2021-2022學(xué)年河北省保定市涿州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共16小題，共48.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）一元二次方程的常數(shù)項是(    )A.  B.  C.  D. 都不對如圖所示圖形中是中心對稱圖形的是(    )A. 正三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 圓如圖，，則下列各式不能說明∽的是(    )A.
B.
C.
D.
 將拋物線平移，得到拋物線，下列平移方式中，正確的是(    )A. 先向左平移個單位，再向上平移個單位
B. 先向左平移個單位，再向下平移個單位
C. 先向右平移個單位，再向上平移個單位
D. 先向右平移個單位，再向下平移個單位如圖，在中，，分別與，相交于點，，若，，則：的值為(    )
 A.  B.  C.  D. 下列事件中，是隨機事件的是(    )A. 太陽從西邊升起
B. 中，與的和比大
C. 兩個負數(shù)相乘，積為正
D. 兩個數(shù)相加，和大于其中的一個加數(shù)如圖，在一塊寬為，長為的矩形空地上，修筑寬相等的兩條小路，兩條路分別與矩形的邊平行，如圖，若使剩余陰影部分的面積為，問小路的寬應(yīng)是多少？設(shè)小路的寬為，根據(jù)題意得(    )
 A.  B.
C.  D. 以上都不正確一個不透明的盒子中裝有個紅球，個白球和個黃球，它們除顏色外都相同，若從中任意摸出一個球，則下列敘述正確的是(    )A. 摸到紅球是必然事件 B. 摸到黃球是不可能事件
C. 摸到白球與摸到黃球的可能性相等 D. 摸到紅球比摸到黃球的可能性小如圖，已知的半徑為，則它的內(nèi)接正方形的邊長為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在平面直角坐標系中，點為函數(shù)圖象上任意一點，過點作軸于點，則的面積是(    )A.
B.
C.
D. 如圖，，是的切線，，是切點，若，則(    )
 A.  B.  C.  D. 下列關(guān)于二次函數(shù)的說法正確的是(    )A. 它的圖象經(jīng)過點 B. 它的圖象的對稱軸是直線
C. 當(dāng)時，隨的增大而減小 D. 當(dāng)時，有最大值為如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板測量樹的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，測得邊離地面的高度，，則樹高等于(    )
A.  B.  C.  D. 都不對在一個不透明的口袋中裝有個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近，則估計口袋中大約共有白球(    )A.  B.  C.  D. 都不對如圖，若與是位似圖形，則位似中心的坐標為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，和陰影三角形的頂點都在小正方形的頂點上，則與相似的陰影三角形為(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共3小題，共12.0分）二次函數(shù)的開口方向______，最小值是______．如圖，∽，和分別是和的高，若，，則與的周長之比為______與的面積之比為______．
已知一次函數(shù)和二次函數(shù)部分自變量與對應(yīng)的函數(shù)值如下表當(dāng)時，自變量的取值是______，當(dāng)時，自變量的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
對于實數(shù)、定義運算“”如下：，例如，如果有方程，請你求出這個方程的解．本小題分
如圖點在等邊三角形的邊上，將繞點旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，請完成下列問題：
畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；
判斷與的位置關(guān)系并說明理由．
本小題分
第屆冬奧會于年的月號至號在中國北京和張家口舉行，分為三個賽區(qū)，分別為北京賽區(qū)、延慶賽區(qū)和張家口賽區(qū)．為滿足大家的游覽需求，傾情打造了條各具特色的旅游路線，如表：北京歡迎你延慶媯水河張家口之約三地車覽之旅小明和小強都計劃去冬奧會游玩，她們各自在這條路線中任意選擇一條，每條線路被選擇的可能性相同．
求小明選擇路線“張家口之約”的概率是多少？
用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小強恰好選擇同一條路線的概率．本小題分
已知二次函數(shù)．
直接寫出拋物線與軸交點坐標______、______；與軸交點坐標______；頂點坐標為______；
在給出的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象；
當(dāng)時，的取值范圍是______．
本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，，點是矩形對角線的交點已知反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點，交于點，交于點．
求點的坐標和的值；
反比例函數(shù)圖象在點到點之間的部分包含，兩點記為圖形，求圖形上點的橫坐標的取值范圍．
本小題分
如圖，點、、都在上，過點作交延長線于點，連接，且，．
求證：是的切線．
求的半徑長．
求由弦、與弧所圍成的陰影部分的面積結(jié)果保留．
本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象分別交、軸于點、，拋物線經(jīng)過點、，點為第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．

寫出點、點的坐標；
求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
如圖，過點作軸，分別交直線、軸于點、，若以點、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程的常數(shù)項是．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的一般形式：為常數(shù)且，即可解答．
本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：選項A、、均不能找到這樣的一個點，使形繞某一點旋轉(zhuǎn)后原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項D能找到這樣的一個點，使形繞某一點旋轉(zhuǎn)后原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：．
把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．
本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 3.【答案】 【解析】解：和符合有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；
C、符合兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似；
D、對應(yīng)邊成比例但無法證明其夾角相等，故其不能推出兩三角形相似．
故選：．
根據(jù)，可知，因此只要再找一組角或一組對應(yīng)邊成比例即可．
此題考查了相似三角形的判定：
有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；
有兩組對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；
三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．找到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．
【解答】
解：的頂點坐標為，的頂點坐標為，
將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，可得到拋物線．
故選D．  5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了相似三角形的判定和相似三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解則可．
【解答】解：，
∽，
．
故選：．  6.【答案】 【解析】解：太陽從西邊升起，是不可能事件，因此選項A不符合題意；
B.中，與的和比大，是必然事件，因此選項B不符合題意；
C.兩個負數(shù)相乘，積為正，是必然事件，因此選項C不符合題意；
D.兩個數(shù)相加，和大于其中的一個加數(shù)，是隨機事件，因此選項D符合題意；
故選：．
根據(jù)必然事件、隨機事件、不可能事件的意義逐項進行判斷即可．
本題考查隨機事件，理解必然事件、隨機事件、不可能事件的意義是正確判斷的前提．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)小路的寬為米，根據(jù)題意，可列方程：，
故選：．
把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的部分是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程即可．
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是做本題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：摸到紅球是隨機事件，
選項A不符合題意；
 摸到黃球是隨機事件，
選項B不符合題意；
 白球和黃球的數(shù)量相同，
摸到白球與摸到黃球的可能性相等，
選項C符合題意；
 紅球比黃球多，
摸到紅球比摸到黃球的可能性大，
選項D不符合題意．
故選：．
根據(jù)可能性的大小，以及隨機事件的判斷方法，逐項判斷即可．
此題主要考查了可能性的大小，以及隨機事件的判斷，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件．
 9.【答案】 【解析】解：如圖所示：
的半徑為，四邊形是正方形，
，，
．
故選：．
利用正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出正方形的邊長．
此題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理；正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：依據(jù)比例系數(shù)的幾何意義可得，的面積，
即，
解得，，
由于函數(shù)圖象位于第三象限，
故．
根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可知，的面積，再根據(jù)圖象所在的象限即可求出的值
本題考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于本知識點是中考的重要考點，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．
 11.【答案】 【解析】解：連接，

，是的切線，，是切點，
，
，
，
，
，
故選：．
連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題主要考查的是切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是由、是的切線，可得．
 12.【答案】 【解析】解：、當(dāng)時，，故此選項錯誤；
B、它的圖象的對稱軸是直線，故此選項錯誤；
C、當(dāng)時，隨的增大而減小，故此選項正確；
D、當(dāng)時，有最小值為，故此選項錯誤；
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷．
此題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
即樹高．
故選：．
先判定和相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出的長，再加上即可得解．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，比較簡單，判定出和相似是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)白球個數(shù)為個，
摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在左右，
口袋中摸到紅色球的概率為，
，
解得：，
即袋中的白球大約有個；
故選：．
由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在附近得出口袋中得到紅色球的概率，進而求出白球個數(shù)即可．
此題主要考查了利用頻率估計概率，掌握大量反復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定值即概率是解題關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】【解答】
解：如圖所示：位似中心的坐標為．

故選：．
【分析】
此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
直接利用位似圖形的性質(zhì)得出位似中心即可．  16.【答案】 【解析】解：觀察圖象可知只有選項C含有角，且兩邊的比為：，
故選：．
根據(jù)：：：，，即可判斷．
本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
 17.【答案】向上   【解析】解：在中，
，
二次函數(shù)的圖象開口向上；
函數(shù)有最小值，
其頂點坐標為，
的最小值為．
故答案為：向上；．
由函數(shù)解析式可確定開口方向及對稱軸；由開口方向及頂點坐標可確定出其最值．
本題主要考查二次函數(shù)的圖象和最值問題，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為，頂點坐標為．
 18.【答案】：  ： 【解析】解：∽，和分別是和的高，，，
，
與的周長之比為：，與的面積的比，
故答案為：：，：．
根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比求出相似比，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方解答．
本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．
 19.【答案】或  或 【解析】解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，
當(dāng)時，自變量的取值是或，
直線與拋物線的交點為和，
而時，，
當(dāng)時，自變量的取值范圍是或．
故答案為：或；或．
利用表中數(shù)據(jù)得到時，自變量的取值以及直線與拋物線的交點為和，時，，從而得到當(dāng)時，自變量的取值范圍．
本題考查了二次函數(shù)與不等式：對于二次函數(shù)、、是常數(shù)，與不等式的關(guān)系，利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關(guān)系求自變量的取值范圍，可作圖利用交點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解．
 20.【答案】解：根據(jù)題意由方程得：，
整理得：，
解得：，或． 【解析】直接利用運算公式計算，進而得出答案．
此題主要考查了實數(shù)的運算，正確運用新定義計算是解題關(guān)鍵．
 21.【答案】解：如圖，為所作；

．
理由如下：
為等邊三角形，
，
繞點旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作，，從而得到點；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)平行線的判定方法可判斷．
本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．
 22.【答案】解：依題意可知，共條路線，每條線路被選擇的可能性相同，
小明選擇路線“張家口之約”的概率是；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中小明和小強恰好選擇同一條路線的結(jié)果有種，
小明和小強恰好選擇同一條路線的概率為． 【解析】直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中小明和小強恰好選擇同一條路線的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 23.【答案】         【解析】解：令，則，
解得：或，
拋物線與軸交點坐標為，，
令，則，
拋物線與軸交點坐標為，
，
拋物線的頂點坐標為．
故答案為：，；；；
在給出的平面直角坐標系中，畫出這個二次函數(shù)的圖象如下：

由圖象可知：當(dāng)時，拋物線上最高點為，最低點為，
此時函數(shù)的最大值為，最小值為，
的取值范圍是：，
故答案為：．
利用拋物線的解析式，令，解一元二次方程即可求得拋物線與軸的交點的橫坐標，令可求得拋物線與軸的交點的縱坐標，利用配方法即可得出拋物線的頂點坐標；
利用描點法過中各點即可畫出二次函數(shù)的圖象；
結(jié)合圖象，在時，找出對應(yīng)圖象上的最高點與最低點即可得出結(jié)論．
本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，配方法，拋物線與坐標軸的交點，利用數(shù)形結(jié)合法解得是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：點是矩形的對角線交點，
點是矩形的對角線的中點，
又，，
點的坐標為．
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
解得：；
由題意可得：點的縱坐標為，點的橫坐標為．
點在反比例函數(shù)的圖象上，
點的坐標為，
，
即圖形上點的橫坐標的取值范圍是． 【解析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，求得點、點的坐標是解題的關(guān)鍵．
先求得點的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
根據(jù)的縱坐標，即可求得的橫坐標，結(jié)合的橫坐標，即可得到圖形上點的橫坐標的取值范圍．
 25.【答案】證明：連接．
，
．
，
．
．
為切線．

解：，，
．
．
在中，，
．
．
即的半徑長為．

，
又，，
≌．
答：陰影部分的面積為． 【解析】連接，由角的等量關(guān)系可以證得，即能證得切線存在，
由得到，在中解得，
首先證明≌，陰影部分面積等于．
本題考查了切線的判定，扇形面積的計算和解直角三角形等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點即為半徑，再證垂直即可．
 26.【答案】解：令，得，則，
令，得，解得，則；

把，代入中，得：，
解得：，
拋物線的解析式為：；

軸，
，
，
以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形相似，存在兩種情況：
當(dāng)時，如圖，過作軸于，

設(shè)，則，
，
，
，
∽，
，
，
解得：舍，，
．
當(dāng)時，如圖，則和是對稱點，

當(dāng)時，，
舍，，
．
綜上，點的坐標是或； 【解析】利用待定系數(shù)法求解即可；
把，兩點的之比代入拋物線的解析式，解方程組可得結(jié)論；
分兩種情形：當(dāng)時，如圖，過作軸于，當(dāng)時，如圖，則和是對稱點，分別求解即可．
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
 

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