成了，得30分．對于新增運動項目，若沒有完成，得0分，若只完成了1個，得40分，若完成了2個，得90分．最后得分越多者，獲得的資金越多．現(xiàn)有兩種參賽的方案供運動員選擇．方案一：只參加3個傳統(tǒng)運動項目．方案二：先參加1個傳統(tǒng)運動項目，再參加2個新增運動項目．已知甲、乙兩位運動員能完成每個傳統(tǒng)項目的概率為，能完成每個新增運動項目的概率均為，且甲、乙參加的每個運動項目是否能完成相互獨立．（1）若運動員甲選擇方案一，求甲得分不低于60分的概率．（2）若以最后得分的數(shù)學期望為依據(jù)，請問運動員乙應該選擇方案一還是方案二？說明你的理由．【答案】（1）    （2）運動員乙應該選擇方案一；理由見解析【解析】【分析】（1）甲得分不低于60分等價甲至少要完成2項傳統(tǒng)運動項目；（2）方案一服從二項分布從而可求數(shù)學期望，再由方案二得分的分布列求得數(shù)學期望，比較兩個期望的大小.【小問1詳解】運動員甲選擇方案一，若甲得分不低于60分，則甲至少要完成2項傳統(tǒng)運動項目，故甲得分不低于60分的概率．【小問2詳解】若乙選擇方案一，則乙完成的運動項目的個數(shù)，所以乙最后得分數(shù)學期望為．若乙選擇方案二，則乙得分Y的可能為取值為0，30，40，70，90，120，，，，，，．所以Y的數(shù)學期，因為，所以運動員乙應該選擇方案一．21. 已知拋物線，過點作直線與交于，兩點，當該直線垂直于軸時，的面積為2，其中為坐標原點.（1）求的方程.（2）若的一條弦經(jīng)過的焦點，且直線與直線平行，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）    （2）存在，【解析】【分析】（1）由的面積為2可得，求解即可；（2）設直線MN：，設直線ST：，分別代入，利用根與系數(shù)的關系以及弦長公式即可求解.【小問1詳解】當直線MN垂直于x軸時，直線MN的方程為，代入，得，因為的面積為2，所以，解得，故C的方程為．【小問2詳解】由題意可知，直線MN的斜率一定存在，設直線MN：，則，代入，得，設，，則，，，．設直線ST：，則，代入，得，設，，則，，，，故存在常數(shù)，使得恒成立．【點睛】關鍵點睛：第二問中，關鍵在于利用韋達定理結(jié)合弦長公式得出，，從而得出.22. 設為的導函數(shù)，若是定義域為D的增函數(shù)，則稱為D上的“凹函數(shù)”，已知函數(shù)為R上的凹函數(shù)．（1）求a的取值范圍；（2）設函數(shù)，證明：當時，，當時，．（3）證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析    （3）證明見解析【解析】【分析】(1)對函數(shù)求三次導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負和題干條件進行求解即可；(2)對函數(shù)兩次求導，判斷導數(shù)與零的大小關系，進而確定；(3)由（2）可知：，將不等式進行等價轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合（1）即可證明.【小問1詳解】解，設為的導函數(shù)，則．設，則．當時，；當時，．所以在上是減函數(shù)，在上增函數(shù)．所以．因為為R上的凹函數(shù)，所以，解得，故a的取值范圍是．【小問2詳解】證明，的導函數(shù)．若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，則，為增函數(shù)．又，所以當時，，當時，．【小問3詳解】證明：由（2）知，即，所以．由（1）知，，因為，所以，所以，故．

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