2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（二）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則下列選項正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】可確定在上集合和集合的關(guān)系，然后結(jié)合角的周期性得結(jié)論．【詳解】在范圍，集合含有，集合含有，由角的周期性變化可知：，故選：B.2．是的（    ）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】解得或，故選：.3．若，則的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)借助0、1比較大小．【詳解】，又，，故選：A.4．已知函數(shù)的圖像如圖所示，則的解析式可能為（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除A，根據(jù)時的函數(shù)值的正負可排除B，利用定義域可排除C，進而即得.【詳解】由題可得函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，定義域為，對于A，，函數(shù)關(guān)于軸對稱，故A錯誤；對于B，當時，，所以B錯誤；對于C，因為的定義域為，故C錯誤.故選：D.5．如圖，在平面直角坐標系中，已知，點在第一象限內(nèi)，（為坐標原點），將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第23次旋轉(zhuǎn)后，點的坐標為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】B點每轉(zhuǎn)6次回到原來的位置，即6次為一個周期， ，即可計算出B點的坐標.【詳解】如圖所示，在等腰三角形中，，可得，由題意，點B的坐標6次一個循環(huán)，即以6為周期，與重合，有 ；故選：C.6．已知函數(shù)（其中）的部分圖像如圖所示，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則的解析式可能為（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】由最大值得，由求得，再由是最小值及周期求得，得函數(shù)解析式，再根據(jù)圖像變換求得．【詳解】由圖可知，，又，所以，，，，又最小正周期，所以，又，所以，，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，得解析式，再向右平移個單位，得，故選：C.7．今年8月，重慶市民踴躍報名參加抗旱?救火?防疫等三項救災(zāi)防疫協(xié)調(diào)工作.現(xiàn)從8名自愿者中，選派5人擔(dān)任協(xié)調(diào)任務(wù)，要求抗旱?救火?防疫都有自愿者參加.不同的選法共有（    ）種.A．2520 B．4200 C．5040 D．8400【答案】D【分析】第一步選5人，第二步把這5人分成三組，最后再安排到三個任務(wù)中，由乘法原理計算，其中第二步分組時注意分類．【詳解】8人中選5人，分三組的分組分配問題：，故選：D.8．已知函數(shù)，若過點可以作出三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點坐標為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，由直線過得關(guān)于的方程，此方程有3個不等的實根，方程轉(zhuǎn)化為，是三次方程，它有3個解，則其極大值與極小值異號，由此可得的范圍．【詳解】設(shè)切點坐標曲線在處的切線斜率為，又切線過點切線斜率為，，即，∵過點可作曲線的三條切線，方程有3個解．令，則圖象與軸有3個交點，的極大值與極小值異號，，令，得或2，或時，，時，，即在及上遞增，在上遞減，是極大值，是極小值，,即，解得，故選：D. 二、多選題9．已知函數(shù)，則下列命題正確的有（    ）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點中心對稱C．的表達式可改寫為D．若，則【答案】BD【分析】AB選項，代入檢驗即可，C選項，可利用誘導(dǎo)公式推導(dǎo)；D選項，求出函數(shù)的零點，從而求出兩零點的差值.【詳解】當時，，，所以直線不是函數(shù)的對稱軸，A錯誤；當時，，所以，所以是函數(shù)的對稱中心，B正確；，C錯誤；令，解得：，，即，，所以兩個零點的距離：，D正確.故選：BD.10．設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，下列命題正確的有（    ）A．是周期為10的周期函數(shù)B．是的一條對稱軸C．方程在區(qū)間上至少有4個解D．方程在區(qū)間上至少有405個解【答案】ABD【分析】先分析函數(shù) 周期性，根據(jù)條件，判斷出在一個周期內(nèi)零點的最小數(shù)量，再逐項分析可以求解.【詳解】對于 ，有： ， ，即 ， 是兩條對稱軸， ，所以周期為 ， ，根據(jù)對稱性，有 ，在一個周期內(nèi)，至少有3個零點；選項A： 周期為10，正確；選項B：是的對稱軸，正確；選項C：至少有3個解，錯誤；選項D：周期為10，[2，2022]有202個周期，，至少有個解，正確；故選：ABD.11．已知是的兩個內(nèi)角，滿足，下列四個不等式中正確的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，確定角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)、三角變換逐項分析、計算判斷作答.【詳解】因的內(nèi)角滿足，則角C是鈍角，且，，函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，取，則，，D錯誤.故選：ABC12．已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，下列命題正確的有（    ）A．成立B．成立C．在上有兩個零點D．“”是“成立”的充要條件【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性判斷B；分析函數(shù)在上的單調(diào)性判斷C；利用充要條件的定義判斷D作答.【詳解】依題意，，對于A，，令，則，令，當時，，即在上遞增，當時，，因此在上遞減，，即恒成立，A正確；對于B，令，當時，，即函數(shù)在上遞增，當時，，函數(shù)在上遞增，，B正確；對于C，由選項知，函數(shù)在上遞增，當時，，無零點，當時，，即函數(shù)在上遞減，而，即函數(shù)在上有唯一零點，因此函數(shù)在有1個零點，錯誤；對于D，當時，，由選項知，不等式成立，反之，若，，令，，，由選項B知，在上單調(diào)遞增，當時，，則在上單調(diào)遞增，，當時，，則存在，使得，因此當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，不符合題意，綜上得，所以“”是“成立”的充要條件，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵. 三、填空題13．函數(shù)的最小正周期是___________.【答案】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用正切型函數(shù)的周期公式計算作答.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故答案為：14．某個班級周一上午準備安排語文?數(shù)學(xué)?英語?物理?生物等5節(jié)課，則數(shù)學(xué)和物理排課不相鄰的概率為___________.【答案】0.6【分析】根據(jù)古典概型，運用插空法，先安排好語文，英語，生物，再插入數(shù)學(xué)和物理，即可求解.【詳解】古典概型，樣本空間樣本點總數(shù)為，先安排好語文，英語，生物，有 種排法，再插入數(shù)學(xué)和物理，有 種排法，事件所占樣本個數(shù)為， ；故答案為： .15．函數(shù)的值域為___________.【答案】【分析】由正弦的二倍角公式、兩角和的正弦公式變形后，令換元，化為的二次函數(shù)，求得的范圍后，由二次函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】；令，則故答案為：．16．已知，則的最大值為___________.【答案】【分析】借助同角三角函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化原式可得，借助均值不等式，即得解【詳解】，又故即當且僅當，即時，有最大值.故答案為： 四、解答題17．已知在銳角中，.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）化簡題干條件得到，從而根據(jù)是銳角三角形，得到，得到；（2）先根據(jù)銳角三角形得到，再逆用正切的差角公式，結(jié)合第一問的結(jié)論得到.【詳解】(1)證明：由知：，即，所以，因為是銳角三角形，所以，在上單調(diào)遞增，所以，即.(2)由銳角知：，，，解得：，故.18．已知函數(shù)的最大值為.(1)求A的值；(2)當時，求的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由兩角和與差的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式變形化函數(shù)式為一個角的一個三角函數(shù)形式，由最大值求得；（2）由（1）化簡函數(shù)式，求出的范圍，再由正弦函數(shù)性質(zhì)得值域．【詳解】(1).，其中，，故，解得.(2)由（1）知，故，故，故的值域為.19．如圖所示，在四棱錐中，為的中點，平面平面.(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，證得，再利用面面垂直的性質(zhì)推理作答.（2）連OC，以點O為原點，建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【詳解】(1)在四棱錐中，，則，中，由余弦定理得：，有，則，因平面平面，平面平面，平面，所以平面.(2)因點O為的中點，，則，而平面平面，平面平面， 平面，因此平面，連OC，由知，，則兩兩垂直，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）知，，設(shè)，，因，則，而，解得，即，設(shè)平面的法向量為，而，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，而， 則，令，得，記平面與平面的夾角為，則所以平面與平面所成夾角的余弦值為.20．為了讓羽毛球運動在世界范圍內(nèi)更好的發(fā)展，世界羽聯(lián)將每年的7月5日定為“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主辦方打算一辦有關(guān)羽毛球的知識競答比賽.比賽規(guī)則如下；比賽一共進行4輪，每輪回答1道題.第1輪獎金為100元，第2輪獎金為200元，第3輪獎金為300元，第4輪獎金為400元.每一輪答對則可以拿走該輪獎金，答錯則失去該輪獎金，獎金采用累計制，即參賽者最高可以拿到1000元獎金.若累計答錯2題，則比賽結(jié)束且參賽者獎金清零.此外，參賽者在每一輪結(jié)束后都可主動選擇停止作答?結(jié)束比賽并拿走已累計獲得的所有獎金，小陳同學(xué)去參加比賽，每一輪答對題目的概率都是，并且小陳同學(xué)在沒有損失獎金風(fēng)險時會一直選擇繼續(xù)作答，在有損失獎金風(fēng)險時選擇繼續(xù)作答的可能性為.(1)求小陳同學(xué)前3輪比賽答對至少2題的概率；(2)求小陳同學(xué)用參加比賽獲得的獎金能夠購買一只價值499元的羽毛球拍的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）前3輪比賽答對至少2題包含三題都答對，或三題中只答對兩題，然后由互斥事件和獨立事件的概率公式計算；（2）記小陳同學(xué)參加比賽獲得的獎金為（單位：元），由題意需要分別計算的概率，各個概率可獨立事件的概率公式計算，然后相加后可得結(jié)論．【詳解】(1)記“小陳同學(xué)前3輪比賽答對至少2題”為事件，第1輪答錯時沒有損失獎金風(fēng)險，故前2輪必答；前3輪比賽答對至少2題包含兩種情況：前2輪全對或前2輪1對1錯且小陳同學(xué)選擇參加第三輪作答且答對，故.(2)記小陳同學(xué)參加比賽獲得的獎金為（單位：元），在有損失獎金風(fēng)險時：小陳同學(xué)選擇繼續(xù)作答且答對的可能性為，選擇繼續(xù)作答且答錯的可能性為，選擇停止作答的可能性為，，，，，故.21．已知橢圓的離心率；上頂點為A，右頂點為，直線與圓相切.(1)求橢圓的標準方程；(2)設(shè)與圓相切的直線與橢圓相交于兩點，為弦的中點，為坐標原點.求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由離心率得出關(guān)系，再由原點到直線的距離等圓半徑求得得橢圓方程；（2）先確定直線斜率為0或斜率不存在時的結(jié)論，然后在斜率存在且不為0時，設(shè)方程為（），代入橢圓方程應(yīng)用韋達定理，，求得中點坐標，再由橢圓中弦長公式得弦長，計算，變形后求得其范圍，綜合后可得結(jié)論．【詳解】(1)由知，原點到直線的距離為，故，故橢圓的標準方程為.(2)時：，或，故；直線斜率不存在時，，或．故；直線斜率存在且不為0時：設(shè)直線的方程為（），由直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立得，設(shè)，由韋達定理：，，，所以中點的坐標為，故，故，，當且僅當，時等號成立，綜上：的取值范圍是.【點睛】方法點睛：直線與橢圓相交問題中范圍問題或最值問題的處理方法，設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得（或，），然后由弦長公式求弦長，由斜率公式求斜率，或者求面積，向量的數(shù)量積等等，代入韋達定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式，化簡后求最值、范圍，或得定值等等．22．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2) 【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）求導(dǎo)后注意到，，從而分，，與四種情況討論得到的零點情況，從而求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)定義域為R，，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)，又恒成立，，當時：，故時，時，，只有一個零點，不符合題意；當時：在時單調(diào)遞增，且，由知必存在使得，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增；結(jié)合知：在和上各存在一個零點，共有兩個零點；當時：在時單調(diào)遞增，且，故，只有一個零點，不符合題意；當時：在時單調(diào)遞增，且，由知必存在使得，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，結(jié)合知：在和上各存在一個零點，共有兩個零點，綜上所述：.【點睛】導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點問題，通過導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，注意到函數(shù)的特殊點，進行必要性探究，再進行充分性證明即可，本題中注意到，，從而分，，與四種情況進行討論，求出答案. 

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