2022-2023學年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學八年級（上）期中數(shù)學試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）下列根式不能與合并的是(    )A.  B.  C.  D. 下列各式中，是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 下列說法正確的是(    )A. 的根為 B. 是的根
C. 方程的根為 D. 沒有實數(shù)根在命題：“三角形的一個外角大于三角形的每一個內(nèi)角”、“底邊及一個內(nèi)角相等的兩個等腰三角形全等”、“兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直中，真命題的個數(shù)有(    )A.  B.  C.  D. 在中，，，是邊上的中線，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共12小題，共24.0分）當______時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．化簡：______．的倒數(shù)是______．化簡：______．方程的根是______．若一元二次方程的一個根為，則、、滿足______．滿足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點在______上．一個三角形的兩邊長分別為和，其第三邊是方程的根，則此三角形的周長為______．如圖，在和中，，點、、、在同一直線上，已知，且，，，，則的長度為______．
 如圖，已知，，，，，則______．
 如圖，中，，，的平分線與的垂直平分線交于點，將沿在上，在上折疊，點與點恰好重合，則為______度．
 在中，，邊的垂直平分線交邊于點，邊的垂直平分線交邊于點，連結(jié)，，則的度數(shù)為______用含的代數(shù)式表示 三、解答題（本大題共9小題，共58.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
計算：．本小題分
解不等式：．本小題分
解方程：．本小題分
用配方法解方程：．本小題分
已知，，求的值．本小題分
如圖，在中，
用直尺和圓規(guī)作的平分線，交邊于點不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點；
如果在的條件下點是的中點，求證：．
本小題分
已知：如圖，在中，，為的外角平分線，交的延長線于點，且求證：．
本小題分
如圖，在中，是的中點，，，于點，若，，求的長．
本小題分
如圖，已知：是等邊三角形，是的外角的平分線，點為射線上一點，且，與相交于點．
如圖，如果點在邊上，求證：；
如圖，如果點在邊的延長線上，那么的結(jié)論“”還能成立嗎？請說明理由．
如果的邊長為，且，請直接寫出線段的長度無需寫出解題過程

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，，
、、與是同類二次根式，能夠進行合并．
故選B．
先把各二次根式化為最簡二次根式得到，，，，，然后根據(jù)同類二次根式的定義進行判斷．
本題考查了同類二次根式：幾個二次根式化為最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式叫同類二次根式；同類二次根式可進行合并．
 2.【答案】 【解析】解：、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
D、不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)不含有能開得盡方的因數(shù)或因式，像這樣的二次根式叫最簡二次根式．
 3.【答案】 【解析】解：當時，方程不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B.，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
C.是一元二次方程，故本選項符合題意；
D.，化簡后不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
故選：．
利用一元二次方程的定義對每個選項進行逐一判斷即可得出結(jié)論．
本題主要考查了一元二次方程的定義，利用一元二次方程的定義對每個選項進行逐一判斷是解題的關鍵．
 4.【答案】 【解析】解：、的根為，故本選項錯誤；
B、時，，所以是的根，故本選項錯誤；
C、，方程沒有實數(shù)根，故本選項錯誤；
D、，當時，方程沒有實數(shù)根；當時，方程有實數(shù)根，故本選項錯誤；
故選B．
A、解方程即可判斷；根據(jù)一元二次方程的根的定義即可判斷；利用根的判別式即可判斷、．
本題考查了一元二次方程的根的根判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解法以及根的定義．
 5.【答案】 【解析】解：三角形的一個外角大于任何與之不相鄰的一個內(nèi)角，故原命題錯誤，為假命題；
底邊及一個底角相等的兩個等腰三角形全等，故原命題錯誤，為假命題；
兩條平行線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直，正確，為真命題，
故選：．
分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結(jié)論，從而得出答案．
本題考查了命題與定理的知識，能夠熟練掌握有關的命題及定理是解答本題的關鍵．
 6.【答案】 【解析】解：延長至點，使得，

在和中，
，
≌，
，
中，，
，
．
故選：．
延長至點，使得，可證≌，可得，，在中，根據(jù)三角形三邊關系即可求得的取值范圍，即可解題．
本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證≌是解題的關鍵．
 7.【答案】 【解析】解：當，即時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．
故答案是：．
二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
 8.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
依據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
本題主要考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．
 9.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)是：．
故答案為：．
先找到的倒數(shù)，然后將其分母有理化即可．
本題主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
原式．
故答案為：．
先判定出的取值范圍，然后依據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
本題主要考查的是二次根式化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．
 11.【答案】或 【解析】解：，
，
或，
解得：或，
故答案為：或．
因式分解法求解可得．
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．
 12.【答案】 【解析】解：把代入中，得．
故答案為．
將代入中，即可得出、、的關系．
本題考查的是一元二次方程解的定義：能使方程成立的未知數(shù)的值，就是方程的解，比較簡單．
 13.【答案】線段的垂直平分線 【解析】解：因為線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，
滿足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點在是線段的垂直平分線上．
根據(jù)等腰三角形的定義，知點到、的距離應相等，再結(jié)合線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，即可解答．
此題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線的性質(zhì)；理解是底邊是正確解答本題的關鍵．
 14.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查一元二次方程的解法及三角形三邊關系，求得方程的兩根是解題的關鍵，注意分類討論．
因式分解法解方程可求得三角形的第三邊，再根據(jù)三角形三邊關系進行取舍即可求得答案．
【解答】
解：解方程可得或，
當?shù)谌厼?/span>時，則三角形的三邊長為、、，滿足三角形三邊關系，其周長為；
當?shù)谌厼?/span>時，則三角形的三邊長為、、，不滿足三角形三邊關系，舍去．
則此三角形的周長為．
故答案為：．  15.【答案】 【解析】解：，，
，
，且，，
≌
，，
．
由“”可證≌，可得，，即可求的長．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明≌是本題的關鍵．
 16.【答案】 【解析】解：，
，
，
在和中，，
≌；
，
，
，
故答案為：
利用全等三角形的性質(zhì)得出，再利用三角形的外角得出得出即可．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，求出是證明三角形全等的關鍵．
 17.【答案】 【解析】解：如圖，連接，，

，，
，
平分，
，
是的垂直平分線，
，
，
，，
≌，
，
，
由折疊得：，
，
，
．
故答案為：．
如圖，連接，，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得，由角平分線和線段垂直平分線的性質(zhì)可得，證明≌，可得答案．
此題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的定義，三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，證明是解本題的關鍵．
 18.【答案】或 【解析】解：分兩種情況：
如圖所示，當時，

垂直平分，
，
，
同理可得，，
，
；
如圖所示，當時，

垂直平分，
，
，
同理可得，，
，
．
故答案為：或．
分兩種情況進行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到，，進而得到，再根據(jù)角的和差關系進行計算即可．
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】直接化簡二次根式，進而合并得出答案．
此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．
 20.【答案】解：．
，
，
． 【解析】根據(jù)解不等式的方法和步驟解不等式即可．
此題考查了二次根式的應用整式的混合運算，解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
 21.【答案】解：原方程可變?yōu)椋?/span>．
即，
解得：或． 【解析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，本題先把一元二次方程的右邊變形為，再移項使方程的右邊變形為，左邊可以提取公因式即可分解因式，利用因式分解法解方程．注意：本題因式分解法解一元二次方程時先把方程右邊分解因式，注意到兩邊有公因式是解題關鍵．
 22.【答案】解：，
，
，
，
，
，
． 【解析】將二次項系數(shù)化為，再將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
 23.【答案】解：，，
，，，
． 【解析】根據(jù)，的值先求出，和的值，再對要求的式子進行化簡，然后代值計算即可．
此題考查了二次根式的化簡求值，用到的知識點是通分和配方法的應用，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
 24.【答案】解：如圖，射線即為所求作．

如圖，過點作于，于．

平分，，，
，
是的中點，
，
在和中，
≌，
． 【解析】利用尺規(guī)作出的角平分線即可．
如圖，過點作于，于證明≌，可得．
本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
 25.【答案】證明：過點作，垂足為點，
又已知，
在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．
在和中

≌．
，．
已知，
．
．
又，
．
 【解析】過點作，垂足為點，由“在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”可知，再證明≌，由此可得，在證明即可．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵是作輔助線使得與在同一條直線上才好證．
 26.【答案】解：連接，，過作于，
是的中點，，
垂直平分，
，
，，
，
又，，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
設，則，，
，
解得，
． 【解析】先連接，，過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及中垂線的性質(zhì)，得出，，進而判定≌，即可得到，據(jù)此列出方程，求得的值，即可得到長．
本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，依據(jù)全等三角形對應邊相等進行求解．解題時注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．
 27.【答案】證明：在上截取，

是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在的延長線上截取，

是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
當點在線段上時，
是等邊三角形，，
，
當點在射線上時，
，，
，
，
，
綜上所述：的值或． 【解析】首先在上截取，由為等邊三角形，易得是等邊三角形，繼而可證得≌，即可得；
首先在延長線上截取，由為等邊三角形，易得是等邊三角形，繼而可證得≌，即可得；
分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關鍵．
 
 

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