2022-2023學年陜西省西安市碑林區(qū)西北工大附中九年級（上）期中數(shù)學試卷  一、選擇題（本題共8小題，共24分）如圖是一個拱形積木玩具，其主視圖是
(    )
A.  B.
C.  D. 已知關于的方程的一個根為，則實數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，是河堤橫斷面的迎水坡，坡高，水平距離，則斜坡的坡度(    )A.
B.
C.
D. 如圖，，、相交于點，，，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 如圖，已知菱形的兩條對角線與長分別是和，則這個菱形的面積是(    )
 A.  B.  C.  D. 在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把放大，則點的對應點的坐標是(    )A.  B. 或
C.  D. 或下列說法正確的個數(shù)有(    )
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
任意給定一個矩形，一定存在另一個矩形的周長和面積是已知矩形周長和面積的倍．A. 個 B. 個 C. 個 D. 個如圖，已知正方形，點為的中點，連接交于，則：的值為(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本題共5小題，共15分）若，則的值為______．兩張大小不一樣的視力表，相同視力對應的“”邊長分別為厘米、厘米，若較大視力表對應的測試距離為米，則較小視力表的測試距離應為______米．如圖，已知在中，點在上，，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為______．
 一個口袋中有個黑球和若干個白球，從口袋中隨機摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，不斷重復上述過程，共摸了次，其中有次摸到黑球，估計口袋中大約有______個白球．如圖，在中，，點在上，，，且，點為的中點，則的值為______．
三、解答題（本題共12小題，共81分）利用因式分解法解方程：．用公式法解方程：．計算：．如圖，在中，，請用尺規(guī)作圖法在上求作一點，使得∽．
如圖，已知在四邊形中，，點是的中點，連接交于點，且點是的中點，求證：四邊形是平行四邊形．
如圖，已知在中，，，，求的面積．
某種服裝，平均每天可以銷售件，每件贏利元，在每件降價幅度不超過元的情況下，若每件降價元，則每天可多售件，如果每天要贏利元，每件應降價多少元？為了調(diào)動同學們學習數(shù)學的積極性，班內(nèi)組織開展了“數(shù)學小先生”講題比賽，老師將四道備講題的題號，，，分別寫在完全相同的張卡片的正面，將卡片背面朝上洗勻，小明隨機抽取兩張卡片，用畫樹狀圖或列表的方法求兩張卡片上的數(shù)字是“”和“”的概率．小明和小華想用所學的知識測量小河對岸樹的高度，測量時，小明在河岸觀測樹在河面的倒影，并調(diào)整站立的位置，當小明站在點處時，樹倒影的頂端恰好被河岸邊緣點遮擋，此時，的長為米，小明觀測樹頂端的仰角為視線與水平線的夾角，已知小明的身高為米，請你根據(jù)以上信息，計算樹的高度．
如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，且，點在反比例函數(shù)的圖象上．
求反比例函數(shù)的表達式；
若直線交軸于點，求的面積．
如圖，已知在中，，，點、在上，連接、，且．
證明∽；
若，求的長．
小明同學在研究二次三項式時，對其進行了配方，思路為，從而他得出二次三項式的最大值為______．
如圖，在等邊中，點、分別在和上，，，且，求的長．
如圖，在中，，，，點、、、分別在、和上，且，，，設為，請用含有的式子表示四邊形的面積，并探究其有無最值？如果有，求出這個最值；如果沒有，請說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：從正面看得到的圖形是下面有一半圓的圖形．
故選：．
從正面觀察得到的圖形是主視圖．
本題考查了簡單組合體的三視圖的知識，從正面看所得到的圖形是主視圖．
 2.【答案】 【解析】解：關于的方程的一個根為，
設另一根為，
則，
解得，
所以，
解得．
故選：．
利用根與系數(shù)的關系，設另一根為，則，解出，兩根之和，解出的值．
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，若二次項系數(shù)不為，則常用以下關系：，是一元二次方程的兩根時，，．
 3.【答案】 【解析】解：坡高，水平距離，
，
斜坡的坡度為．
故選：．
根據(jù)坡度的定義直接得出答案即可．
本題考查了解直角三角形的應用--坡度坡角問題，理解坡度的概念是解題的關鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，
，，
∽，
，
即，
，
．
故選：．
利用平行線證明三角形相似，得到線段成比例求解．
本題考查平行線的性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)，能夠靈活利用平行線的性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)是解題的關鍵．
 5.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，，，
，
故選：．
直接由菱形面積公式列式計算即可．
本題考查菱形的性質(zhì)、解題的關鍵是熟記菱形的面積公式，屬于中考?？碱}型．
 6.【答案】 【解析】解：以原點為位似中心，相似比為，把放大，，
點的對應點的坐標為或，即點的坐標為或，
故選：．
根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．
本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．
 7.【答案】 【解析】解：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故正確；
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故正確；
對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故正確；
設給定一個矩形的邊長為、，另一個矩形的邊長為、，
令，，則，
對于關于的方程，
，
該方程有兩個實數(shù)根，且都為正根，故正確；
說法正確的個數(shù)有個，
故選：．
由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定以及一元二次方程的根的判別式分別對各個說法進行判斷即可．
本題考查了一元二次方程的應用、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定等知識，熟練掌握一元二次方程的根的判別式以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
 8.【答案】 【解析】解：四邊形為正方形，
，，，
∽，
，
點為的中點，
，
，
，，
：：，
故選：．
根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，證明∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案為：．
本題考查了比例的性質(zhì)，利用合比性質(zhì)是解題關鍵，合比性質(zhì)：．
 10.【答案】 【解析】解：如圖：

根據(jù)題意得米，厘米，厘米，
，
∽，
，即，
米，
即較小視力表的測試距離應為米．
故答案為：．
證明∽，然后利用相似比計算出即可．
本題考查了相似三角形的應用：常常構造“”型或“”型相似圖，利用三角形相似的性質(zhì)求相應線段的長．
 11.【答案】 【解析】解：過點作于點，如圖所示：

，
，
，，
，
，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
故答案為：．
過點作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可知是的中點，根據(jù)，，可得，進一步可得的面積，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求出的值．
本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．
 12.【答案】 【解析】解：設白球有個，根據(jù)題意得，，
解得，
即口袋中大約有個白球．
故答案為：．
設白球有個，然后根據(jù)概率的意義列出方程求解即可．
本題考查了利用頻率估計概率，理解概率的意義并列出方程是解題的關鍵．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
整理得，
解得舍去或，
，
點為的中點，
，
：：，
即：：，
．
故答案為：．
利用可求出，再計算出，然后根據(jù)三角形面積公式得到：：，從而可求出．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．
 14.【答案】解：，
，
則，
或，
解得，． 【解析】先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于的一元一次方程，再進一步求解即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
 15.【答案】解：，，，
，
，
． 【解析】找出方程中二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，由根的判別式大于，得到方程有解，將，及的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此題考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程時首先將方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，當時，代入求根公式來求解．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進而得出答案．
此題主要考查了實數(shù)運算和特殊的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．
 17.【答案】解：如圖點即為所求．
 【解析】作線段的垂直平分線交于點，連接，點即為所求．
本題考查作圖相似變換，理解題意，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．
 18.【答案】證明：，
，
點是的中點，
，
在和中，
，
≌，
，
點是的中點，
，
，
又，
四邊形是平行四邊形． 【解析】證≌，得，再證，即可得出結論．
本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關鍵．
 19.【答案】解：如圖，過點作于點，則，

，，
，，
，
設，
則，
，
，
，
，
解得，
，
． 【解析】過點作于點，則，解直角三角形求出，根據(jù)三角形的面積公式即可得的面積．
本題考查解直角三角形，學會添加常用輔助線構造直角三角形是解決本題的關鍵．
 20.【答案】解：設每件應降價元，則每件盈利元，每天可售出件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：每件應降價元． 【解析】設每件應降價元，則每件盈利元，每天可售出件，利用每天銷售該服裝獲得的利潤每件的利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
 21.【答案】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中兩張卡片上的數(shù)字是“”和“”的結果有種，
小明隨機抽取兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字是“”和“”的概率為． 【解析】畫樹狀圖，表示出所有等可能的結果數(shù)，以及兩張卡片上的數(shù)字是“”和“”的結果數(shù)，再結合概率公式即可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法是解答本題的關鍵．
 22.【答案】解：如圖，過作于點，
則四邊形是矩形，
，米，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
設米，則米，米，米，
，
∽，
，
即，
解得：，
米，
即樹的高度為米． 【解析】過作于點，則四邊形是矩形，得，米，再證，設米，則米，米，米，然后證∽，得，解得，即可解決問題．
本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
 23.【答案】解：過點作軸于，則，
∽，
，
一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，
，，
，
，
，
的橫坐標為，
把代入得，，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)為；
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
，
設直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
，
，
． 【解析】過點作軸于，則，通過證得∽，求得的橫坐標，代入一次函數(shù)解析式求得坐標，把點的坐標代入即可求得反比例函數(shù)的解析式；
通過反比例函數(shù)解析式求得點的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，即可求得點的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．
本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，三角形面積，求得交點坐標是解題的關鍵．
 24.【答案】證明：，，
，
，，
，
∽；
過點作于點，如圖，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
． 【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計算出，加上，則可判斷∽；
過點作于點，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再利用含度角的直角三角形三邊的關系求出，則，然后利用∽得到，從而利用比例的性質(zhì)可求出的長．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質(zhì)計算相應線段的長或表示線段之間的關系是解決問題的關鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
 25.【答案】 【解析】解：


，
故答案為：；
，
，
，
∽，
，即：，
解得：；
如圖：過作于點，過作于點，過作于點，

四邊形為矩形，
，
，
，
，
≌，
，，
四邊形為正方形，
，
設，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形的面積為三角形的面積于正方形的面積的和，
為：

，
所以四邊形的面積為，由最小值為．
先配方，再根據(jù)平方的非負性求解；
根據(jù)一線三等角，得到三角形相似，再根據(jù)相似的性質(zhì)求解；
通過作輔助線，把四邊形分割成幾個圖形的面積和，再求解．
本題考查了配方的應用，及幾何的綜合應用，是一道綜合性較強的題，輔助線是解題的關鍵．
 
 

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