第13講 萬(wàn)有引力與航天[解密考綱]考查解決天體問(wèn)題的兩條基本思路，衛(wèi)星各參量與半徑的關(guān)系、天體質(zhì)量和密度的計(jì)算、衛(wèi)星變軌問(wèn)題分析．1．(2019·湖南五市十校期末聯(lián)考)某行星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有a、b、c、d四個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，其中a為近日點(diǎn)，c為遠(yuǎn)日點(diǎn)，若行星運(yùn)動(dòng)周期為T，則該行星(　　)A．從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間B．從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間C．a到b的時(shí)間tab<D．c到d的時(shí)間tcd<C　解析 根據(jù)開(kāi)普勒第二定律知：在相等時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)著的行星的連線所掃過(guò)的面積都是相等的．據(jù)此行星運(yùn)行在近日點(diǎn)時(shí)，與太陽(yáng)連線距離短，故運(yùn)行速度大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)，太陽(yáng)與行星連線距離長(zhǎng)，故運(yùn)行速度小，即在行星運(yùn)動(dòng)中，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小，近日點(diǎn)的速度最大．圖中a點(diǎn)為近日點(diǎn)，所以速度最大，c點(diǎn)為遠(yuǎn)日點(diǎn)，所以速度最?。畡t從d經(jīng)a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從b經(jīng)c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從a到b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于從c到d的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，且a到b的時(shí)間tab<；c到d的時(shí)間tcd>，選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，C正確．2．(2019·晉城三模)(多選)探索火星的奧秘承載著人類征服宇宙的夢(mèng)想．假設(shè)人類某次利用飛船探測(cè)火星的過(guò)程中，飛船只在萬(wàn)有引力作用下貼著火星表面繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得其繞行速度為v，繞行一周所用時(shí)間為T，已知引力常量為G，則(　　)A．火星表面的重力加速度為B．火星的半徑為C．火星的密度為D．火星的質(zhì)量為BC　解析 飛船在火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑等于火星的半徑，根據(jù)v＝，得R＝，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝mR，得火星的質(zhì)量M＝，根據(jù)密度公式得火星的密度ρ＝＝＝，故選項(xiàng)C正確；根據(jù)M＝ρ·＝××3＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力得，mg＝G，得g＝G＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．3．(2019·衡水中學(xué)高三二調(diào))(多選)使物體成為衛(wèi)星的最小發(fā)射速度稱為第一宇宙速度v1，而使物體脫離星球引力所需要的最小發(fā)射速度稱為第二宇宙速度v2，v2與v1的關(guān)系是v2＝ v1，已知某星球半徑是地球半徑R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，地球的平均密度為ρ，不計(jì)其他星球的影響，則(　　)A．該星球上的第一宇宙速度為B．該星球上的第二宇宙速度為C．該星球的平均密度為D．該星球的質(zhì)量為BC　解析 該星球表面的重力加速度g′＝，由mg′＝可得星球第一宇宙速度v1＝＝，第二宇宙速度為v2＝v1＝，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；地球表面上物體的重力等于萬(wàn)有引力，即G＝mg，地球的質(zhì)量為M＝＝ρ·πR3，同理，星球的質(zhì)量為M′＝＝ρ′·πR′3，聯(lián)立解得 ρ′＝，M′＝，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．4．(2019·青島高三調(diào)研)行星A和B都可看作均勻球體，其質(zhì)量之比是2∶1，半徑之比是1∶2，則兩顆行星的第一宇宙速度之比為(　　)A．2∶1     B．1∶2     C．1∶1     D．4∶1A　解析 根據(jù)萬(wàn)有引力提向心力 G＝m，解得 v＝，則有＝＝＝，故選項(xiàng)A正確，B、C、D錯(cuò)誤．5．(2019·北京豐臺(tái)區(qū)高三一模)2018年2月12日，我國(guó)以“一箭雙星”方式成功發(fā)射“北斗三號(hào)工程”的兩顆組網(wǎng)衛(wèi)星．已知某北斗導(dǎo)航衛(wèi)星在離地高度為21 500千米的圓形軌道上運(yùn)行，地球同步衛(wèi)星離地的高度約為36 000千米．下列說(shuō)法正確的是(　　)A．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期大于24小時(shí)B．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度C．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的線速度小于地球同步衛(wèi)星的線速度D．此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的加速度小于地球同步衛(wèi)星的加速度B　解析 根據(jù)題意可知北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，所以根據(jù)公式G＝mr可得T＝2π，可知半徑越大，周期越大，所以北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的周期小于同步衛(wèi)星周期即北斗導(dǎo)航衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期小于24小時(shí)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)公式G＝mω2r可得ω＝，軌道半徑越大，角速度越小，所以北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的角速度大于地球同步衛(wèi)星的角速度，選項(xiàng)B正確；根據(jù)公式G＝m可得v＝，可知軌道半徑越大，線速度越小，所以北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的線速度大于地球同步衛(wèi)星的線速度，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)公式G＝ma可得a＝，軌道半徑越大，向心加速度越小，故此北斗導(dǎo)航衛(wèi)星的加速度大于地球同步衛(wèi)星的加速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．6．(2019·洛陽(yáng)二模)已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，其半徑約為地球半徑的，自轉(zhuǎn)周期與地球相近，公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的兩倍．根據(jù)以上數(shù)據(jù)可推知(　　)A．火星表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的B．火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比約為C．火星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸約為地球橢圓軌道半長(zhǎng)軸的 倍D．在地面上發(fā)射航天器到火星，其發(fā)射速度至少達(dá)到地球的第三宇宙速度C　解析 根據(jù)星球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力，有mg＝G，得g＝G，火星表面與地球表面的重力加速度＝×＝×＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；第一宇宙速度即近地衛(wèi)星的速度，G＝m，得v＝，則火星、地球的第一宇宙速度之比＝＝＝，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有 ＝，得＝＝＝，故選項(xiàng)C正確；從地球上發(fā)射航天器到火星上去，發(fā)射速度應(yīng)小于第三宇宙速度，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．7．(2019·洛陽(yáng)新安一中高三熱身)觀察研究發(fā)現(xiàn)，“581C”行星是太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)的第一顆溫度和尺寸都與地球類似，可能適合生命居住的行星．它的直徑是地球直徑的1.5倍，表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍．若某一飛船繞“581C”行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑等于該行星的直徑，運(yùn)動(dòng)周期為T1.在地球表面附近繞地球沿圓軌道運(yùn)行的人造衛(wèi)星周期為T2，則最接近的值為(　　)A．0.58     B．0.87     C．1.1     D．2.4D　解析 飛船受萬(wàn)有引力提供向心力，故 mg＝m，解得T＝2π.設(shè)地球表面重力加速度為g，半徑為R，則地球表面附近繞地球沿圓軌道運(yùn)行的人造衛(wèi)星周期為 T2＝2π，某一飛船繞“581C”行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑等于該行星的直徑，運(yùn)動(dòng)周期為 T1＝2π，其中r＝3R，根據(jù)g＝，g′＝g0＝g，故T1＝2π，所以＝≈2.4，選項(xiàng)D正確．8．(2019·山西重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)(多選)在1802年，科學(xué)家威廉·歇爾首次提出了“雙星”這個(gè)名詞．現(xiàn)有由兩顆中子星A、B組成的雙星系統(tǒng)，可抽象為如圖所示繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型，已知A的軌道半徑小于B的軌道半徑，若A、B的總質(zhì)量為M，A、B間的距離為L，其運(yùn)動(dòng)周期為T，則　(　　)A．中子星B的線速度一定小于中子星A的線速度B．中子星B的質(zhì)量一定小于中子星A的質(zhì)量C．L一定，M越大，T越小D．M一定，L越大，T越小BC　解析 因雙星的角速度相等，故軌道半徑小的線速度小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬(wàn)有引力提供的，因此大小必然相等，由F＝mω2r可得各自的軌道半徑與其質(zhì)量成反比，即r∝，所以軌道半徑小的質(zhì)量大，選項(xiàng)B正確；對(duì)質(zhì)量為m1的星球，有G＝m12r1，對(duì)質(zhì)量為m2的星球有G＝m22r2，又因?yàn)?/span>r1＋r2＝L，m1＋m2＝M，解得 T＝2π，由此式可知，L一定，M越大，T越小，選項(xiàng)C正確；M一定，L越大，T越大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．9．(2019·浙江高考選考科目聯(lián)考)2018年7月22日美國(guó)在卡納維拉爾角空軍基地成功發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星Telstar 19 Vantage，定點(diǎn)在西經(jīng)63度赤道上空.2018年7月25日歐洲航天局在圭亞那太空中心成功發(fā)射了4顆伽利略導(dǎo)航衛(wèi)星(FOCFM-19、20、21、22)，這4顆伽利略導(dǎo)航衛(wèi)星質(zhì)量大小不等，運(yùn)行在離地面高度為23 616 km的中地球軌道．設(shè)所有衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．這4顆伽利略導(dǎo)航衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)所需的向心力大小相等B．FOCFM-19運(yùn)行時(shí)周期小于Telstar 19 Vantage的運(yùn)行周期C．Telstar 19 Vantage運(yùn)行時(shí)線速度可能大于地球第一宇宙速度D．FOCFM-19運(yùn)行時(shí)的向心加速度小于Telstar 19 Vantage的向心加速度B　解析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得 F＝G，這4顆伽利略導(dǎo)航衛(wèi)星的軌道半徑相等，但質(zhì)量大小不等，故這4顆伽利略導(dǎo)航衛(wèi)星的向心力大小不相等，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得G＝mr，解得 T＝2π，地球因步衛(wèi)星軌道半徑約為3.6萬(wàn)千米，因FOCFM-19運(yùn)行時(shí)軌道半徑小于地球同步軌道衛(wèi)星Telstar 19 Vantage的軌道半徑，故FOCFM-19運(yùn)行時(shí)周期小于Telstar 19 Vantage的運(yùn)行周期，故選項(xiàng)B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得G＝m，解得 v＝，因地球同步軌道衛(wèi)星Telstar 19 Vantage的軌道半徑大于地球半徑，故Telstar 19 Vantage運(yùn)行時(shí)線速度一定小于地球第一宇宙速度，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得 G＝ma，解得 a＝，因FOCFM-19運(yùn)行時(shí)軌道半徑小于地球同步軌道衛(wèi)星Telstar 19 Vantage的軌道半徑，故FOCFM-19的向心加速度大于Telstar 19 Vantage的向心加速度，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．10．(2019·江淮十校高三聯(lián)考)理論研究表明地球上的物體速度達(dá)到第二宇宙速度11.2 km/s時(shí)，物體就能脫離地球，又知第二宇宙速度是第一宇宙速度的倍．現(xiàn)有某探測(cè)器完成了對(duì)某未知星球的探測(cè)任務(wù)懸停在該星球表面．通過(guò)探測(cè)到的數(shù)據(jù)得到該星球的有關(guān)參量：(1)其密度基本與地球密度一致．(2)其半徑約為地球半徑的2倍．若不考慮該星球自轉(zhuǎn)的影響，欲使探測(cè)器脫離該星球，則探測(cè)器從該星球表面的起飛速度至少約為(　　)A．7.9 km/s   B．11.2 km/sC．15.8 km/s   D．22.4 km/sD　解析 根據(jù)G＝m，其中的M＝πR3ρ，解得v＝∝R，因R星＝2R地，可知星球的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的2倍，即7.9×2 km/s，則欲使探測(cè)器脫離該星球，則探測(cè)器從該星球表面的起飛速度至少約為 ×7.9×2 km/s＝22.4 km/s，故選項(xiàng)D正確．11．(2019·江南十校高三質(zhì)檢)“天琴計(jì)劃”是中山大學(xué)發(fā)起的探測(cè)研究引力波的科研計(jì)劃．據(jù)介紹，“天琴計(jì)劃”實(shí)驗(yàn)本身將由三顆全同衛(wèi)星(SC1，SC2，SC3)組成一個(gè)等邊三角形陣列，衛(wèi)星本身作高精度無(wú)拖曳控制以抑制太陽(yáng)風(fēng)、太陽(yáng)光壓等外部干擾，衛(wèi)星之間以激光精確測(cè)量由引力波造成的距離變化．如圖所示是天琴計(jì)劃示意圖．設(shè)同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道半徑為R，三個(gè)全同衛(wèi)星組成等邊三角形的邊長(zhǎng)約為4.4R.對(duì)于這三顆地球衛(wèi)星的認(rèn)識(shí)，正確的是(　　)A．全同衛(wèi)星平面一定與地球赤道平面重合B．全同衛(wèi)星軌道半徑大于月球軌道半徑C．全同衛(wèi)星周期約4天D．全同衛(wèi)星周期約9天C　解析 由題意知，全同衛(wèi)星處在一等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，如圖所示，三角形邊長(zhǎng)為4.4R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，衛(wèi)星的軌道半徑為r＝，可知軌道半徑小于月球軌道半徑，該衛(wèi)星不是同步衛(wèi)星，軌道不需在赤道正上方，故選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力 G＝mr，得T＝，又同步衛(wèi)星的周期為1天，可知該衛(wèi)星的周約為4天，故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．12．(2019·普寧七校聯(lián)合體高三考前沖刺考試)宇航員乘坐航天飛船，在距月球表面高度為H的圓軌道繞月運(yùn)行．經(jīng)過(guò)多次變軌最后登上月球．宇航員在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一個(gè)鉛球從高度為h處同時(shí)以速度v0做平拋運(yùn)動(dòng)，二者同時(shí)落到月球表面，測(cè)量其水平位移為x.已知引力常量為G，月球半徑為R，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A．月球的質(zhì)量M＝B．在月球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度大小v1＝C．月球的密度ρ＝ D．有一個(gè)衛(wèi)星繞月球表面運(yùn)行周期T＝C　解析 設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)落地時(shí)間為t，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，水平方向x＝v0t，豎直方向h＝g0t2，解得月球表面重力加速度為g0＝，在月球表面忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)有 G＝mg0，解得月球質(zhì)量M＝，選項(xiàng)A正確；在月球表面運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，由萬(wàn)有引力定律提供向心力得到G＝m′，解得v＝，選項(xiàng)B正確；根據(jù)密度公式可以得到ρ＝＝＝，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)公式可以得到衛(wèi)星繞月球表面運(yùn)行的周期T＝＝＝，選項(xiàng)D正確．13．(2019·河南七校摸底考試)2018年7月27日將發(fā)生火星沖日現(xiàn)象，那時(shí)火星、地球和太陽(yáng)幾乎排列成一線，地球位于太陽(yáng)與火星之間，已知地球和火星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的方向相同，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑約為地球的1.5倍，若將火星和地球的公轉(zhuǎn)軌跡近似看成圓，取＝2.45，則相鄰兩次火星沖日的時(shí)間間隔約為(　　)A．0.8年    B．1.6年    C．2.2年    D．3.2年C　解析 由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力得G＝mr，解得行星公轉(zhuǎn)周期T＝2π，則火星和地球的周期關(guān)系為 ＝＝＝，已知地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，則火星的公轉(zhuǎn)周期為年，相鄰兩次火星沖日的時(shí)間間隔設(shè)為t，則(ω地－ω火)·t＝2π，化解得－＝1，即－＝1，解得t＝2.2年，選項(xiàng)C正確．14．(2019·九江十校聯(lián)考)我國(guó)正在進(jìn)行的探月工程是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次重大科技活動(dòng)，在探月工程中飛行器成功變軌至關(guān)重要．如圖所示，假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，則(　　)A．飛行器在B點(diǎn)處點(diǎn)火后，速度增大B．由已知條件不能求出飛行器在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期C．只有萬(wàn)有引力作用情況下，飛行器在軌道Ⅱ上通過(guò)B點(diǎn)的加速度大于在軌道Ⅲ上通過(guò)B點(diǎn)的加速度D．飛行器在軌道Ⅲ上繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為2πD　解析 在橢圓軌道近月點(diǎn)變軌成為圓軌道，要實(shí)現(xiàn)變軌應(yīng)給飛行器點(diǎn)火減速，減小所需的向心力，故點(diǎn)火后速度減小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)飛行器在近月軌道Ⅲ繞月球運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T3，則mg0＝mR，解得T3＝2π，根據(jù)幾何關(guān)系可知，軌道Ⅱ的半長(zhǎng)軸a＝2.5R，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝k以及軌道Ⅲ的周期，可求出在軌道Ⅱ上的運(yùn)行周期，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，D正確；只有萬(wàn)有引力作用情況下，飛行器在軌道Ⅱ上通過(guò)B點(diǎn)的加速度與在軌道Ⅲ上通過(guò)B點(diǎn)的加速度相等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．      

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