2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（文史類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。2.本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的體積公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面積，h表示棱柱的高．·球的體積公式.其中表示球的半徑.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（1）設(shè)集合，則（A）（B）（C）（D）（2）設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（3）有5支彩筆（除顏色外無(wú)差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（A）（B）（C）（D）（4）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為19，則輸出的值為（A）0 （B）1（C）2（D）3（5）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（為原點(diǎn)），則雙曲線的方程為（A）（B）（C）（D）（6）已知奇函數(shù)在上是增函數(shù).若，則的大小關(guān)系為（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)函數(shù)，其中.若且的最小正周期大于，則（A）（B）（C）（D）（8）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2．本卷共12小題，共110分。二. 填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.（9）已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為 .（10）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為 .（11）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 .（12）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，學(xué) 科&網(wǎng)準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若，則圓的方程為 .（13）若a，，，則的最小值為 .（14）在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，則的值為 .三. 解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．（15）（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.（16）（本小題滿分13分）電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)、廣告播放時(shí)長(zhǎng)、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）廣告播放時(shí)長(zhǎng)（分鐘）收視人次（萬(wàn)）甲70560乙60525已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍.分別用，學(xué)&科網(wǎng)表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù).（I）用，列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（II）問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.（18）（本小題滿分13分）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（19）（本小題滿分14分）設(shè)，.已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知函數(shù)和的圖象在公共點(diǎn)（x0，y0）處有相同的切線，（i）求證：在處的導(dǎo)數(shù)等于0；（ii）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立，求b的取值范圍.（20）（本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.（I）求橢圓的離心率；（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.（i）求直線的斜率；（ii）求橢圓的方程. 
2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）答案（1）B   （2）B    （3）C    （4）C  （5）D   （6）C    （7）A    （8）A（9）?2        （10）1    （11）（12）   （13）4    （14）（15）（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.16.（Ⅰ）解：由已知，滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分：（Ⅱ）解：設(shè)總收視人次為萬(wàn)，則目標(biāo)函數(shù)為.考慮，將它變形為，這是斜率為，隨變化的一族平行直線.為直線在軸上的截距，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值最大.又因?yàn)?/span>滿足約束條件，所以由圖2可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最大，即最大.解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為.所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多.（17）本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.滿分13分.（Ⅰ）解：如圖，由已知AD//BC，學(xué)|科網(wǎng)故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)?/span>AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)?/span>BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因?yàn)?/span>PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC­–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.18.（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)?/span>，解得.所以，.由，可得.由，可得，聯(lián)立①②，解得，由此可得.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，，上述兩式相減，得.得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.19.【解析】（I）由，可得，令，解得，或.由，得.當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（II）（i）因?yàn)?/span>，由題意知，所以，解得.所以，在處的導(dǎo)數(shù)等于0.（ii）因?yàn)?/span>，，由，可得.又因?yàn)?/span>，，故為的極大值點(diǎn)，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立，從而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得（舍去），或.因?yàn)?/span>，，，故的值域?yàn)?/span>.所以，的取值范圍是.  （20）（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因?yàn)?/span>，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，即，與直線FP的方程聯(lián)立，可解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直線FP的斜率為.（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.由（i）得直線FP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去，整理得，解得（舍去），學(xué).科網(wǎng)或.因此可得點(diǎn)，進(jìn)而可得，所以.由已知，線段的長(zhǎng)即為與這兩條平行直線間的距離，故直線和都垂直于直線.因?yàn)?/span>，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.所以，橢圓的方程為. 

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