浙江省浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】,,,,,,故選：B2. 已知雙曲線(xiàn)的離心率為，則其漸近線(xiàn)方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)離心率的值得到之間的關(guān)系，即可求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.【詳解】雙曲線(xiàn)中，，又即，則則其漸近線(xiàn)方程是故選：A3. 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，（其中為虛數(shù)單位）則的值為（    ）A. 1 B.  C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)相等解得復(fù)數(shù)，再去求復(fù)數(shù)的模即可解決.【詳解】令則由，可得，解之得故，故選：B4. 已知“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃的幾何意義，分別作出和表示的平面區(qū)域，即可判斷出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)所在的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的正方形區(qū)域（包括邊界） ，設(shè)滿(mǎn)足，則點(diǎn)所在的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的圓面區(qū)域，由此可知成立，不一定成立；成立時(shí)，一定有成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.5. 某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（    ）A. 12 B. 6 C. 4 D. 2【答案】C【解析】【分析】由三視圖可知，該幾何體是底面為矩形的四棱錐，從而可求出其體積【詳解】由三視圖可知，該幾何體是底面為長(zhǎng)為3，寬為2的矩形，高為2的四棱錐，如圖所示，所以該幾何體的體積為，故選：C6. 已知成等差數(shù)列，也成等差數(shù)列，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】以x、y分別表示等差數(shù)列與等差數(shù)列的公差，即可解決.【詳解】等差數(shù)列中，公差，等差數(shù)列中，公差，故故選：D7. 函數(shù)的圖象大致是（    ）A.  B. C  D. 【答案】B【解析】分析】先計(jì)算，再計(jì)算，比較其大小即可選擇.【詳解】，排除AC，，，所以，排除D故選：B.8. 已知等邊，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，將沿著翻折至點(diǎn)處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線(xiàn)與平面所成角為，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】在圖中分別找到二面角的平面角，二面角的平面角，直線(xiàn)與平面所成角線(xiàn)面角，然后進(jìn)行大小比較即可解決.【詳解】在等邊中，取BC邊中點(diǎn)D，連接AD，交EF于O，連接PO，則，，平面，平面故平面，又平面，則平面平面在中，過(guò)P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF，在等邊中，過(guò)M做MN垂直于AC于N，連接PN.由，則為二面角的平面角即，由平面，，則為二面角的平面角即由平面，則直線(xiàn)與平面所成角，即，設(shè)，則，，，，，則有，由可得，則有，則又故，又故故選：A9. 已知甲盒子中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球，乙盒子中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，同時(shí)從甲，乙兩個(gè)盒子中取出i個(gè)球進(jìn)行交換，交換后，分別記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況分別去求數(shù)學(xué)期望，再進(jìn)行比較即可解決.【詳解】交換后，記甲、乙兩個(gè)盒中紅球個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，,則，則.選項(xiàng)AB均判斷錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則， .即.則選項(xiàng)C判斷正確；選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤.故選：C10. 如圖，函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作其切線(xiàn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作其切線(xiàn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作其切線(xiàn)，交于點(diǎn)，則的取值（    ）A. 與有關(guān)，且存在最大值 B. 與有關(guān)，且存在最小值C. 與有關(guān)，但無(wú)最值 D. 與無(wú)關(guān)，為定值【答案】D【解析】【分析】先證明一個(gè)結(jié)論：函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，.過(guò)點(diǎn)作其切線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則；利用該結(jié)論即可求出的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而求出直線(xiàn)與的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與的方程，即可求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】先證函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，.過(guò)點(diǎn)作其切線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于另兩個(gè)點(diǎn) ，則.證明:設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，聯(lián)立得: ，得方程 則方程必有一根，于方程可改寫(xiě)為，其中，當(dāng)與相切于點(diǎn)時(shí)，方程有重根，韋達(dá)定理知；當(dāng)與相交于點(diǎn)時(shí)，方程有另兩個(gè)根，韋達(dá)定理知.故.由于函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，連結(jié)，交于另一點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性，則，由上述結(jié)論，則，所以；設(shè)，連結(jié)交于另一點(diǎn)由對(duì)稱(chēng)性，則，由上述結(jié)論，則，所以.于是直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，聯(lián)立得: ，解得，所以，故的取值與無(wú)關(guān)，為定值.故選：D.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分11. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《田畝比類(lèi)乘除捷法》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“給銀八百六十四兩，只云所得銀之兩數(shù)比總分人數(shù)，其銀多十二兩.問(wèn)總是幾人，每人各得幾兩”，其意思是：“現(xiàn)一共有銀子八百六十四兩，只知道每個(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，則一共有____________人，每個(gè)人分得____________兩銀子”.【答案】    ①. 36    ②. 24【解析】【分析】設(shè)共有人，則每人分得兩銀子，由條件可得，解出即可.【詳解】設(shè)共有人，則每人分得兩銀子，因?yàn)槊總€(gè)人分到的銀子數(shù)目的兩倍比總?cè)藬?shù)多十二，所以，即，解得或（舍去）所以一共有36人，每人分得24兩銀子故答案為：36；2412. 已知展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)和為1，則實(shí)數(shù)的值為____________，的系數(shù)為____________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】令，則由題意可得，從而可求出實(shí)數(shù)的值，展開(kāi)式中的系數(shù)加上1即可得展開(kāi)式的系數(shù)【詳解】因?yàn)?/span>展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)和為1，所以，解得，則，所以其展開(kāi)式的的系數(shù)為，故答案為：，13. 已知函數(shù)，則____________；若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.【答案】    ①. 16    ②. 【解析】【分析】由分段函數(shù)表達(dá)式先求，再求，然后作出函數(shù)f（x）圖象，根據(jù)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，得到函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果．【詳解】∵  ，∴，∴，作函數(shù)的圖象可得 ∵  函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，∴  函數(shù)f（x）的圖象與直線(xiàn)有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象觀察可得，，∴  實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：；.14. 若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】【分析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，再去計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖：   由，解得，即.由，解得，即.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，取最大值當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，取最小值故的取值范圍為故答案為：15. 已知橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為____________.【答案】##【解析】【分析】以橢圓定義和橢圓的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合起來(lái)去求橢圓的離心率即可.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為,連接.在△中，，，則，由，，可知四邊形為平行四邊形，則，又則，故橢圓的離心率故答案為：16. 若函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，其中，且在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為____________，實(shí)數(shù)的最小值為____________.【答案】    ①. ##60°##    ②. ##15°##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)相同得到，進(jìn)而求出，分別求出與的零點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的零點(diǎn)，故兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同，故，則的零點(diǎn)為，，故，；將，，代入到中，得到，解得：，，則，，因?yàn)?/span>，解得：.令，解得：，則，，令，解得：，，因?yàn)?/span>在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：，17. 已知平面向量滿(mǎn)足，，向量滿(mǎn)足，當(dāng)與的夾角余弦值取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)的值為____________.【答案】【解析】【詳解】由得，又，則由，可知，即向量滿(mǎn)足，且?jiàn)A角為取，，，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)，則,，由可知，點(diǎn)在直線(xiàn)上.又與的夾角為要使得最大，則取圓過(guò)點(diǎn)、且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，此時(shí)取得最大，由切割線(xiàn)定理得，又，則有，，解之得故答案為：【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．三、解答題：本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.18. 已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，分別是角的對(duì)邊，，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足____________，求的面積.請(qǐng)從①；②為的中線(xiàn)，且；③為的角平分線(xiàn)，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線(xiàn)處并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1），    （2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再對(duì)正弦型三角函數(shù)求單調(diào)遞增區(qū)間即可；（2）由題干可知，.選①時(shí)，的面積由計(jì)算；選②③時(shí)的面積由計(jì)算.【小問(wèn)1詳解】，由，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問(wèn)2詳解】由，得，又中，，可知；若選①：由，可知，可化為，又，則，又中，故，所以，則，故；若選②：為的中線(xiàn)，且在中，，，則有，在中，，在中，，又，則則，又知，故；故；若選③：為的角平分線(xiàn)，且.由題意知，，即，整理得又在中，，，則有，故解之得，，故.19. 如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，為等邊三角形，.（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明線(xiàn)面垂直來(lái)證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】取為中點(diǎn)，連接、、，由于三角形和三角形是等邊三角形，所以，，由于，所以面，又面，所以.【小問(wèn)2詳解】，所以，所以.，.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，為中點(diǎn)，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)坐為面的一個(gè)法向量，則有，得，取，設(shè)與面所成角為，則有，所以與面所成角的正弦值.20. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）首先由與的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再以累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）以裂項(xiàng)相消法對(duì)求和，并求得其最小值即可解決.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列中，，由，得，時(shí)，，則則，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.則由，得，故.【小問(wèn)2詳解】由，可得，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí).故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21. 已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5.（1）求與的值；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率存在的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），為在軸上的投影，連接與分別交拋物線(xiàn)于，問(wèn)：直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1），    （2）過(guò)定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）由拋物線(xiàn)定義，即可求出，再將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程，即可求出的值；（2）設(shè)，，，，設(shè)直線(xiàn)方程為，將其代入拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理得到，同理可得，，由己知可得直線(xiàn)的方程為：，將和代入直線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)整理，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得：，，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程得：，；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，，，，直線(xiàn)的方程為.代入拋物線(xiàn)方程得：.得，由題得，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為，代入拋物線(xiàn)方程得：，∴，，又由己知可得直線(xiàn)的方程為：，整理得：，將和代入直線(xiàn)方程得：，代入上式可得：，即，得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).22. 設(shè)實(shí)數(shù)，且，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析    （2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）分和兩種情況去求的單調(diào)區(qū)間；（2）首先利用對(duì)數(shù)均值不等式把轉(zhuǎn)化不等式，再構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性去證明即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】（i）由（1）知，時(shí)，為極小值點(diǎn)，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得. 于是，得，即由在單調(diào)遞增，則由，可得此時(shí)，，，故，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).（ii）證明：由則，得，于是，設(shè)的極值點(diǎn)為，又由，于是，令，則即在上單調(diào)遞增，又，則在恒成立.由，可令，則，即，即故有：.則，所以， 欲證，只需證，只需證，又由，所以只需證，由，所以上述只需證，只需證，令，則即在上單調(diào)遞增.由，可知，所以上述不等式成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

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