2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星匯學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）的值等于(    )A.  B.  C.  D. 已知是二次函數(shù)圖象上的一個點，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在矩形中，，，若以點為圓心，以為半徑作，則下列各點在外的是(    )
 A. 點 B. 點 C. 點 D. 點如圖，在中，，，平分，則的度數(shù)是(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在中，，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，護林員在離樹的處測得樹頂的仰角為，已知護林員的眼睛離地面的距離為，則樹的高度為(    )A.
B.
C.
D.
 如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，則下列說法錯誤的是(    )
A.  B.
C. 當時， D. 當時，隨的增大而增大如圖，是的直徑，點，在上且位于兩側(cè)，，于點，若連接，、的面積分別記為、，則的值為(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）二次函數(shù)的頂點坐標是______．如圖，在中，，，，則______．
 拋物線與軸的交點坐標分別是，，則 ______ ．如圖，的弦與半徑交于點，，，則的度數(shù)為______
 用一根長為的鐵絲圍成一個矩形，那么這個矩形的面積可能是______寫出個可能的值即可二次函數(shù)圖象的頂點在軸上，則______．已知拋物線，當時，隨的增大而增大，的取值范圍是______．已知實數(shù)、、滿足，則實數(shù)的最大值為______． 三、解答題（本大題共11小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
計算：．本小題分若二次函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，求、的值． 本小題分
如圖，若二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點點在點的左側(cè)，與軸交于點．
求、兩點的坐標；
當時，函數(shù)值的取值范圍為______；直接寫出答案即可
若為二次函數(shù)圖象上一點，求的值．
本小題分
已知四邊形，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖保留作圖痕跡，不寫作法如圖，連接在邊上作出一個點使得．
 本小題分
如圖，是的直徑，點在上，垂足為點，分別交、于點、．
判斷的形狀．并說明理由；
延長交于點，連接，求證：．
本小題分
圖是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖是其工作示意圖，起重臂是可伸縮的，且起重臂可繞點在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為，轉(zhuǎn)動點距離地面的高度為．
當起重臂長度為，張角為時，求云梯消防車最高點距離地面的高度；
某日，一居民家突發(fā)險情，該居民家距離地面的高度為，請問該消防車能否實施有效救援？參考數(shù)據(jù)：
 本小題分
某演出團體準備在蘇州文化藝術(shù)中心大劇院舉辦迎新演出，該劇院有個座位，如果票價定為每張元，那么門票可以全部售出；如果票價每增加元，那么門票就減少張．
當門票收入為元，票價應(yīng)該定為多少元？
票價定為多少元時門票收入最高？
本小題分
如圖，在半徑為的中，，點是延長線上一點，點是上一點，交于，且；
連接，求證：；
若，求的長．
本小題分
如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動；同時，點從點出發(fā)沿以的速度向點移動．當點與點重合時兩點都停止移動，時間為．
如圖，若時，求時間的值：
如圖，連接，作，垂足為點，作的外接圓．
判斷點與的位置關(guān)系，并說明理由．
連接、，若的面積等于，求的值．
 本小題分
如圖，已知點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一點，該二次函數(shù)圖象與軸交于、兩點在點的左側(cè)，與軸交于點，連接．
線段的長為______用含的代數(shù)式表示；
當時，點與點關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸對稱，若平分，求點的坐標；
若是直角三角形，點是與的交點，則的最小值是多少？直接寫出答案即可．
本小題分
我們知道：直角三角形斜邊上中線于斜邊的一半．愛好數(shù)學(xué)研究的劍匯同學(xué)進一步思考：如圖，在中，，斜邊上除了中點外還有沒有一點，使得？如果存在，我們不妨紕將該線段稱為“劍匯線”
命題：任意一個直角三角形一定存在“劍匯線”，該命題是______命題．填“真”或“假”；
已知在中，，，存在“劍匯線”若．
當時，求的長；
隨著的變化，的長也變化，直接寫出的變化范圍．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
故選：．
根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接解答即可．
此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，是需要識記的內(nèi)容，要注意積累．
 2.【答案】 【解析】解：是二次函數(shù)圖象上的一個點，
，
，
故選：．
把點代入即可求得的值．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式是解題的關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：連接，
在矩形中，，，
，，
，
，，，
點在上，點在外，點在內(nèi)．
故選C．
本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，以及勾股定理．
根據(jù)勾股定理求出的長，進而得出點，，與的位置關(guān)系．
 4.【答案】 【解析】解：在中，，，平分，
，，
，
，
故選：．
根據(jù)在中，，，平分，可以得到和的度數(shù)，從而可以求得的度數(shù)．
本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和角平分性的性質(zhì)解答．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
．
故選：．
先根據(jù)圓周角定理得到，再利用三角形內(nèi)角和計算出，接著利用圓周角定理得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出的度數(shù)．
本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
 6.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
．
答：樹的高度為．
故選：．
利用的正切值可得的長度，加上即為樹的高度．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用，利用的正切值得到的長度是解決本題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)，
當時，，，
點的坐標為，點的坐標為，
，故選項A正確，
當時，，
，
點，，
，
，
，
即，故選項B正確，
當時，，當時，，故選項C錯誤，
當時，隨的增大而增大，故選項D正確，
故選：．
根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和函數(shù)圖象可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決．
本題考查拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
 8.【答案】 【解析】解：是的直徑，
，
在中，
，
設(shè)，，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
，
，
．
故選：．
先根據(jù)圓周角定理得到，則利用正切的定義得到，于是可設(shè)，，利用勾股定理表示出，接著證明∽，利用相似比得到，，然后根據(jù)三角形面積公式計算的值．
本題考查了圓周角定理的推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)．
 9.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)，
其頂點坐標為，
故答案為：．
根據(jù)頂點式的頂點坐標是，找出，即可得出答案．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了頂點式的對稱軸是直線，頂點坐標為．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
設(shè)，，
，
即，
解得，
．
故答案為：．
先根據(jù)正弦的定義得到，則設(shè)，，再利用勾股定理得到，所以，解得，然后計算即可．
本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正弦的定義是解決問題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：拋物線與軸的交點坐標分別是，，
、為方程的兩根，
，，
．
故答案為．
根據(jù)拋物線與軸的交點問題得到、為方程的兩根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后把通分后利用整體代入的方法計算即可．
本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．
 12.【答案】 【解析】解：，，
，，
，
，
，
，
的內(nèi)角和是，
，
解得：，
故答案為：．
由，，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，可得出與的關(guān)系，然后由三角形內(nèi)角和的求得答案．
此題考查了圓周角定理以及平行線的性質(zhì)．注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是關(guān)鍵．
 13.【答案】不大于的任意一個正實數(shù)均可 【解析】解：設(shè)矩形的一邊長是，則另一邊長是，
則矩形的面積：
，
的取值范圍為：；的取值范圍為
故答案為：不大于的任意一個正實數(shù)均可．
根據(jù)已知周長為，假設(shè)一邊長為，則另一邊長為，依據(jù)面積長寬，可以求出函數(shù)解析式，根據(jù)線段應(yīng)大于即可求得函數(shù)自變量的取值范圍，從而確定面積的取值范圍，從中選擇一個值即可．
考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的最值，難度不大．
 14.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的頂點縱坐標為：．
二次函數(shù)圖象的頂點在軸上，
．
解得．
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點在軸上，可知該函數(shù)頂點的縱坐標為，即，然后求解即可．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象頂點在軸上時，頂點的縱坐標都是．
 15.【答案】 【解析】解：，
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
當時，隨增大而增大，
當時，隨的增大而增大，
，
故答案為：．
由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，進而求解．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
當時，的值最大，
，
，
實數(shù)的最大值為，
故答案為：．
利用完全平方公式，進行計算即可解答．
本題考查了偶次方是非負性，配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進而計算得出答案．
此題主要考查了實數(shù)的運算，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：把，代入
得：，
解得． 【解析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上的點的坐標滿足其解析式．把、兩點坐標代入得到關(guān)于、的方程組，然后解方程組即可．
 19.【答案】 【解析】解：當時，，解得，，
，；

拋物線的對稱軸為直線，
，
當時，函數(shù)取得最大值，，
當時，函數(shù)取得最小值，，
函數(shù)值的取值范圍為：，
故答案為：；

把代入得，
解得，，
的值為或．
通過解方程得、的坐標；
當時，函數(shù)取得最大值，當時，函數(shù)取得最小值，進而求解；
把代入得，然后解關(guān)于的方程即可．
本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
 20.【答案】解：點為所作．
 【解析】作的外接圓交于，則根據(jù)圓周角定理得到．
本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓周角定理．
 21.【答案】解：是等腰三角形，
理由：是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
證明：設(shè)與交于點，

，
，
，
，，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，然后再利用垂直定義可得，再利用直角三角形的兩個銳角互余可得，最后根據(jù)已知易得，從而利用等角的余角相等可得，進而利用等角對等邊即可解答；
設(shè)與交于點，利用垂徑定理可得，從而可得，再根據(jù)已知和對頂角相等可得，從而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可解答．
本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖，作于點，
，
四邊形為矩形，
，，
，
在中，，
，
；
如圖，作于點，
，
四邊形為矩形，
，，
，
在中，，
，
；
最高救援高度為，
故該消防車能實施有效救援． 【解析】如圖，作于點，易得四邊形為矩形，則，，再計算出，則在中利用正弦可計算出，然后計算即可；
如圖，作于點，易得四邊形為矩形，則，，再計算出，則在中利用正弦可計算出，然后計算即可．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用：先將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，然后利用勾股定理和三角函數(shù)的定義進行幾何計算．
 23.【答案】解：設(shè)票價應(yīng)定為元，依題意有：
，
，
解得：．
答：票價應(yīng)定元．

，

，
即票價定為元時，門票收入最多，最多收入是元． 【解析】可設(shè)票價應(yīng)定為元，根據(jù)票價銷售的票數(shù)獲得門票收入，即可列出一元二次方程解題；
根據(jù)題意得出與的函數(shù)關(guān)系式，進而求出最值即可．
此題考查一元二次方程的實際運用，找出銷售問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：如圖：

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：過點作，垂足為，

，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
的長為． 【解析】根據(jù)垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得，，然后結(jié)合對頂角相等可得，從而利用等量代換即可解答；
過點作，垂足為，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，再在中，利用勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理求出，最后證明字模型相似三角形可得∽，從而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，，
，，
，
，
解得或；
以點為原點，所在是直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系，
過點作交于點，過點作交于點，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
是的外接圓，，
的中點為圓的圓心，
，，
，，
，
，
點在圓上；
，，，
，
的面積等于，
，
解得或舍． 【解析】根據(jù)題意得到，，再由，求出的值即可；
以點為原點，所在是直線為軸，所在的直線為軸建立直角坐標系，過點作交于點，過點作交于點，利用等積法求出的長，再由直角三角形的三角函數(shù)值求出，求出圓的圓心及的長，得到，即可判斷出點在圓上；
由，求出的值即可．
本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，等積法求三角形的高，割補法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】 【解析】解：令，則，
，，
，
故答案為：；
當時，，
拋物線的對稱軸為直線，
令，則，
，
點與點關(guān)于二次函數(shù)圖象對稱軸對稱，
，
令，則，
解得或，
，，
，
，
過點作軸交于點，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
點關(guān)于的對稱點，
，
平分，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
聯(lián)立方程組，
解得舍或，
；
令，則，
，
令，則，
解得或，
，，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
，
過點作軸交于點，過點作軸交于點，
設(shè)，
，，
，，
，
，
當最大時，有最小值，
，
當時，有最大值，
的最小值是．
利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可；
先求出，可得，再由和是等腰直角三角形，確定點的坐標，利用點的坐標求出點關(guān)于的對稱點的坐標，直線與拋物線的交點即為點；
過點作軸交于點，過點作軸交于點，設(shè)，則，，由，，當最大時，有最小值，再由，當時，有最大值，即可求的最小值是．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
 27.【答案】假 【解析】解：是假命題．比如等腰直角三角形不存在“劍匯線”．
故答案為：假；

如圖中，過點作于點．

，，
，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
或負根舍去，
．

如圖中，當點與重合時，的值最小，此時是等邊三角形，

，
，
．
如圖中，當點與重合時，的值最大，此時是等邊三角形，

，
綜上所述，．
是假命題，舉反例說明即可；
設(shè)，根據(jù)，構(gòu)建方程求解即可；
求出兩種特殊位置的最大值與最小值，可得結(jié)論．
本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會尋找特殊位置解決問題，屬于中考?？碱}型．
 

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