精品解析：陜西省西安市碑林區(qū)西安鐵一中分校2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021－2022學(xué)年陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，則tanB的值為（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)正切的定義求出結(jié)果．
【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，
∴tanB=．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．
2. 下面幾何體的左視圖為（）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)圖示確定幾何體的左視圖即可得到答案．
【詳解】解：左視圖是一個(gè)矩形，矩形的內(nèi)部有一條橫向的虛線．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的畫法；用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖分別是從物體正面，左面，上面看得到的平面圖形；注意實(shí)際存在又沒有被其他棱所擋，在所在方向看不到的棱應(yīng)用虛線表示．
3. 在一個(gè)不透明的盒子中裝有紅球、白球、黑球共40個(gè)，這些球除顏色外無其他差別，在看不見球的條件下，隨機(jī)從盒子中摸出一個(gè)球記錄顏色后放回．經(jīng)過多次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）
A. 12 B. 15 C. 18 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)x，則盒子中球的總個(gè)數(shù)x，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在30%左右，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可得出摸到紅球的概率為30%，再根據(jù)概率的計(jì)算公式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)盒子中紅球的個(gè)數(shù)x，根據(jù)題意，得：

解得x=12，
所以盒子中紅球的個(gè)數(shù)是12，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用頻率估計(jì)概率以及概率求法的運(yùn)用，利用概率的求法估計(jì)總體個(gè)數(shù)，利用如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=；頻率與概率的關(guān)系生：一般地，在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p，我們稱事件A發(fā)生的概率為p．
4. 三根等高的木桿豎直立在平地上，其俯視圖如圖所示，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽光下的影子合理的是（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三根等高木桿豎直立在平地上，在某一時(shí)刻三根木桿在太陽光下的影子應(yīng)該同方向、長度相等且平行，據(jù)此判斷即可．
【詳解】解：A．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應(yīng)該一致，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽光下的影子合理，故本選項(xiàng)正確；
C．在某一時(shí)刻三根等高木桿在太陽光下的影子的長度應(yīng)該相同，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．在某一時(shí)刻三根木桿在太陽光下的影子的方向應(yīng)該互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行投影，由平行光線形成投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為0.5，把△EFO縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（　　）
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣2，1）或（2，﹣1） D. （﹣8，4）或（8，﹣4）
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，得到點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的是OE的中點(diǎn)或者是這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．
【詳解】解：∵相似比是0.5，
∴點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的是OE的中點(diǎn)，即，
或者是這個(gè)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的性質(zhì)．
6. 反比例函數(shù)y＝(k＞0)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)、(，)、(，)，若＜＜0＜，則，，的大小關(guān)系是( )
A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. ＜＜
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限及其增減性，再根據(jù)＜＜0＜即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)y＝中，k＞0，
∴此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于第一三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小．
∵＜＜0＜，
∴(，)、(，)在第三象限，(，)在第一象限，
∴＜＜0＜．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，橫縱坐標(biāo)同號(hào)；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限，橫縱坐標(biāo)異號(hào)．
7. 知圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點(diǎn)，連接AC、CD，CD與AB相交于點(diǎn)E，若=2，∠C＝20°，則∠AED的度數(shù)為（）

A. 50° B. 53° C. 55° D. 58°
【答案】C
【解析】
【分析】連接OD，OC，先利用圓周角定理求出∠AOD，從而求出∠DOB，再根據(jù)=2，求出∠BOC，進(jìn)而求出∠CAO，最后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：連接OD，OC，

∵∠ACD=20°，
∴∠AOD=2∠ACD=40°，
∴∠DOB=180°-∠AOD=140°，
∵=2，
∴∠BOD=2∠BOC，
∴∠BOC=70°，
∴∠CAO=∠BOC=35°，
∴∠AED=∠ACD+∠CAO=55°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系、三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8. 如表中列出的是二次函數(shù)y＝a＋bx＋c中x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各選項(xiàng)中，正確是（）
A. 這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下
B. 這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且都在y軸同側(cè)
C. 當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大
D. 方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解為＝0，＝1
【答案】D
【解析】
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，利用x=1時(shí)，y=-6＜-4，則可判斷拋物線的開口向上，所以與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且在y軸兩側(cè)，則可對(duì)A、B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；由于拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用y=a+bx+c與直線y=-2x-4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），（1，-6），則可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，-4），（3，-4），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，
而x=1時(shí)，y=-6＜-4，
∴拋物線的開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且在y軸兩側(cè)，所以A、B選項(xiàng)都不符合題意；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，
∴當(dāng)x＞時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，所以C選項(xiàng)不符合題意；
∵點(diǎn)（0，-4），（1，-6）在拋物線上，也在直線y=-2x-4上，
即y=a+bx+c與直線y=-2x-4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4），（1，-6），
∴方程a+bx+c=-2x-4的解為=0，=1，
即方程a+（b+2）x+c=-4的解為=0，=1，所以D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=a+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9. 把拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，平移后拋物線的表達(dá)式是 _____
【答案】
【解析】
【詳解】解：∵的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），把拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，3），
∴平移后拋物線的表達(dá)式為
故答案為：
10. 已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為，則它的內(nèi)角和為___________．
【答案】540°
【解析】
【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360°，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的邊數(shù)，n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°，把多邊形的邊數(shù)代入公式，就得到多邊形的內(nèi)角和；
【詳解】∵多邊形的邊數(shù)為：360°÷72°=5，
∴正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是：(5-2)·180°=540°，
故答案為：540°．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．
11. 若，則＝________．
【答案】##0.125
【解析】
【分析】用含b的式子表示a，再代入即把a(bǔ)換成含b的式子，最后約分即可．
【詳解】解法一：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
解法二：設(shè)，則，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的的基本性質(zhì)，會(huì)利用“設(shè)k法”求解更簡便，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．
12. 寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝________．

【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，
∴，
∴，
∵四邊形ABEF是正方形，
∴AB=AF=，
∴DF=AD-AF=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．
13. 反比例函數(shù)函數(shù)y＝的圖象與一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象交于兩點(diǎn)（a，a＋2），（﹣2a，a﹣4），則不等式＞mx＋n的解集為________．
【答案】x＜-4或0＜x＜2##0＜x＜2或x＜-4
【解析】
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k=xy得到k=a（a+2）=-2a（a-4），解得a=2，即可求得交點(diǎn)為（2，4）和（-4，-2），根據(jù)圖象即可求得不等式＞mx+n的解集．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+n的圖象交于兩點(diǎn)（a，a+2），（-2a，a-4），
∴k=a（a+2）=-2a（a-4），
解得a=2或a=0（舍去），
∴交點(diǎn)為（2，4）和（-4，-2），
∴交點(diǎn)在一、三象限，如圖，

∴不等式＞mx+n的解集為x＜-4或0＜x＜2，
故答案為：x＜-4或0＜x＜2．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)得出不等式的解集是關(guān)鍵．
14. 如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為邊AD、AB上的兩點(diǎn)，AE＝BF，連BE、CF交于點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，＝________．

【答案】##
【解析】
【分析】可以正方形的邊長為1，AE=BF=a，將本題轉(zhuǎn)化成求BF的長．利用SAS證明△ABE≌△BCF，從而得出，繼而得出，等面積法求出，再結(jié)合△HBC∽△BFC求出，最后利用關(guān)系式列出關(guān)于a的方程，從而解出a也就是．
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為1，AE=BF=a，
∴FC=．
在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠ABE=∠BCF，．
∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠BCF+∠EBC=90°，.
∴∠BHC=90°，即.BH⊥CF．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵∠HCB=∠BCF，∠CHB=∠CBF=90°，
∴△HBC∽△BFC，
∴，
∴，
∴ ．
∵，
∴，
∴，
解得a=或a=（舍去），
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等面積法，三角形的面積求法，解題技巧是設(shè)正方形的邊長為1，從而將求比例問題轉(zhuǎn)化成求線段長簡化運(yùn)算，靈活運(yùn)用等面積法和三角形面積公式是解題關(guān)鍵．
三、解答題（共78分）
15. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】先計(jì)算銳角三角函數(shù)，再化簡絕對(duì)值和二次根式，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．
【詳解】解：

．
【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)，化簡絕對(duì)值以及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握30度、45度、60度角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
16. 解方程：．
【答案】=-3，=-1.5．
【解析】
【分析】方程移項(xiàng)后分解因式，利用因式分解法求出解即可．
【詳解】解：方程移項(xiàng)得：，
分解因式得：（x+3）[2（x+3）-3]=0，
整理得：（x+3）（2x+3）=0，
所以x+3=0或2x+3=0，
解得：=-3，=-1.5．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
17. 如圖，點(diǎn)C為以AB為直徑的圓外一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作一條直線l，使得直線過點(diǎn)C，且將圓的周長分成相等的兩部分（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析
【解析】
【分析】先作AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)，然后連接OC得到直線l．
【詳解】解：如圖，直線l為所作．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
18. 如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，連接BF、BE，若∠DFB+∠BEC=180°，求證：BF=BE．

【答案】見解析
【解析】
【分析】由“AAS”可證△ABF≌△CBE，可得BF=BE．
【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵∠DFB+∠BEC=180°，∠DFB+∠AFB=180°，
∴∠AFB=∠CEB，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
19. 已知關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x＋9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩根x1，x2滿足x1＋x2＝12，請(qǐng)求出方程的兩根．
【答案】（1）且；
（2），．
【解析】
【分析】（1）直接利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到：且△，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，當(dāng)時(shí)，原方程變形為，然后利用配方法求解方程．
【小問1詳解】
解：由題意得，，
即，
解得：，
又，
且；
【小問2詳解】
解：根據(jù)題意得，
解得，
當(dāng)時(shí)，原方程變形為，
，
，
所以，．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與△有如下關(guān)系，當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
20. 國家的“雙減”政策要求教師注重作業(yè)的設(shè)計(jì)與布置，為了更好落實(shí)國家的“雙減”政策，某學(xué)校七年級(jí)為學(xué)生設(shè)計(jì)了豐富多彩的寒假實(shí)踐作業(yè)，作業(yè)由兩類7項(xiàng)組成，供學(xué)生自主選擇完成．A類：創(chuàng)作微視頻，內(nèi)容可從以下四方面選擇：：一道（類）題的解法研究，：讀數(shù)學(xué)類書籍的心得分享；：魔術(shù)與數(shù)學(xué)；：某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究．B類：創(chuàng)作手抄報(bào)，內(nèi)容可以從以下3個(gè)方面選擇：：繪制七年級(jí)上章節(jié)思維導(dǎo)圖；：數(shù)學(xué)家的故事；：數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展史．
同學(xué)們可以從以上7項(xiàng)作業(yè)中任選一項(xiàng)或兩項(xiàng)來完成，請(qǐng)回答下列問題：
（1）小明準(zhǔn)備隨機(jī)選擇一項(xiàng)去完成，則他選擇：魔術(shù)與數(shù)學(xué)的概率為；
（2）小麗準(zhǔn)備從A、B兩類中分別隨機(jī)選擇一項(xiàng)完成，求小麗最終選擇完成和兩項(xiàng)作業(yè)的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)概率公式直接求解即可；
（2）根據(jù)樹狀圖法求概率即可．
【小問1詳解】
解：寒假實(shí)踐作業(yè)兩類共7項(xiàng)，
他選擇：魔術(shù)與數(shù)學(xué)的概率為，
故答案為：．
【小問2詳解】
畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中最終選擇完成和兩項(xiàng)作業(yè)的結(jié)果有1種，
∴選擇完成和兩項(xiàng)作業(yè)的概率為．
【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式求概率，樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21. 滑雪是冬天人們最喜愛的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目之一，如圖為一個(gè)滑雪場(chǎng)雪道的截面圖，雪道由AB和BC兩段組成，AB的坡角∠A＝17°，BC的坡角∠CBE＝25°，A、C兩點(diǎn)間的水平距離AD＝2000米，鉛直距離CD＝800米，求AB兩點(diǎn)間的鉛直距離BH．（參考數(shù)據(jù)：sin25°≈0.4，tan25°≈0.5，sin17°≈0.3，tan17°≈0.3）

【答案】AB兩點(diǎn)間鉛直距離BH約為300米．
【解析】
【分析】根據(jù)正切的定義用x表示出AH，進(jìn)而求出BE，再根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．
【詳解】解：設(shè)BH=x米，
由題意得：四邊形BHDE為矩形，
∴DE=BH=x米，BE=DH，
∴CE=（800-x）米，
在Rt△BAH中，tan∠BAH=，
∴AH=（米），
∴BE=DH=（2000-x）米，
在Rt△CBE中，tan∠CBE=，
∴，
解得：x=300，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原方程的解，
答：AB兩點(diǎn)間的鉛直距離BH約為300米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
22. 李大爺每年春節(jié)期間都會(huì)購進(jìn)一批新年紅包銷售，根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，這種紅包平均每天可銷售50袋，每袋盈利3元，若每袋降價(jià)0.5元，平均每天可多售出25袋，設(shè)每袋降x元，平均每天的利潤為y元．
（1）請(qǐng)求出y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若李大爺想讓每天的利潤最大化，應(yīng)該降價(jià)多少元銷售？最大利潤為多少元？
【答案】（1）y＝?50x2＋100x＋150
（2）應(yīng)該降價(jià)1元銷售，最大利潤為200元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將（1）中函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到x為何值時(shí)，y取得最大值．
【小問1詳解】
解：由題意可得，
y＝（3?x）（50＋×25）＝?50x2＋100x＋150，
即y與x的函數(shù)表達(dá)式是y＝?50x2＋100x＋150；
【小問2詳解】
由（1）知：y＝?50x2＋100x＋150＝?50（x?1）2＋200，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝200，
答：若李大爺想讓每天的利潤最大化，應(yīng)該降價(jià)1元銷售，最大利潤為200元．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
23. 如圖，矩形ABCD中，AB＝16，AD＝18，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，與AD交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，與BC相切于點(diǎn)H，ED＝2．

（1）求證：⊙O與CD相切；
（2）連接EF并延長，交CB的延長線于點(diǎn)M，求MB的長．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】（1）過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，連接HO并延長，交AD于點(diǎn)N，利用矩形的性質(zhì)和已知條件，先證四邊形ABHN，OGCH，OGDN都是矩形．利用垂徑定理求出，進(jìn)而求出，解求出⊙O的半徑為10，結(jié)合即可證明⊙O與CD相切；
（2）先證EF是⊙O的直徑，利用勾股定理求出AF，進(jìn)而求出BF，再證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出MB．
【小問1詳解】
證明：在矩形ABCD中，，，，
∵，
∴，
如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，連接HO并延長，交AD于點(diǎn)N，

∴，
∵ BC與⊙O相切，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形ABHN，OGCH，OGDN都是矩形．
∵ ，O為圓心，AE為⊙O的弦，
∴，
∴，，
∴．
在中，，，
根據(jù)勾股定理，得：，
即，
解得，
∴⊙O的半徑為10，
∵ ，OG是半徑，
∴⊙O與CD相切；
【小問2詳解】
解：∵⊙O的半徑為10，，，
∴EF是⊙O的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵ ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即MB的長為．
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查圓的切線、矩形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、圓周角定理的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等，有一定難度，能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn)逐步進(jìn)行推導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
24. 拋物線y＝x2＋mx＋n與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1，0），
（1）請(qǐng)求出m，n的值，并直接寫出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為x軸上方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn)，是否存在P，Q，使得△DPQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）m的值是-，n的值是-，A坐標(biāo)為（-1，0），B坐標(biāo)是（3，0）；
（2）P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（5，4）或（-3，4）．
【解析】
【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1，0）可得對(duì)稱軸為x=1，解得m的值，又拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-）代入即得n的值，可求得拋物線解析式，據(jù)此即可求解；
（2）由（1）知，A（-1，0），B（3，0），C（0，-），知AB=4，AC=2，BC=2，可得△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，要使△DPQ與△ABC相似，只需△DPQ是含30°角的直角三角形即可，分兩種情況：①當(dāng)∠PDQ=30°；②當(dāng)∠DPQ=30°時(shí)，據(jù)此求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，即=1，
∴m=-，
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-），
∴n=-，
∴拋物線解析式為，
令y=0得=0，
解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
答：m的值是-，n的值是-，A坐標(biāo)為（-1，0），B坐標(biāo)是（3，0）；
【小問2詳解】
解：存在P，Q，使得△DPQ與△ABC相似，理由如下：
由（1）知，A（-1，0），B（3，0），C（0，-），
∴AB=4，AC=2，BC=2，
∴，AC=AB，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC=30°，
要使△DPQ與△ABC相似，只需△DPQ是含30°角的直角三角形即可，
設(shè)P（m，），則PQ=，
①當(dāng)∠PDQ=30°，Q在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，如圖：

∵∠DQP=90°，∠PDQ=30°，
∴DQ=PQ，
∴m-1=，
解得m=或m=（舍去），
∴P（，）；
根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)∠PDQ=30°，Q在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，如圖：

同理：1-m=，
解得m=或m=（舍去），
∴P（，）；
②當(dāng)∠DPQ=30°時(shí)，如圖：

同理可得或，
解得m=0（舍去）或m=5或m=2（舍去）或m=-3，
∴P（5，4）或（-3，4），
綜上所述，P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（5，4）或（-3，4）．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、相似三角形的判定及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷△ABC是直角三角形，∠ABC=30°．
25. 問題提出

（1）如圖1，A、B為⊙O外的兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)凇袿上畫出所有使得AC＋BC的值最小的C點(diǎn)．
問題探究
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝4，求BC＋CD的值；
問題解決
（3）如圖3，某城市要修建一塊草坪，草坪由三條線段AB、BC、CD和圓弧AD周成，計(jì)劃在圓弧AD段用花來布置成標(biāo)志性造型，AB和CD段栽種觀賞性樹木，BC臨湖．已知點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，BE＝CE＝6，長為4，且上任意一點(diǎn)F，滿足∠BFE＝30°，為了降低成本，現(xiàn)計(jì)劃使得AB＋CD最小，求AB＋CD的最小值．
【答案】（1）見解析（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用兩點(diǎn)之間線段最短求解；
（2）利用AAS證明，推出，，進(jìn)而得出，再證四邊形ANCM是正方形，結(jié)合AC＝4，利用勾股定理求出正方形ANCM的邊長，即可求解；
（3）如圖（見解析）作輔助線，找出點(diǎn)F所在圓的圓心，證明，推出，進(jìn)而得出，從而將AB與CD轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的兩個(gè)邊，依靠三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解．
【小問1詳解】
解：如圖所示，連接AB，AB與⊙O的交點(diǎn)和為所求C點(diǎn)；
【小問2詳解】
解：如圖，作于點(diǎn)M，作交BC的延長線于點(diǎn)N，

則，
又∵，
∴四邊形ANCM是矩形，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵四邊形ANCM是矩形，，
∴四邊形ANCM是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：∵點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)的過程中，滿足，
∴點(diǎn)F可看作是在以BE為弦的圓上運(yùn)動(dòng)，為弦BE所對(duì)的圓周角，
∴弦BE所對(duì)的圓心角為：，
以BE為邊向上作等邊三角形BEO，可得點(diǎn)O為動(dòng)點(diǎn)F所在圓的圓心，圓O的半徑為6．
連接OA，OD，延長EO與圓O交于點(diǎn)G，連接GD．

∵長為4，半徑，
∴，
又由等邊三角形的性質(zhì)知，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)G，D，C三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，取最小值，最小值為GC．
連接GB，如下圖所示：

此時(shí)，G點(diǎn)與D點(diǎn)重合，A點(diǎn)與B點(diǎn)重合，
∵GE是直徑，
∴，
在中，，，
∴，
∴中，，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，屬于壓軸題，第三問難度很大，將轉(zhuǎn)化為，得出的最小值為GC是解題的關(guān)鍵．

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