2022-2023學(xué)年上海市嘉定區(qū)部分學(xué)校聯(lián)考九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷  一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）   如果，那么下列比例式正確的是(    )A.  B.  C.  D.    已知兩個(gè)相似三角形的相似比為：，那么它們的面積比為(    )A. ： B. ： C. ： D. ：   下列各組條件中，一定能推得與相似的是(    )A. 且 B. 且
C. 且 D. 且   如果點(diǎn)是的重心，是邊的中點(diǎn)，那么：的值為(    )A.  B.  C.  D.    已知、相交于點(diǎn)，下列條件中能判斷的是(    )A. ：： B. ：：
C. ：： D. ：：   如果點(diǎn)、分別在的邊上，，，，那么等于(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）   如果，那么 ______ ．   如果，，那么______．   長為、的線段的比例中項(xiàng)長是______．如果，那么用、表示為：______．在中，點(diǎn)、分別在線段、的延長線上，，，，，那么______．在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，那么______．在中，，，垂足，，的周長是，那么的周長是______．如果與相似，的三邊之比為：：，的最長邊是，那么的最短邊是______．如圖，已知為的角平分線，，如果，那么______．
 長度為的倍，且與是平行向量的向量是______．如果，，那么用表示______．如圖，在梯形中，，與相交于點(diǎn)，如果：：，那么：______．
   三、解答題（本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
已知：如圖，已知兩個(gè)不平行的向量、求作：寫出結(jié)論，不要求寫作法．
本小題分
已知線段，．
當(dāng)時(shí)，求的值；
當(dāng)時(shí)，求的值．本小題分
已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在、上，，點(diǎn)在邊上，且，與相交于點(diǎn)求證：．
本小題分
如圖，已知點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)、、，延長交于點(diǎn)，設(shè)，，分別用、表示向量、．
本小題分
已知點(diǎn)、、在一條直線上，，且，求的長．本小題分
已知：如圖，在?中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．
求證：；
如果，求證：．
本小題分
如圖，在中，，，點(diǎn)、分別在、上，，，、的延長線相交于點(diǎn)，連接．
求證：；
設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；
當(dāng)與相似時(shí)，求的面積．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，
，故不符合題意；
B、，
，故不符合題意；
C、，
，故符合題意；
D、，
，故不符合題意，
故選：．
從選項(xiàng)判斷，把每一個(gè)比例式化成等積式即可解答．
本題考查了比例的性質(zhì)，把比例式化成等積式是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：兩個(gè)相似三角形的相似比是：，
它們的面積為：．
故選：．
根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可直接得出結(jié)果．
此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方．
 3.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)A，，，
∽，
故選項(xiàng)A符合題意．
選項(xiàng)B，，不符合題意．
故選：．
利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法，屬于中考常考題型．
 4.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是的重心，是邊的中點(diǎn)，
那么：的值為：，
故選：．
根據(jù)重心的概念得出，即可得出答案．
此題主要考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的倍．
 5.【答案】 【解析】解：、與，與不是對(duì)應(yīng)線段，不能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、：：，能判定，故本選項(xiàng)符合題意；
C、與，與不是對(duì)應(yīng)線段，不能判定，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、：：不能判定，故本選項(xiàng)不符合題意．

故選：．
根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)圖形準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
，，
．
故選：．
由，可得∽，，可得，進(jìn)而可得．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及平面向量知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度適中．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡單，是基礎(chǔ)題．
先由已知條件可得，整理后再根據(jù)比例的性質(zhì)即可求得的值．
【解答】
解：，
，
整理，得，
．
故答案為：．  8.【答案】 【解析】解：，，
，，
．
故答案為：．
由，，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得的值．
此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例變形．
 9.【答案】 【解析】解：兩條線段的長為和，
則這兩條線段的比例中項(xiàng)，
負(fù)值舍去，
故答案為：．
根據(jù)比例中項(xiàng)的定義進(jìn)行計(jì)算．
此題考查了比例中項(xiàng)的定義．解題的關(guān)鍵是熟記比例中項(xiàng)的定義．
 10.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案為：．
利用一元一次方程的求解方法，求解此題即可求得答案．
此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握一元一次方程的求解方法是解此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，，，
，
，
．
故答案為：．
由，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得，又由，，，即可求得的值．
此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 12.【答案】 【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
．
故答案為：．
由，，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可證得∽，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得的值．
此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
∽，
：：：，
的周長是，
的周長是；
故答案為：．
根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證∽，再根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比求出的周長．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練應(yīng)用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形周長之比等于相似比是解題關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)的最短邊為，的三邊分別為，，，
與相似，
：：，
，
即的最短邊是．
故答案為．
設(shè)的最短邊為，由的三邊之比為：：，則可設(shè)的三邊分別為，，，由于與相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到：：，即可求出．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．
 15.【答案】 【解析】解：，
，
又，
，
又為的角平分線，，
，
，
，
故答案為：．
由可得，進(jìn)而結(jié)合題干中的條件得到，即可求解．
本題主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)問題，平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．
 16.【答案】或 【解析】解：長度為的倍，且與是平行向量的向量是或．
故答案為：或．
平行向量的方向有兩個(gè)：相同或相反．據(jù)此寫出答案．
本題主要考查了平面向量，注意要分類討論：平行向量的方向有相同方向和相反方向兩種情況．
 17.【答案】 【解析】解：，
，，
，
，
，
故答案為：．
利用加減消元的思想，消去即可解決問題．
本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
 18.【答案】： 【解析】解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，
：：，
，
，
，
∽，
，
即：：，
故答案為：：．
先由：：，求得，再由，證明∽，得，即：：，于是得到問題的答案．
此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)：：，求得，并且證明∽是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：向量與向量的方向相同，且向量的模是向量的模的向量與向量的方向相同，且其模的長度為的模的倍．
其圖示如下：

即為所求． 【解析】根據(jù)平面向量的方向和大小，先作出，然后根據(jù)三角形法則組圖即可．
本題考查了平面向量的知識(shí)，解答此題要熟悉三角形法則．
 20.【答案】解：由得：，
去括號(hào)得：，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，
．
由得：，
整理得：．
．
或．
或舍去．
． 【解析】由比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行變形，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)可得到；
由比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行變形從而得到，然后分解得．
本題主要考查的是比例的性質(zhì)、因式分解、將分解為是解題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：，
，，
，
，
，
，
∽，
，
． 【解析】由，得，，而，則，再證明，則，即可證明∽，得，變形為即可．
此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，找到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明∽是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：，，
，
，
，，
點(diǎn)是的重心，
，
，
． 【解析】利用三角形法則求出，再根據(jù)，可求得，，再由重心定理得，求得，再利用三角形法則求得．
本題考查了平面向量，三角形的重心，關(guān)鍵是掌握三角形的重心定理，三角形法則．
 23.【答案】解：分三種情況：
當(dāng)點(diǎn)在線段上，如圖：

，
點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，
；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，如圖：

設(shè)，則，
，
，
整理得：，
原方程沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，如圖：

設(shè)，則，
，
，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去，
的長為；
綜上所述，的長為或． 【解析】分三種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了黃金分割，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
．
由得，∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
． 【解析】由，得，再證明，則∽，得，由，，且，得，即可證明∽，得，整理得；
由∽，得，可證明，則，變形為，則，得，即可證明∽，得，所以．
此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確地找到相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明∽及∽是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：，，，，
，，，，
，，
，
，
∽，
；
由知，∽，
，
即，
；
，，
當(dāng)與相似時(shí)，，
，
又∽，
，
，
又，
，
即，
中，，
由∽，可得，
即，
，
，
的面積． 【解析】根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得∽，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)角相等；
根據(jù)∽，得出，即，可得關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得；
根據(jù)，，可得當(dāng)與相似時(shí)，，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得到，即，再根據(jù)勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)，即可得出的長，進(jìn)而得到的面積．
本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用以及三角形面積的計(jì)算，解題時(shí)注意：兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．解決第問的關(guān)鍵是依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出．
 

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