2021學(xué)年第一學(xué)期高三期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)數(shù)學(xué)試卷參考公式：球的表面積公式；球的體積公式，其中表示球的半徑．第Ⅰ卷（選擇題  共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知全集，集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再去求即可解決.【詳解】由，可得，即，則由，可得或，則或則，故故選：D2. 雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】求出的值，可得出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】在雙曲線中，，，則，因此，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.3. 若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）滿足，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則的值為（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，得到，即可求出的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，解得：，所以..故選：D4. “為銳角”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由求出的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若為銳角，則；若，則或，因?yàn)?/span>?或，因此，“為銳角”是“”的充分不必要條件.故選：A.5. 若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（    ）A. -6 B. -3 C.  D. -9【答案】B【解析】【分析】作出給定不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影區(qū)域，其中點(diǎn)，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，作直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最小，最大，所以.故選：B6. 函數(shù)的圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)排除選項(xiàng)C，D；再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值情況即可判斷作答.【詳解】由得，或，選項(xiàng)C，D不滿足；由求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取極大值，在處取極小值，B不滿足，A滿足.故選：A7. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為（    ）A. 25 B.  C.  D. 9【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知幾何體是底面是直角梯形的四棱錐，根據(jù)棱錐的體積公式用基本不等式求體積的最大值即可.【詳解】由三視圖將幾何體還原為底面是直角梯形的四棱錐，如下圖，設(shè)直角梯形的高為，則，由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)等號(hào)成立.所以幾何體的體積為.所以幾何體的體積的最大值為.故選：B.8. 已知，滿足，則的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由，得到，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.詳解】由，可得，因?yàn)?/span>，可得且，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.9. 已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（    ）A. 2 B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對(duì)稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②根據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).10. 已知數(shù)列滿足：，，則下列說法正確的是（    ）A. 數(shù)列為遞減數(shù)列 B. 存在，便得C. 存在，便得 D. 存在，便得【答案】D【解析】【分析】由已知等式變形可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，可判斷BC選項(xiàng)；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出、的范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，則，可得，由可得，則，則，設(shè)函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)?/span>，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，所以，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，A錯(cuò)，B錯(cuò)，C錯(cuò)；因?yàn)?/span>，則，，因此，存在，便得，D對(duì).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查與數(shù)列相關(guān)的單調(diào)性與范圍問題的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推公式構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的范圍是解題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷（非選擇題  共110分）二、填空題．本大題共7小題，多空題每小題6分，單空題每小題4分，共36分．11. 設(shè)，，則_____________，_____________．【答案】    ①. 2    ②. 5【解析】【分析】直接利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，故答案為：2，512. 在的展開式中，若，則含項(xiàng)的系數(shù)是____________；若常數(shù)項(xiàng)是24，則____________．【答案】    ①. -80    ②. 4【解析】【分析】（1）寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于1，即可求解答案;（2）寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于零，即可求解答案.【詳解】時(shí)，的展開式的通項(xiàng)公式為： ，其中 ，令 ，則 ，故 ，即含項(xiàng)的系數(shù)是 ；的展開式的通項(xiàng)公式為，其中，令，則 ，由常數(shù)項(xiàng)為24可得： ，解得n=4，故答案為：；413. 已知隨機(jī)變量的分布列如下：且，則實(shí)數(shù)____________，若隨機(jī)變量，則____________．234 【答案】    ①.     ②. ##【解析】【分析】由已知條件列方程組可求出的值，再利用方差公式求出，從而可求出【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故答案為：，14. 已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別在、上，，．動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足直線平面，則點(diǎn)在側(cè)面的軌跡的長(zhǎng)度為_____________，三棱錐的體積為_____________．【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】在棱、分別取點(diǎn)、使得，，連接，取的中點(diǎn)，連接、，證明出平面平面，可知點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，求出線段的長(zhǎng)，即為點(diǎn)在側(cè)面的軌跡的長(zhǎng)度，由等體積法可求得三棱錐的體積.【詳解】在棱、分別取點(diǎn)、使得，，連接，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)?/span>且，由題意可知且，所以，四邊形平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，同理可證四邊形、均為平行四邊形，則，因?yàn)?/span>平面，平面，故平面，，故平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，則平面，所以，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的軌跡為線段，且，又因?yàn)?/span>，故四邊形為矩形，則，，所以，.平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，.故答案為：；.15. 若，，則____________．【答案】##【解析】【分析】先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用半角公式求出，，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>所以，所以，，所以，所以，故答案為：16. 某地區(qū)突發(fā)新冠疫情，為抗擊疫情，某醫(yī)院急從甲、乙、丙等8名醫(yī)務(wù)工作者中選6人參加周一到周六的某社區(qū)核酸檢測(cè)任務(wù)，每天安排一人，每人只參加一天.現(xiàn)要求甲、乙、丙至少選兩人參加.考慮到實(shí)際情況.當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)，丙一定得排在甲乙之間，那么不同的安排數(shù)為________.（請(qǐng)算出具體數(shù)值）【答案】【解析】【分析】由排列組合中的分類計(jì)數(shù)原理，分類討論當(dāng)甲、乙、丙只有兩人參加時(shí)和當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)不同的安排數(shù)，再求解即可．【詳解】解：①甲、乙、丙中只選兩人，有種選法，再?gòu)挠嘞?/span>5人中任選4人有選法，將選取的6人安排到周一到周六有種，因此，共有不同安排種數(shù)為，②當(dāng)甲、乙、丙三人都參加時(shí)，因?yàn)楸欢ǖ门旁诩滓抑g，從余下5人中任選3人有選法，周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之間有種，另3天安排所選3人有種，那么不同的安排數(shù)為種，故不同的安排數(shù)為，故答案為：．17. 設(shè)向量，，，，點(diǎn)在內(nèi)，且向量與向量的夾角為，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】【分析】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，探求點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，再利用換元法借助三角恒等變換計(jì)算作答.【詳解】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因，則，而，解得，則，設(shè)，有，，因向量與向量夾角為，則，，，，整理得：，即，因此，，，令點(diǎn)，，令，則，于是得，又，即有，解得，當(dāng)時(shí)，，即，而，有，，矛盾，即，當(dāng)時(shí)，，即有，其中銳角滿足，則有，，，顯然存在滿足條件，則，因此，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定向量的模探求向量問題，可以建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示，利用代數(shù)運(yùn)算、三角變換等方法解決.三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18. 設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，且．（1）求角的大?。?/span>（2）若，求的面積．【答案】（1）.    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化得，即可求出；（2）利用向量法求出邊長(zhǎng)，代入面積公式即可求出.【小問1詳解】在中，因?yàn)?/span>，由正弦定理得：.因?yàn)?/span>，所以，所以可化.因?yàn)?/span>，所以，消去得：.當(dāng)時(shí)，不成立，所以，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】因?yàn)?/span>M為AC的中點(diǎn)，所以，所以，即.因?yàn)?/span>，，代入得：，解得：（舍去）.所以的面積為.19. 正三棱柱底邊長(zhǎng)為2，E，F分別為，AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明過程見解析    （2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)三棱柱為正三棱柱得到面面垂直，然后根據(jù)線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直；（2）作出輔助線，找到線面角，再利用余弦定理求出的值.【小問1詳解】因?yàn)槿庵?/span>為正三棱柱，故是等邊三角形且底面⊥側(cè)面，交線為，因?yàn)?/span>是中點(diǎn)，所以，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面；【小問2詳解】過點(diǎn)E作EG⊥于點(diǎn)G，因?yàn)槠矫?/span>平面，交線為，所以EG⊥平面，故即為與平面所成的角，所以，所以，設(shè)，由勾股定理得：，，，由余弦定理得：，解得：，故20. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和；（2）記，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證．【答案】（1），；    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)可求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得；（2）證明出，利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式相減可得，所以，，對(duì)任意的，，故且，故數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)和公差均為，故，所以，.【小問2詳解】證明：，因?yàn)?/span>，所以，，因此，.21. 已知拋物線：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是．（1）求拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓：（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)A，B，連接AB．探究：直線AB是否過一定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）    （2）過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）由題意可得，從而可得拋物線方程；（2）由直線與圓相切，可得，，從而可得是方程的兩個(gè)根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的方程可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，所以，所以拋物線方程為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則直線為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得，同理直線與圓相切，可得，所以可得是方程的兩個(gè)根，所以，代入化簡(jiǎn)得，，令，得，所以直線恒過定點(diǎn)22. 已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)性見解析；    （2）證明見解析.【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按a值的正負(fù)討論符號(hào)作答.(2)根據(jù)給定條件將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，分別證明不等式和都成立作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上遞增，在上遞減，則有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，令，求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，于是有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，因不等式與等號(hào)成立的條件不一致，則，所以成立.

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