?2022-2023學年湖北省黃石市陽新縣兩校聯考八年級（上）期中數學試卷
一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（　　）
A．3，3，6 B．6，7，8 C．5，6，11 D．9，9，19
3．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（　?。?br /> A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
4．（3分）打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（　?。?br />
A．帶①②去 B．帶②③去 C．帶③④去 D．帶②④去
5．（3分）一個多邊形的內角和等于它的外角和，則它的內角和等于（　?。?br /> A．360° B．540° C．720° D．1080°
6．（3分）能判定△ABC≌△A′B′C′的條件是（　?。?br /> A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′
7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列結論不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C
8．（3分）若等腰三角形的周長為26cm，一邊為6cm，則腰長為（　?。?br /> A．10cm B．6cm C．10cm 或6cm D．以上都不對
9．（3分）如圖，在△ABC中，已知點D，E，F分別為邊BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝16cm2，則S陰影等于（　?。?br />
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
10．（3分）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，AM的延長線交BC于點N，連接DM，下列結論：①DF＝DN；②△DMN為等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正確結論有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共8小題，共28分，11-14題每題3分，15-18題每題4分）
11．（3分）點A（1，﹣3）關于x軸的對稱點B的坐標是 　 ?。?br /> 12．（3分）如圖，點D在△ABC的BC邊延長線上，∠A＝55°，∠B＝60°，則∠ACD的大小是 　 ?。?br />
13．（3分）一個正多邊形的每個外角都是72°，則這個正多邊形的對角線有　 　條．
14．（3分）等腰三角形的一個角是70°，則它的頂角是 　 　．
15．（4分）如圖，△ABC中，D在BC邊上，E在AC邊上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為 　 　．

16．（4分）在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是　 ?。?br /> 17．（4分）如圖，BD是∠ABC的角平分線，AD⊥BD，垂足為D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，則∠BAD＝　 　．

18．（4分）如圖所示，圖①是邊長為1的等邊三角形紙板，周長記為C1，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的等邊三角形，得到圖②，周長記為C2，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的），得圖③④…，圖n的周長記為?n，若n≥3，則Cn+1﹣?n＝　 　．
三、解答題（本大題共7小題，共62分）
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A﹣20°，求∠A的度數．
20．（8分）如圖，點C，E，F，B在同一直線上，點A，D在BC異側，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求證：AB＝CD．

21．（8分）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A（﹣2，2），點B（﹣3，﹣1），點C（﹣1，1）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．
（2）求出△A1B1C1的面積．

22．（8分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關系．

23．（8分）（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE；
（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

24．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代數式表示PC的長度：PC＝　 ?。?br /> （2）若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（3）若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

25．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線AB交y軸于A點，交x軸于B點，A（0，6），B（6，0），點D是線段BO上一點，BN⊥AD的延長線于點N．
（1）如圖①，若OM∥BN交AD于點M，點O作OG⊥BN，交BN的延長線于點G，求證：AM＝BG．
（2）如圖②，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于點M，交AB于點Q，求的值．
（3）如圖③，若OC∥AB交BN的延長線于點C，請證明：∠CDN+2∠BDN＝180°．


2022-2023學年湖北省黃石市陽新縣兩校聯考八年級（上）期中數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，共30分）
1．（3分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（　?。?br /> A．3，3，6 B．6，7，8 C．5，6，11 D．9，9，19
【分析】根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項逐一分析即可．
【解答】解：根據三角形的三邊關系，得：
A、3+3＝6，不能組成三角形，故此選項不符合題意；
B、6+7＞8，能組成三角形，故此選項符合題意；
C、5+6＝11，不能組成三角形，故此選項不合題意；
D、9+9＜19，不能組成三角形，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點評】此題主要考查了三角形三邊關系，掌握判斷能否組成三角形的簡便方法是：較小的兩個數的和是否大于第三個數解題的關鍵．
3．（3分）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（　?。?br /> A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形
【分析】直接根據三角形具有穩(wěn)定性進行解答即可．
【解答】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，
∴A正確，B、C、D錯誤．
故選：A．
【點評】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性，熟知三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性是解答此題的關鍵．
4．（3分）打碎的一塊三角形玻璃如圖所示，現在要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是（　?。?br />
A．帶①②去 B．帶②③去 C．帶③④去 D．帶②④去
【分析】可以采用排除法進行分析從而確定最后的答案．
【解答】解：A、帶①②去，符合ASA判定，選項符合題意；
B、帶②③去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；
C、帶③④去，僅保留了原三角形的一個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；
D、帶②④去，僅保留了原三角形的兩個角和部分邊，不符合任何判定方法，選項不符合題意；
故選：A．
【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的靈活運用，要求對常用的幾種方法熟練掌握．
5．（3分）一個多邊形的內角和等于它的外角和，則它的內角和等于（　?。?br /> A．360° B．540° C．720° D．1080°
【分析】根據多邊形的內角和公式與多邊形的外角和為360°，得出答案即可．
【解答】解：∵任意多邊形外角和為360°，
∴它的內角和等于360°．
故選：A．
【點評】本題考查了多邊形的內角與外角，解題的關鍵是利用多邊形的內角和公式并熟悉多邊形的外角和為360°．
6．（3分）能判定△ABC≌△A′B′C′的條件是（　　）
A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′
【分析】根據全等三角形的判定：AAS，ASA，SSS，SAS依次排除A，B，C三個選項．
【解答】解：A、AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′滿足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
B、AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′滿足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
C、AC＝A′C′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′滿足SSA，不能判定△ABC≌△A′B′C′；
DAC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′符合SAS能判定△ABC≌△A′B′C′．
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定；熟記全等三角形的判定定理只有四種情況：AAS，ASA，SSS，SAS．做題時要根據已知條件結合判定方法逐個驗證．
7．（3分）如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列結論不成立的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠EBC＝∠2 C．∠BAC＝∠AFE D．∠AFE＝∠C
【分析】由AB＝AC，AD⊥BC可得AD平分∠BAC，判斷出∠1＝∠2，再根據AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，可知∠ADC＝∠BEC＝90°，可判斷出B與D正確．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
故A正確，不符合題意；
∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵∠C＝∠C，
∴∠EBC＝∠2，
故B正確，不符合題意；
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE＝∠1+∠ABF，
無法得到∠ABF＝∠2，
無法得到∠BAC＝∠AFE，
故C錯誤，符合題意；
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠2，
在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，
∴∠AFE＝∠C，
故D正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質，以及三角形內角和定理，屬于基礎題．
8．（3分）若等腰三角形的周長為26cm，一邊為6cm，則腰長為（　?。?br /> A．10cm B．6cm C．10cm 或6cm D．以上都不對
【分析】題中給出了周長和一邊長，而沒有指明這邊是否為腰長，則應該分兩種情況進行分析求解．
【解答】解：①當6cm為腰長時，則腰長為6cm，底邊＝26﹣6﹣6＝14cm，因為14＞6+6，所以不能構成三角形；
②當6cm為底邊時，則腰長＝（26﹣6）÷2＝10cm，因為6﹣6＜10＜6+6，所以能構成三角形；
故選：A．
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形三邊關系的綜合運用，關鍵是利用三角形三邊關系進行檢驗．
9．（3分）如圖，在△ABC中，已知點D，E，F分別為邊BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝16cm2，則S陰影等于（　?。?br />
A．8cm2 B．4cm2 C．2cm2 D．1cm2
【分析】根據三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．
【解答】解：∵點E是AD的中點，
∴S△DBE＝S△ABD，S△DCE＝S△ADC，
∴S△BCE＝S△ABC＝×16＝8（cm2），
∵點F是CE的中點，
∴S△BEF＝S△BCE＝×8＝4（cm2）．
故選：B．
【點評】本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底同高的三角形的面積相等．
10．（3分）如圖，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，AM的延長線交BC于點N，連接DM，下列結論：①DF＝DN；②△DMN為等腰三角形；③DM平分∠BMN；④AE＝EC；⑤AE＝NC，其中正確結論有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷①，證△ABF≌△CAN，推出CN＝AF＝AE，即可判斷⑤；根據A、B、D、M四點共圓求出∠ADM＝22.5°，即可判斷③，根據三角形外角性質求出∠DNM，求出∠MDN＝∠DNM，即可判斷②，根據BE是∠ABC的平分線，，所以AE＝，故④錯誤．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，
∴①正確；
在△AFB和△CNA中，
，
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
∴⑤正確；
∵∠ADB＝∠AMB＝90°，
∴A、B、D、M四點共圓，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴DM平分∠BMN，
∴③正確；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，
∴△DMN是等腰三角形，
∴②正確；
∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴，
∴AE＝，
∴④錯誤，
即正確的有4個，
故選：D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角性質，三角形內角和定理，直角三角形斜邊上中線性質的應用，能正確證明推出兩個三角形全等是解此題的關鍵，主要考查學生的推理能力．
二、填空題（本大題共8小題，共28分，11-14題每題3分，15-18題每題4分）
11．（3分）點A（1，﹣3）關于x軸的對稱點B的坐標是 ?。?，3）?。?br /> 【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質（橫坐標不變，縱坐標互為相反數）得出答案．
【解答】解：點A（1，﹣3）關于x軸的對稱點B的坐標是（1，3）．
故答案為：（1，3）．
【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．
12．（3分）如圖，點D在△ABC的BC邊延長線上，∠A＝55°，∠B＝60°，則∠ACD的大小是 　115°?。?br />
【分析】直接利用三角形外角的性質解答即可；
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A＝55°，∠B＝60°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝55°+60°＝115°，
故答案為：115°．
【點評】此題考查了三角形外角的性質，解題的關鍵是：熟記外角的性質即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內角的和．
13．（3分）一個正多邊形的每個外角都是72°，則這個正多邊形的對角線有　5　條．
【分析】因為是正多邊形，所以每個外角都相等，根據多邊形的外角和是360°，很容易確定邊數．正多邊形的邊數確定了，那么根據一個多邊形有條對角線，很容易算出有多少條．
【解答】解：∵每個外角都是72°，
∴360°÷72°＝5
∴，
∴這個正多邊形的對角線是5條，
故應填：5．
【點評】本題主要考查的是多邊的外角和，多邊形的對角線及正多邊形的概念和性質，任意多邊形的外角和都是360°，和邊數無關．正多邊形的每個外角都相等．任何多邊形的對角線條數為條．
14．（3分）等腰三角形的一個角是70°，則它的頂角是 　40°或70°?。?br /> 【分析】因為題中沒有指明該角是頂角還是底角，所以要分兩種情況進行分析．
【解答】解：①70°是底角，則頂角為：180°﹣70°×2＝40°；
②70°為頂角；
綜上所述，頂角的度數為40°或70°．
故答案為：40°或70°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．
15．（4分）如圖，△ABC中，D在BC邊上，E在AC邊上，且DE垂直平分AC．若△ABC的周長為21cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為 　4cm　．

【分析】根據線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，AE＝EC，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABC的周長為21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周長為13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm），
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm，
故答案為：4cm．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形的周長計算，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
16．（4分）在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是　9＜AB＜19?。?br /> 【分析】如圖，延長AD到E使DE＝AD，連接BE，通過證明△ACD≌△EBD就可以得出BE＝AC，在△AEB中，由三角形的三邊關系就可以得出結論．
【解答】解：延長AD到E使DE＝AD，連接BE，
∵D是BC的中點，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三邊關系為：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案為：9＜AB＜19．

【點評】本題考查了中線的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，三角形的三邊關系的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．
17．（4分）如圖，BD是∠ABC的角平分線，AD⊥BD，垂足為D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，則∠BAD＝　58°?。?br />
【分析】設∠ABD＝α，∠BAD＝β，利用三角形內角和定理即可求出列出方程求出α與β的值．
【解答】解：設∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分線，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴聯立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延長AD交BC于E，

∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEC＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案為：58°
【點評】本題考查三角形內角和，解題的關鍵是根據條件列出關于α與β的方程組，本題屬于中等題型．
18．（4分）如圖所示，圖①是邊長為1的等邊三角形紙板，周長記為C1，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的等邊三角形，得到圖②，周長記為C2，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的），得圖③④…，圖n的周長記為?n，若n≥3，則Cn+1﹣?n＝　　．
【分析】根據等邊三角形的性質（三邊相等）求出等邊三角形的周長C1，C2，C3，C4，…根據周長相減的結果能找到規(guī)律即可求出答案．
【解答】解：∵C1＝1+1+1＝3，
C2＝1+1+＝，
C3＝1+1+×3＝，
C4＝1+1+×2+×3＝，
…，
∴C3﹣C2＝﹣＝，

C4﹣C3＝﹣＝，
則Cn+1﹣?n＝，
故答案為：．
【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．
三、解答題（本大題共7小題，共62分）
19．（8分）已知：△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠A﹣20°，求∠A的度數．
【分析】設∠A＝x度，則∠B＝2x度，∠C＝x﹣20°，構建方程即可解決問題．
【解答】解：設∠A＝x度，則∠B＝2x度，∠C＝x﹣20°
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
∴x+2x+x﹣20＝180°
∴x＝50°
即∠A＝50°
【點評】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是學會構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
20．（8分）如圖，點C，E，F，B在同一直線上，點A，D在BC異側，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．求證：AB＝CD．

【分析】根據平行線的性質得出∠B＝∠C，再根據AAS證出△ABE≌△DCF，從而得出AB＝CD．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，用到的知識點是平行線的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是根據平行線的性質證出∠B＝∠C．
21．（8分）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點A（﹣2，2），點B（﹣3，﹣1），點C（﹣1，1）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標．
（2）求出△A1B1C1的面積．

【分析】（1）直接利用關于y軸對稱點的性質得出對應點位置進而得出答案；
（2）利用△A1B1C1所在矩形面積減去周圍三角形面積即可得出答案．
【解答】解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，點A1的坐標為：（2，2）；

（2）△A1B1C1的面積為：2×3﹣×1×1﹣×2×2﹣×1×3＝2．

【點評】此題主要考查了軸對稱變換以及三角形面積求法，正確得出對應點位置是解題關鍵．
22．（8分）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）直接寫出AB+AC與AE之間的等量關系．

【分析】（1）根據相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE＝DF，所以AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE＝CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，所以AE＝AF，故AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【解答】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE與△CDF均為直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
證明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED與△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
【點評】本題考查的是角平分線的性質及全等三角形的判定與性質，熟知角平分線的性質及其逆定理是解答此題的關鍵．
23．（8分）（1）如圖（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E．求證：DE＝BD+CE；
（2）如圖（2）將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結論DE＝BD+CE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

【分析】（1）根據BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，
則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）利用∠BDA＝∠BAC＝α，則∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，進而得出△ADB≌△CEA即可得出答案．
【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；得出∠CAE＝∠ABD是解題關鍵．
24．（10分）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點向A點運動，設運動時間為t（秒）（0≤t＜3）．
（1）用含t的代數式表示PC的長度：PC＝　6﹣2t　．
（2）若點P、Q的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（3）若點P、Q的運動速度不相等，當點Q的運動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

【分析】（1）直接根據時間和速度表示PC的長；
（2）根據SAS證明△CQP≌△BPD即可；
（3）因為點P、Q的運動速度不相等，所以PB≠CQ，那么PB只能與PC相等，則PB＝PC＝3，CQ＝BD＝4，得2t＝3，at＝4，解出即可．
【解答】解：（1）由題意得：PB＝2t，
則PC＝6﹣2t；
故答案為：6﹣2t；
（2，理由是：
當t＝a＝1時，PB＝CQ＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB＝8，
∵D是AB的中點，
∴BD＝AB＝4，
∴BD＝PC＝4，
在△CQP和△BPD中，
∵，
∴△CQP≌△BPD（SAS）；
（3）∵點P、Q的運動速度不相等，
∴PB≠CQ，
當△BPD與△CQP全等，且∠B＝∠C，
∴BP＝PC＝3，CQ＝BD＝4，
∵BP＝2t＝3，CQ＝at＝4，
∴t＝，
∴a＝4，
a＝，
∴當a＝時，能夠使△BPD與△CQP全等．
【點評】本題是三角形的動點運動問題，考查了全等三角形的判定，主要運用了路程＝速度×時間的公式，要求熟練運用全等三角形的判定和性質．
25．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線AB交y軸于A點，交x軸于B點，A（0，6），B（6，0），點D是線段BO上一點，BN⊥AD的延長線于點N．
（1）如圖①，若OM∥BN交AD于點M，點O作OG⊥BN，交BN的延長線于點G，求證：AM＝BG．
（2）如圖②，若∠ADO＝67.5°，OM∥BN交AD于點M，交AB于點Q，求的值．
（3）如圖③，若OC∥AB交BN的延長線于點C，請證明：∠CDN+2∠BDN＝180°．

【分析】（1）欲證明AM＝BG，只要證明△AOM≌△BOG即可；
（2）作BH⊥OQ交OQ的延長線于H．先證明△OAM≌△BOH，推出OM＝BH，AM＝OH，再證明△OMD≌△BHQ，推出DM＝QH，推出AD﹣OQ＝AM+DM﹣（OH﹣HQ）＝2DM．
（3）如圖③中，作OE平分∠AOB交AD于E．只要證明△AOE≌△OBC，推出OE＝OC，再證明△ODE≌△ODC，推出∠ODE＝∠ODC，由∠ODE＝∠BDN，可得∠ODC＝∠BDN，由此即可解決問題；
【解答】（1）證明：如圖①中，

∵BN⊥AN，OM∥BG，
∴OM⊥AN，
∴∠AMO＝∠ANB＝∠AOD＝90°，
∵∠ADO＝∠BDN，
∴∠OAD＝∠DBN，
∵A（0，6），B（6，0），
∴OA＝OB，
∵OG⊥BG，
∴∠OGB＝∠AOD＝90°，
∴△AOM≌△BOG，
∴AM＝BG．

（2）如圖②中，作BH⊥OQ交OQ的延長線于H．

∵∠ADO＝67.5°，
∴∠BOH＝∠OAM＝22.5°，
∵OA＝OB，∠AMO＝∠H＝90°，
∴△OAM≌△BOH，
∴OM＝BH，AM＝OH，
∵AN⊥OH，OH⊥BH，
∴∠ADO＝∠OBH＝67.5°，
∵∠OBA＝45°，
∴∠HBQ＝∠DOM＝22.5°，
∵∠OMD＝∠H＝90°，
∴△OMD≌△BHQ，
∴DM＝QH，
∴AD﹣OQ＝AM+DM﹣（OH﹣HQ）＝2DM，
∴＝＝．

（3）如圖③中，作OE平分∠AOB交AD于E．

∵OC∥AB，
∴∠COB＝∠ABO＝∠AOE＝45°，
∵OA＝OB，∠OAE＝∠OBC，
∴△AOE≌△OBC，
∴OE＝OC，
∵∠EOD＝∠DOC，OD＝OD，
∴△ODE≌△ODC，
∴∠ODE＝∠ODC，
∵∠ODE＝∠BDN，
∴∠ODC＝∠BDN，
∵∠CDN+∠ODC+∠BDN＝180°，
∴∠CDN+2∠BDN＝180°．
【點評】本題屬于三角形綜合題、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、平行線的性質等知識，解決問題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．

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