1．（3分）在一次數(shù)學活動課上，老師將1～10共十個整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個數(shù)字，每一個數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）．他先打亂這些卡片的順序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同學叫到講臺上，隨機地發(fā)給每位同學兩張卡片，并要求他們把自己的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，結(jié)果分別是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊18．根據(jù)以上信息，判斷錯誤的是（ ）
A．丙同學的兩張卡片上的數(shù)字是7和8
B．戊同學的兩張卡片上的數(shù)字是8和10
C．丁同學的兩張卡片上的數(shù)字是2和4
D．甲同學的兩張卡片上的數(shù)字是5和7
2．（3分）2021年11月8日至11日，黨的十九屆六中全會在北京召開．全會審議通過的《中共中央關于黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗的決議》，聚焦總結(jié)黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗，突出中國特色社會主義新時代這個重點．體現(xiàn)了黨中央對黨的百年奮斗的新認識，是一篇光輝的馬克思主義綱領性文獻，是新時代中國共產(chǎn)黨人牢記初心使命、堅持和發(fā)展中國特色社會主義的政治宣言，是以史為鑒、開創(chuàng)未來、實現(xiàn)中華民族偉大復興的行動指南．如圖為“百年奮斗成就”展示在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是（ ）
A．百B．斗C．成D．就
3．（3分）要使式子有意義，則q的取值范圍是（ ）
A．q＝7B．q≥7C．q≤7D．q≠7
4．（3分）我們定義：如圖，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）并縮短一半得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β并縮短一半得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋半中線”，點A叫做“旋半中心”．在平面直角坐標系中，△ABC的坐標分別是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中線”，連接OD，求OD的最大值，并且寫出當OD最大時點D的坐標（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）對于平面直角坐標系xOy中第一象限內(nèi)的點P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個覆蓋，點P為這個覆蓋的一個特征點．例：若M（1，3），N（4，3），則點P（5，4）為線段MN的一個覆蓋的特征點．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4）．若在一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點，得出m的取值范圍是（ ）
A．m≥﹣0.5且m≠0B．m≤﹣0.5且m≠0
C．m≥﹣0.5D．m≠﹣0.5且x＜﹣5
6．（3分）某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每降價1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，求最大銷售額是（ ）
A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元
7．（3分）一個點到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，動點E從A開始，以每秒2個單位的速度沿路徑A—B—C—D移動，動點F從點A開始，以每秒2個單位的速度沿路徑A—D移動，F(xiàn)點到達終點D點后停下來不動，另一個動點繼續(xù)向終點D點移動，直至終點D才停下來，設點E移動的時間為x（單位：s），△AEF的面積記為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）過點A用尺規(guī)作出直線MN的垂線AD，如圖所示的作法中正確的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
10．（3分）已知a，b，c為正數(shù)，判斷與的關系是（ ）（提示：數(shù)形結(jié)合）
A．≤B．≥C．＝D．＜
二、填空題（每小題3分，共5小題，總共15分）
11．（3分）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b的值為 ．
12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以邊AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，則正方形BDEC的面積是 ．
13．（3分）設7﹣的整數(shù)部分為h，小數(shù)部分為j，求得（2h+）j的值為 ．
14．（3分）如圖，點P為矩形ABCD外部一點，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，則AC的取值范圍為 ．
15．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是 ．
三、解答題（本題總分55分，其中16題6分，17題6分，18題7分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）
16．（6分）化簡求值：，其中，n＝5m．
17．（6分）數(shù)學課上，同學們對王老師黑板上的題很感興趣，他們答案都不同，且眾說紛紜．題目如下：
化簡：
①小浩說：當a，b，c皆為正數(shù)時，化簡結(jié)果為；
②小特說：當a，b，c皆為負數(shù)時，化簡結(jié)果為；
③小凌說：當a＜0，b＞0，c＜0時，化簡結(jié)果為；
④小斯說：當a＞0，b＜0，c＜0時，化簡結(jié)果為；
（1）以上同學的說法正確的是 （雙選）；
（2）請在這四個中任選兩個判斷其正確性．
18．（7分）某校學生會為了解該校2860名學生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調(diào)查的辦法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調(diào)查了若干名學生的興趣愛好，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖（1），圖（2），要求每位同學只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學生人數(shù)），請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）在這次研究中，一共調(diào)查了 名學生．
（2）喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是 度．
（3）補全頻數(shù)分布折線統(tǒng)計圖．
（4）估計該校喜歡排球的學生有多少人？
19．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在BC上，連接AD交BE于點H，且∠DAB＝∠C，BH＝BD，過點H作HF∥BC交AC于點F，BG⊥AD交AC于點G．
（1）求證：△ABD∽△CBA．
（2）若AE＝6，EF＝2，求GF的長度．
20．（9分）某商店銷售一款口罩，每袋的進價為12元，計劃售價大于12元但不超過20元，且售價為整數(shù)元．
（1）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每袋18元時，日均銷售量為50袋，每袋售價每增加1元，日均銷售量減少5袋．售價定為每袋多少元時，所得日均毛利潤最大？最大日均毛利潤為多少元？
（2）疫情期間，該商店分兩批共購進2萬袋同款口罩，進價不變．該商店將購進的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“買一送一”的促銷活動，第二批口罩沒有做促銷活動，且這兩批的售價相同．若這2萬袋口罩全部售出后的總利潤率為20%，則每袋口罩的售價可能是多少元？（毛利潤＝售價﹣進價，利潤率＝毛利潤÷進價）
21．（9分）我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果＝，那么稱點B為線段AC的黃金分割點．它們的比值為．
（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為 cm；
（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應點H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點；
（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P．他發(fā)現(xiàn)當PB與BC滿足某種關系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．
22．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a﹣1不為整數(shù)）的頂點D（，），AB⊥BC．
（1）直接得出拋物線解析式．
（2）如圖1所示，點P為拋物線一動點，∠PBC＝3∠ABO，求xP；
（3）如圖2，延長DB交x軸于點E，EF平分∠BEO，交線段AB于點F．x軸正半軸有一點S，且AS＝12EF．過點F作FG∥x軸，交拋物線的對稱軸于點G．該對稱軸交x軸于點H．過點G作線段IM、NQ，且NH＝MH＝IH＝QH．線段IQ交直線FG于點R，若線段MN恰好交FG于點F．那么請求出R點坐標．并試問∠EFA與∠RSE是否存在倍數(shù)關系？若存在，請分別求出它們的角度大小并寫出存在的倍數(shù)關系；若不存在，請說明理由．
2022年廣東省深圳市南山區(qū)某校中考數(shù)學模擬試卷（4月份）
參考答案與試題解析
一、單項選擇題（每小題3分，共10小題，總共30分）
1．（3分）在一次數(shù)學活動課上，老師將1～10共十個整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上（每張卡片上只寫一個數(shù)字，每一個數(shù)字只寫在一張卡片上，而且把寫有數(shù)字的那一面朝下）．他先打亂這些卡片的順序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同學叫到講臺上，隨機地發(fā)給每位同學兩張卡片，并要求他們把自己的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上，結(jié)果分別是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊18．根據(jù)以上信息，判斷錯誤的是（ ）
A．丙同學的兩張卡片上的數(shù)字是7和8
B．戊同學的兩張卡片上的數(shù)字是8和10
C．丁同學的兩張卡片上的數(shù)字是2和4
D．甲同學的兩張卡片上的數(shù)字是5和7
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法先確定出乙同學的數(shù)字，然后依次確定丁，甲，丙，戊同學的數(shù)字即可．
【解答】解：乙同學是1，3；
丁同學是2，4；
甲同學是5，7；
丙同學是6，9；
戊同學是8，10；
故選：A．
【點評】本題考查了有理數(shù)的加法，解題關鍵是熟練掌握有理數(shù)加法法則，注意數(shù)字不重復．
2．（3分）2021年11月8日至11日，黨的十九屆六中全會在北京召開．全會審議通過的《中共中央關于黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗的決議》，聚焦總結(jié)黨的百年奮斗重大成就和歷史經(jīng)驗，突出中國特色社會主義新時代這個重點．體現(xiàn)了黨中央對黨的百年奮斗的新認識，是一篇光輝的馬克思主義綱領性文獻，是新時代中國共產(chǎn)黨人牢記初心使命、堅持和發(fā)展中國特色社會主義的政治宣言，是以史為鑒、開創(chuàng)未來、實現(xiàn)中華民族偉大復興的行動指南．如圖為“百年奮斗成就”展示在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是（ ）
A．百B．斗C．成D．就
【分析】根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法，“Z”字兩端是對面，判斷即可．
【解答】解：在正方體的展開圖上，則“奮”的相對面是就，
故選：D．
【點評】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據(jù)正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關鍵．
3．（3分）要使式子有意義，則q的取值范圍是（ ）
A．q＝7B．q≥7C．q≤7D．q≠7
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列不等式求解．
【解答】解：由題意可得：2q﹣14≥0，
解得：q≥7，
故選：B．
【點評】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負數(shù)）是解題關鍵．
4．（3分）我們定義：如圖，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）并縮短一半得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β并縮短一半得到AC'，連接B'C'．當α+β＝180°時，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋半中線”，點A叫做“旋半中心”．在平面直角坐標系中，△ABC的坐標分別是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中線”，連接OD，求OD的最大值，并且寫出當OD最大時點D的坐標（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如圖4中，先確定OD最大值時，D的位置，D在以A為圓心，以1為半徑的圓上，則當D運動到直線OA與半圓相交時OD最大，求此時OD的長并確定其坐標．
【解答】解：首先證明結(jié)論AD＝BC．
理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD＝DM，連接B′M，C′M，
∵B′D＝DC′，AD＝DM，
∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，
∴AC′＝B′M＝2AC，
∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，
∴∠BAC＝∠MB′A，
∵AB＝2AB′，
∴△BAC∽△AB′M，
∴BC＝2AM，
∴AD＝BC．
如圖，∵A（4，3），B（1，0），C（5，0），
∴OA＝5，OB＝1，OC＝5
∵AD＝BC，BC＝4，
∴AD＝1，
∴D在以A為圓心，以1為半徑的圓上，
∴當D運動到直線OA與半圓相交時OD最大，
∵A（4，3），
∴OA＝5，
∵AD＝1，
∴OD的最大值是6．
過A作AE⊥x軸于E，過D作DF⊥x軸于F，
∴AE∥DF，
∴△AOE∽△DOF，
∴＝＝＝，
∵OE＝4，AE＝3，
∴OF＝，DF＝，
∴D（，）．
故選：A．
【點評】主要考查了新定義“旋半三角形”和“旋半中線”、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
5．（3分）對于平面直角坐標系xOy中第一象限內(nèi)的點P（x，y）和圖形W，給出如下定義：過點P作x軸和y軸的垂線，垂足分別為M，N，若圖形W中的任意一點Q（a，b）滿足a≤x且b≤y，則稱四邊形PMON是圖形W的一個覆蓋，點P為這個覆蓋的一個特征點．例：若M（1，3），N（4，3），則點P（5，4）為線段MN的一個覆蓋的特征點．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4）．若在一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象上存在△ABC的覆蓋的特征點，得出m的取值范圍是（ ）
A．m≥﹣0.5且m≠0B．m≤﹣0.5且m≠0
C．m≥﹣0.5D．m≠﹣0.5且x＜﹣5
【分析】當m＞0時，符合題意；當m＜0時，當x≥4且y≥4時，P（x，y）為△ABC的覆蓋特征點，當直線y＝mx+6過點（4，4）時，求出m＝﹣是m的臨界值；則可求m的取值范圍為m≥﹣且m≠0．
【解答】解：①當m＞0時，符合題意；
②當m＜0時，當x≥4且y≥4時，P（x，y）為△ABC的覆蓋特征點，
∵點P在一次函數(shù)y＝mx+6上，
∴當直線y＝mx+6過點（4，4）時，
4＝4m+6，
∴m＝﹣，
∴﹣≤m＜0，
綜上所述：m≥﹣且m≠0．
故選：A．
【點評】本題考查新定義，理解題意，根據(jù)所給條件，確定是△ABC的覆蓋特征點的特征是解題的關鍵．
6．（3分）某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每降價1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，求最大銷售額是（ ）
A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元
【分析】設每件商品降價x元，每天的銷售額為y元，由題意可得到y(tǒng)和x的二次函數(shù)關系，利用配方法可求最值．
【解答】解：設每件商品降價x元，每天的銷售額為y元．
依題意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴當x＝5時，y最大，最大值為1800，
∴最大銷售額為1800元．
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，利用數(shù)學知識解決實際問題，解題的關鍵是建立函數(shù)模型，利用配方法求最值．
7．（3分）一個點到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（ ）
A．1.5cmB．1.5cm或4.5cm
C．4.5cmD．3cm或9cm
【分析】分類討論：分點在圓外或點在圓內(nèi)進行討論．
【解答】解：當點在圓外，則該圓的直徑＝6cm﹣3cm＝3cm；當點在圓內(nèi)，則該圓的直徑＝6cm+3cm＝9cm，
即該圓的直徑為3cm或9cm．
故選：D．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內(nèi)?d＜r．
8．（3分）如圖，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A＝60°，動點E從A開始，以每秒2個單位的速度沿路徑A—B—C—D移動，動點F從點A開始，以每秒2個單位的速度沿路徑A—D移動，F(xiàn)點到達終點D點后停下來不動，另一個動點繼續(xù)向終點D點移動，直至終點D才停下來，設點E移動的時間為x（單位：s），△AEF的面積記為y，則y關于x的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況：當點E在線段AB上時，當點E在線段BC上時，當點E在線段CD上時，分別求出對應的函數(shù)關系式，再判斷圖象即可．
【解答】解：當點E在線段AB上時，點F在AD上，此時0＜x＜2時，
此時y＝?（2x）2＝x2，由此可排除B，D；
當點E在線段BC上時，點F與點D重合，
此時y＝×4×＝4；
當點E在線段CD上時，點F與點D重合，
此時y＝×2×（12﹣x）＝﹣+12，此時函數(shù)圖象是一段一次函數(shù)圖象，由此可排除C，
故選：A．
【點評】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象問題，關鍵是根據(jù)點的運動求出對應函數(shù)解析式．
9．（3分）過點A用尺規(guī)作出直線MN的垂線AD，如圖所示的作法中正確的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【分析】①根據(jù)直徑所對的圓周角是直角判斷即可；
②③根據(jù)基本作圖判斷即可；
④根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：圖①中，由圓周角定理可知，∠ADN＝90°，符合題意．
圖②中，由作圖可知AD⊥MN，符合題意．
圖③中，由作圖可知MN垂直平分線段AD，符合題意．
圖④中，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD⊥MN，符合題意，
故選：D．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，垂線等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
10．（3分）已知a，b，c為正數(shù)，判斷與的關系是（ ）（提示：數(shù)形結(jié)合）
A．≤B．≥C．＝D．＜
【分析】利用數(shù)形結(jié)合法，畫出幾何圖形，利用勾股定理和余弦定理解答即可．
【解答】解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，連接AC，BD，AD，CD，如圖，
∵AB⊥BC，
∴AC＝＝．
∵BP平分∠MBN，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°．
由余弦定理得：
AD＝＝，
CD＝＝，
∵AD+CD≥AC，
∴≥．
故選：B．
【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，勾股定理，余弦定理，利用數(shù)形結(jié)合的思想，利用幾何圖形解答是解題的關鍵．
二、填空題（每小題3分，共5小題，總共15分）
11．（3分）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），其中a、b均為整數(shù)，則a+3b的值為 ﹣31 ．
【分析】直接提取公因式（3x﹣7），進而合并同類項得出即可．
【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式為（3x+a）（x+b），
∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
則a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）
＝﹣31．
故答案為：﹣31．
【點評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關鍵．
12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分別以邊AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，則正方形BDEC的面積是 74 ．
【分析】根據(jù)勾股定理得AB2+AC2＝BC2，將AB2＝25，AC2＝144代入即可求得正方形BDEC的面積．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，
∵正方形ABIH的面積為25，正方形ACFG的面積為49，
∴AB2＝25，AC2＝49，
∴BC2＝AB2+AC2＝25+49＝74，
∴正方形BDEC的面積為BC2＝74．
故答案為：74．
【點評】本題主要考查了勾股定理和正方形面積的表示，熟記勾股定理是解題的關鍵，屬于基礎題．
13．（3分）設7﹣的整數(shù)部分為h，小數(shù)部分為j，求得（2h+）j的值為 4﹣21 ．
【分析】先估算出的值，從而求出h，j的值，再把h，j的值代入式子中進行計算即可解答．
【解答】解：∵25＜33＜36，
∴5＜＜6，
∴﹣6＜﹣＜﹣5，
∴1＜7﹣＜2，
∴7﹣的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為7﹣﹣1，
∴h＝1，j＝6﹣，
∴（2h+）j
＝（2×1+）×（6﹣）
＝（2+）×（6﹣）
＝12﹣2+6﹣33
＝4﹣21，
故答案為：4﹣21．
【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
14．（3分）如圖，點P為矩形ABCD外部一點，已知PA＝PC＝3，若PD＝1，則AC的取值范圍為 ﹣1≤AC＜2 ．
【分析】連接BD交AC于O，連接PO，由矩形的性質(zhì)可得AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，由三角形中線與三角形三邊關系，可求PB的長，由三角形的三邊關系可求解．
【解答】解：如圖，連接BD交AC于O，連接PO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，
∵PO是△ACP的中線，也是△PBD的中線，
∴PA2+PC2＝2（AO2+PO2），PB2+PD2＝2（PO2+OD2），
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴9+9＝1+PB2，
∴PB＝，
在△PBD中，﹣1≤BD≤+1，
∴﹣1≤AC≤+1，
當點P在AD上時，CD＝＝＝2，
∴AC＝＝＝2，
故答案為：﹣1≤AC＜2．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的三邊關系及勾股定理，正確作出輔助線是解決本題的關鍵．
15．（3分）如圖，在△ABC紙板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一點，過點P沿直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是 6≤AP＜8 ．
【分析】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得到AP的長的取值范圍．
【解答】解：如圖所示，過P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，則△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此時0＜AP＜8；
如圖所示，過P作∠APF＝∠B交AB于F，則△APF∽△ABC，
此時0＜AP≤8；
如圖所示，過P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，則△CPG∽△CBA，
此時，△CPG∽△CBA，
當點G與點B重合時，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此時，6≤AP＜8；
綜上所述，要有4種不同的剪法，使得過點P沿直線剪下一個與△ABC相似，則AP長的取值范圍是6≤AP＜8．
故答案為：6≤AP＜8．
【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本題總分55分，其中16題6分，17題6分，18題7分，19題8分，20題9分，21題9分，22題10分）
16．（6分）化簡求值：，其中，n＝5m．
【分析】先化簡分式，再將m，n的值代入計算．
【解答】解：∵
＝﹣??
＝﹣，
∴當，n＝5m時，
原式＝﹣
＝﹣．
【點評】此題考查了分式化簡并求值的能力，關鍵是能進行準確的計算、化簡．
17．（6分）數(shù)學課上，同學們對王老師黑板上的題很感興趣，他們答案都不同，且眾說紛紜．題目如下：
化簡：
①小浩說：當a，b，c皆為正數(shù)時，化簡結(jié)果為；
②小特說：當a，b，c皆為負數(shù)時，化簡結(jié)果為；
③小凌說：當a＜0，b＞0，c＜0時，化簡結(jié)果為；
④小斯說：當a＞0，b＜0，c＜0時，化簡結(jié)果為；
（1）以上同學的說法正確的是 ①③④ （雙選）；
（2）請在這四個中任選兩個判斷其正確性．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡計算即可．
【解答】解：①當a，b，c皆為正數(shù)時，原式＝++
＝++
＝．
故①正確．
②當a，b，c皆為負數(shù)時，0，無意義，
∴②錯誤．
③當a＜0，b＞0，c＜0時，原式＝++
＝++
＝
＝．
∴③正確．
④當a＞0，b＜0，c＜0時，原式＝++
＝+
＝
＝．
∴①③④正確．
故答案為：①③④．
（2）選①②判斷如下：
①當a，b，c皆為正數(shù)時，原式＝++
＝++
＝．
故①正確．
②當a，b，c皆為負數(shù)時，0，無意義，
∴②錯誤．
【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)和計算，掌握相關法則是求解本題的關鍵．
18．（7分）某校學生會為了解該校2860名學生喜歡球類活動的情況，采取抽樣調(diào)查的辦法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調(diào)查了若干名學生的興趣愛好，并將調(diào)查的結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖（如圖（1），圖（2），要求每位同學只能選擇一種自己喜歡的球類；圖中用乒乓球、足球、排球、籃球代表喜歡這四種球類中的某一種球類的學生人數(shù)），請你根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
（1）在這次研究中，一共調(diào)查了 100 名學生．
（2）喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是 36 度．
（3）補全頻數(shù)分布折線統(tǒng)計圖．
（4）估計該校喜歡排球的學生有多少人？
【分析】（1）根據(jù)乒乓球的人數(shù)和所占的百分比，即可求出總?cè)藬?shù)；
（2）根據(jù)（1）求出的總?cè)藬?shù)和喜歡籃球的人數(shù)所占的百分比，求出喜歡籃球的人數(shù)，從而得出喜歡排球的人數(shù)，用喜歡排球的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以
360度，即可求出喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角；
（3）根據(jù)總?cè)藬?shù)求出各個喜歡球的人數(shù)所占的百分比，從而補全統(tǒng)計圖；
（4）根據(jù)喜歡排球所占的百分比，再乘以全校的總?cè)藬?shù)，即可求出答案．
【解答】解：（1）一共調(diào)查的總?cè)藬?shù)是：20÷20%＝100（名）；
故答案為：100．
（2）根據(jù)（1）得：喜歡籃球的人數(shù)是：100×40%＝40（名），
則喜歡排球的人數(shù)是：100﹣30﹣20﹣40＝10（名），
喜歡排球的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中所占的圓心角是×360°＝36°；
故答案為：36．
（3）足球的所占的百分比是：×100%＝30%，
排球所占的百分比是：×100%＝10%，
補圖如下：
（4）根據(jù)題意得：
2860×＝286（人），
答：全校學生中最喜歡排球的學生約有286人．
【點評】本題考查了折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．在扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應的扇形圓心角的度數(shù)與360°的比，折線統(tǒng)計圖表示的是事物的變化情況．
19．（8分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在BC上，連接AD交BE于點H，且∠DAB＝∠C，BH＝BD，過點H作HF∥BC交AC于點F，BG⊥AD交AC于點G．
（1）求證：△ABD∽△CBA．
（2）若AE＝6，EF＝2，求GF的長度．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定可得出結(jié)論；
（2）延長HF、BG交于點P，利用角平分線及相似三角形的判定與性質(zhì)可得∠ADB＝∠CAB，再三次運用相似三角形的判定與性質(zhì)可得BD＝BH＝9，設BP與DH交于點M，過點H作HQ∥PG交EF于Q，根據(jù)角平分線定義及相似三角形的性質(zhì)可得出比例線段，最后根據(jù)ASA得△PFG≌△HFQ，由全等三角形的性質(zhì)可得答案．
【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DAB＝∠C，∠DBA＝∠ABC，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：∵△ABD∽△CBA，
∴∠ADB＝∠CAB，
∵BD＝BH，
∴∠CAB＝∠ADB＝∠BHD＝∠EHA，
∴△EHA∽△EAB，
∴∠EAH＝∠EBA＝∠CBE，
∴△EAH～DBH，
∵HF∥BC，
∴∠EHF＝∠EBC＝∠EAH，
∴△FEH∽△FHA，
∴，，
∴FH＝＝4，
∴EH＝?HA＝×6＝3，
∵∠EBA＝∠EAH，
∴△EAH∽△EBA，
∴，
∴EB＝＝12，
∴BH＝EB﹣EH＝9，
∴BD＝BH＝9，
設BP與DH交于點M，
∵HP∥BD，
∴∠HPM＝∠DBM，∠PHM＝∠BDM，
∴△HPM∽△DBM，
∴，
∵BD＝BH，BM⊥DH，
∴BM平分HD，
∴＝1，HP＝BD＝9，
∴PF＝HP﹣HF＝4，
過點H作HQ∥PG交EF于Q，
∴∠QHF＝∠EPG＝∠PBD＝∠HBD＝∠EHF，
∴HQ是△EHF內(nèi)角∠EHF的角平分線，
∴存在，
∴FQ＝?EF＝，
在△PFG和△HFQ中，
，
∴△PFG≌△HFQ（ASA），
∴GF＝FQ＝．
【點評】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識，正確作輔助線構(gòu)造相似三角形是解決此題關鍵．
20．（9分）某商店銷售一款口罩，每袋的進價為12元，計劃售價大于12元但不超過20元，且售價為整數(shù)元．
（1）經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當售價為每袋18元時，日均銷售量為50袋，每袋售價每增加1元，日均銷售量減少5袋．售價定為每袋多少元時，所得日均毛利潤最大？最大日均毛利潤為多少元？
（2）疫情期間，該商店分兩批共購進2萬袋同款口罩，進價不變．該商店將購進的第一批口罩a袋（8000≤a≤11200）做“買一送一”的促銷活動，第二批口罩沒有做促銷活動，且這兩批的售價相同．若這2萬袋口罩全部售出后的總利潤率為20%，則每袋口罩的售價可能是多少元？（毛利潤＝售價﹣進價，利潤率＝毛利潤÷進價）
【分析】（1）根據(jù)題意列出函數(shù)解析式即可，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)商店獲得利潤以及售出的袋數(shù)求出每袋利潤，再根據(jù)a的取值范圍，求出定價．
【解答】解：（1）設每袋口罩的銷售價格為x元，所得日均毛利潤為y元，
由題意可得：
y＝（x﹣12）[50﹣5（x﹣18）]＝﹣5x2+200x﹣1680＝﹣5（x﹣20）2+320＝﹣5（x﹣20）2+320，
∵﹣5＜0，
∴當x＝20時，y有最大值320，
∴當銷售價格定為每袋20元時，所得日均毛利潤最大，最大日均毛利潤為320元；
（2）由題意知這批口罩的利潤為：20000×12×20%＝48000（元），
第一批口罩a袋，第二批口罩（20000﹣a）袋，
設每袋口罩的售價為m元，則am+（20000﹣a）m﹣12×20000＝48000，
∴m＝，
∵8000≤a≤11200，
∴18≤m≤20，
∵m為整數(shù)，
∴每袋口罩的價格可能為18元或19元或20元．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關系式并掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
21．（9分）我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果＝，那么稱點B為線段AC的黃金分割點．它們的比值為．
（1）在圖①中，若AC＝20cm，則AB的長為 （10） cm；
（2）如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點B對應點H，得折痕CG．試說明：G是AB的黃金分割點；
（3）如圖③，小明進一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點E（AE＞DE），連接BE，作CF⊥BE，交AB于點F，延長EF、CB交于點P．他發(fā)現(xiàn)當PB與BC滿足某種關系時，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點．請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由．
【分析】（1）由黃金分割點的概定義可得出答案；
（2）延長EA，CG交于點M，由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，則EM＝EC，根據(jù)勾股定理求出CE的長，由銳角三角函數(shù)的定義可出tan∠BCG＝，即，則可得出答案；
（3）證明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝AE，證明△AEF∽△BPF，得出，則可得出答案．
【解答】解：（1）∵點B為線段AC的黃金分割點，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案為：（10﹣10）．
（2）延長EA，CG交于點M，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝＝＝10，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝．
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黃金分割點；
（3）當BP＝BC時，滿足題意．
理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
當E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點時，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
【點評】本題是相似形綜合題，考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，黃金分割點的定義，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．
22．（10分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a﹣1不為整數(shù)）的頂點D（，），AB⊥BC．
（1）直接得出拋物線解析式．
（2）如圖1所示，點P為拋物線一動點，∠PBC＝3∠ABO，求xP；
（3）如圖2，延長DB交x軸于點E，EF平分∠BEO，交線段AB于點F．x軸正半軸有一點S，且AS＝12EF．過點F作FG∥x軸，交拋物線的對稱軸于點G．該對稱軸交x軸于點H．過點G作線段IM、NQ，且NH＝MH＝IH＝QH．線段IQ交直線FG于點R，若線段MN恰好交FG于點F．那么請求出R點坐標．并試問∠EFA與∠RSE是否存在倍數(shù)關系？若存在，請分別求出它們的角度大小并寫出存在的倍數(shù)關系；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)頂點寫出拋物線的頂點式，再根據(jù)AB⊥BC得出OB2＝OA?OC，再轉(zhuǎn)化為a和c的關系，解出a，b，c，最后得到拋物線解析式；
（2）由上一問將∠ABO轉(zhuǎn)化為∠BCO，從而得到點P的兩種可能：第一種，在x軸上構(gòu)造兩次等腰三角形從而得到∠3∠BCO，再延長 與拋物線的新交點即為P點；第二種，過點B作x軸平行線，構(gòu)造∠∠BCO，再在 上再構(gòu)造2∠BCO即可得到3∠BCO，此時的角的邊延長與拋物線的新交點即為P點；
先根據(jù)點D，點B得出直線DB，再得出點E坐標，再根據(jù)EF平分∠BEO得出F點坐標，EF的長以及EF與y軸坐標 （為了之后方便求∠EFA做準備），再用 AS＝12EF算出S點坐標；接著根據(jù)G點與H點的做法得出 FG以及G點坐標；根據(jù)NH＝MH＝IH＝QH得出點N，M，I，Q都在以H為圓心的圓上；延長FG后根據(jù)HGFG得出點G是弦的中點，于是本題即為著名的“蝴蝶定理”——點G也是FR的中點，得出R的坐標；最后根據(jù)之前的準備與各點的坐標算出∠RSE＝135°，∠EFA＝45°，∠RSE＝3∠EFA．
【解答】解：（1）如圖1，設點A（x1，0），C（x2，0）
由題意，a≠0，其中x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根
∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點為D（，），
可設拋物線的頂點式為y+a（x﹣）2+，即y+ax2﹣3ax+，
∴與拋物線的一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c對比，得，
當x＝0時，相應的拋物線的函數(shù)值為c，
點B坐標為（0，C），
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠OBA+∠OBC＝90°，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OAB＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠BOC，
∴△OAB∽△OBC，
∴∠ABO＝∠BCO，＝，
∴OA2＝OB?OC，
如圖1中，點A（x1，0）在y軸左側(cè)，點C（x2，0）在y軸右側(cè)，點B（0，c）在y軸正半軸，
∴OA＝﹣x1，OB＝OC＝，OC＝x2，其中c＞0，即＞0，
∴a＞﹣，
將以上數(shù)值代入到OB2＝OA?OC中，得c2＝﹣x1x2，
又x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，
∴x1x2＝，
∴c2＝﹣，
∴ac＝﹣1，
∴a?＝﹣1，
∴a＝﹣或﹣，
∵a﹣1不為整數(shù)，而（﹣）﹣1＝﹣2為整數(shù)，
∴a＝﹣舍去，
拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+；
（2）如圖1中，
∵在第（1）問中已證∠ABO＝∠BCO，
∴條件變?yōu)椤螾BC＝3∠BCO，
在第（1）問中已求出拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，
∴x1，x2是方程﹣x2+x+＝0的兩根，
∴x1＝﹣，x2＝，
∴A（﹣，0），B（0，），C（，0），
滿足∠PBC＝3∠BCO的拋物線上的動點P一共有兩種情形：
第一種，如下圖所示，連接BC，作線段BC的垂直平分線交x軸于B1點，連接BB1，再作線段BB1的垂直平分線交x軸于B2點，連接BB2，
∴BB1＝B1C，BB2＝B2B1，
∴∠BCB1＝∠B1BC，∠BB1B2＝∠B2BB1，
∵∠BB1B2＝∠BCB1+∠B1BC＝2∠BCB1，即∠BB1O＝2∠BCO，
∴∠B2B1C＝∠B2BB1+∠B1BC＝∠BB1B2+∠BCB1＝2∠BCB1+∠BCB1＝3∠BCB1，
又點B1，O都在x軸上，∠BCB1＝∠BCO，
∴∠B2BC＝3∠BCO，
∴點P只需為直BB2與拋物線的另一個交點即可，此時∠PBC＝∠B2BC＝3∠BCO，符合題目要求，如下圖所示；所以只需求出點B2的坐標，再得出直BB2的解析式，最后得出點P橫坐標
∵∠BOC＝∠BOB1＝∠BOB2＝90°，B（0，），C（），BB1＝B1C，
∴OB＝，OC＝，OB1＝OC﹣B1C＝﹣BB1，
在Rt△BOB1中，（BB1）2＝OB2+OB12＝（）2+（﹣BB1）2，
∴BB1＝，
∴B1C＝BB1＝，OB1＝﹣BB1＝，
∴OB2＝OB1﹣B2B1＝﹣BB2，
在Rt△BOB2中，B2B2＝OB2+B2O2＝（）2+（﹣B2B）2，
∴B2B＝，
∴B2B2＝BB2＝，OB2＝﹣BB2＝，
∴點B2的坐標為（，0），
設直線BB2的解析式為y＝kx+t1，
∴，解方程組得，
直線BB2的解析式為y＝﹣x+，
由，
解得x＝0或，
∴滿足條件的點P的橫坐標為．
第二種，如圖1，過點B作關于拋物線對稱軸對稱的點B3，點B3仍在拋物線上；再連接BB3，將線段BB3繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)到BB4，使得∠B4BB3＝2∠BCO；過點B4作B4B5⊥BB3于B5，
∵BB3∥x軸，且B3（3，），BB3＝3，
∴∠BCO＝∠B3BC，
∵∠B4BB3＝2∠BCO，
∴∠B4BC＝∠B4BB3+∠B3BC＝2∠BO+∠BCO＝3∠BCO，
又∵此時∠PBC＝∠B4BC，
∴∠PBC＝3∠BCO符合題意，
根據(jù)作法，BB4＝BB3＝3，且在第一種情形已知∠BB1O＝2∠BCO，OB＝，OB1＝，
∴∠B4BB3＝2∠BCO＝∠BB1O，
∴tan∠B4BB3＝tan∠BB1O＝＝＝，
在Rt△B4B5B中，＝tan∠B4BB3＝，
∴B4B5＝BB5，
在Rt△B4B5B中，BB42＝BB52+B4B52，
∴32＝BB52+（BB5）2
∴BB5＝，B4B5＝，
∴B4（，）
∴直線BB4的解析式為y＝x+，
由，
解得x＝或0，
∴滿足條件的點P的橫坐標為，
綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標為或．
（3）結(jié)論：∠RSE＝3∠EFA．
理由：∵點D（，），點B（0，），
∴直線BD的解析式為y＝x+，
∴點E（﹣，0），
∴OE＝，OB＝
根據(jù)勾股定理，BE＝＝，
如圖3，延長EF交y軸于點F1，過點F1作F1F2⊥BE于點F2，
∵EF平分∠BEO，
∴EF1平分∠BEO，且OF1＝F1F2（角平分線上的點到角的兩邊距離相等），
∵?BF1?OE＝?BE?F1F2，
即（OB﹣OF1）?OE＝BE?OF1，
∴（﹣OF1）×＝?OF1，
∴OF1＝，
∴F1（0，），
∴直線EF的解析式為y＝x+，
∵A（﹣，0），B（0，），
∴直線AB的解析式為y＝3x+，
由，解得，
∴F（﹣，），
∵E（﹣，0），
∴EF＝，
∵x軸正半軸有一點S，且AS＝12EF，
∴AS＝12×，
∴AS＝，
∵A（﹣，0），
∴S（3，0），
∵FG∥x軸，交拋物線于點G，對稱軸交X軸于點H，
∴HG⊥FG，G（，），
∵NH＝MH＝IH＝QH，
點I，Q，M，N在以H為圓心，以HI為半徑的圓上，
為方便，將圓中相關部分單獨提出，并將直線FG兩端延長至與⊙H相交，F(xiàn)側(cè)交點記為F′，R側(cè)交點記為R′，如圖2所示，
∴FN?FM＝FF′?FR′，IR?QR＝RR′?RF′，
過點R作MN的平行線交NQ于點K，交MI的延長線于點L，
∴∠M＝∠L，∠N＝∠GKR，
∵∠FGM＝∠LGR，∠NGF＝∠KGR，
∴△FGM∽△LGR，△NGF∽△KGR，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠L＝∠M＝∠Q，∠IRL＝∠QRK，
∴△ILR∽△KQR，
∴＝即LR?KR＝IR?QR，
∴＝，即＝，
∵F′G＝GR′，
∴＝，
∴＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴FG＝RG，
∴點G也是FR的中點，
∴R（，），
如圖3，過點F1作F1F3⊥AB于點F3，過點R作RR1⊥x軸于點R1．
∵R（，），S（3，0），F(xiàn)1（0，），
∴R1（，0），SR1＝﹣3＝，
∴RR1＝SR1，
∴△RR1S是等腰直角三角形，
∴∠RSR1＝45°，
∴∠RSE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EFA＝∠F1FF3，
∵F（﹣，），F(xiàn)1（0，），
∴FF1＝，
∵∠ABP＝∠F1BF3，∠AOB＝∠F1F3B＝90°，
∴△F1F3B∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴F1F3＝，
∴sin∠F1FF3＝＝，
∴∠F1FF3＝45°，
∴∠EFA＝45°，
∴∠RSE＝3∠EFA．
【點評】本題綜合考查一次函數(shù)、二次函數(shù)、相似三角形、等腰三角形、勾股定理、三角函數(shù)的概念、角平分線性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識點，尤其第（3）問考查了著名的平面幾何定理——“蝴蝶定理”，這拓寬了考生的知識面，提高了考生的解題能力；第（2）問考查中難題里的倍角問題，考生應掌握如何構(gòu)造等腰三角形來處理倍角問題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2022/8/19 0:34:44；用戶：初中數(shù)學；郵箱：sxljy01@xyh.cm；學號：24425668

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