一輪分層練案(二)　常用邏輯用語 A級——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．命題p：存在常數(shù)列不是等比數(shù)列，則命題?p為(　　)A．任意常數(shù)列不是等比數(shù)列B．存在常數(shù)列是等比數(shù)列C．任意常數(shù)列都是等比數(shù)列D．不存在常數(shù)列是等比數(shù)列【答案】C　因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，命題p：存在常數(shù)列不是等比數(shù)列的否定命題?q：任意常數(shù)列都是等比數(shù)列．故選C.2．下列命題中的真命題是(　　)A．?x∈R，使得sin x＋cos x＝B．?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．?x∈(－∞，0)，2x<3xD．?x∈(0，π)，sin x>cos x【答案】B　∵sin x＋cos x＝sin ≤<，故A錯(cuò)誤；設(shè)f(x)＝ex－x－1，則f′(x)＝ex－1，∵當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f (0)＝0，∴?x∈(0，＋∞)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B正確；當(dāng)x<0時(shí)，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故C錯(cuò)誤；∵當(dāng)x∈時(shí)，sin x<cos x，故D錯(cuò)誤．故選B.3．除夕夜，萬家團(tuán)圓之時(shí)，中國人民解放軍陸、海、空三軍醫(yī)療隊(duì)馳援武漢．“在疫情面前，我們中國人民解放軍誓死不退！不獲勝利決不收兵！”這里“獲取勝利”是“收兵”的(　　)A．充分條件　　　　　　　 B．必要條件C．充要條件    D．既不充分也不必要條件【答案】B　由題意可得，“獲取勝利”是“收兵”的必要條件．故選B.4．關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四個(gè)命題：甲：x＝1是該方程的根；乙：x＝3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄枺?/span>如果只有一個(gè)假命題，則該命題是(　　)A．甲    B．乙C．丙    D．丁【答案】A　假設(shè)甲、乙都為真命題，則x1＋x2＝4這與命題丙、丁矛盾，不合題意，所以甲、乙必有一個(gè)為假命題．若甲真乙假，由丙知方程的另一根必為1，這將導(dǎo)致丁為假命題，此時(shí)不合題意；若甲假乙真，由丙可知另一根為－1，此時(shí)丁也為真，符合題意，故選A.5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(3，＋∞)    B．(－∞，3)C．(4，＋∞)    D．(－∞，4)【答案】A　若2x>a－x，即2x＋x>a.設(shè)f(x)＝2x＋x，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)．由題意知“2x＋x>a成立，即f(x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí)，f(x)>3，所以a>3.6．(多選)已知a，b，c是實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是(　　)A．“a2＞b2”是“a＞b”的充分條件B．“a2＞b2”是“a＞b”的必要條件C．“ac2＞bc2”是“a＞b”的充分條件D．“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要條件【答案】CD　對于A，當(dāng)a＝－5，b＝1時(shí)，滿足a2＞b2，但是a＜b，所以充分性不成立；對于B，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，滿足a＞b，但是a2＜b2，所以必要性不成立；對于C，由ac2＞bc2得c≠0，則有a＞b成立，即充分性成立，故正確；對于D，當(dāng)a＝－5，b＝1時(shí)，|a|＞|b|成立，但是a＜b，所以充分性不成立，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，滿足a＞b，但是|a|＜|b|，所以必要性也不成立，故“|a|＞|b|”是“a＞b”的既不充分也不必要條件．故選C、D.7．(多選)下列命題說法錯(cuò)誤的是(　　)A．?x∈R，ex≤0B．?x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要條件是＝－1D．若x，y∈R，且x＋y＞2，則x，y中至少有一個(gè)大于1【答案】ABC　根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得ex＞0，故A錯(cuò)誤；x＝2時(shí)，2x＝x2，故B錯(cuò)誤；當(dāng)a＝b＝0時(shí)，沒有意義，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>“x＋y＞2，則x，y中至少有一個(gè)大于1”的逆否命題為“x，y都小于等于1，則x＋y≤2”是真命題，所以原命題為真命題．故選A、B、C.8．(多選)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，若p：開關(guān)S閉合，q：燈泡L亮，則p是q的充要條件的電路圖是(　　)【答案】BD　由題知，電路圖A中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，而燈泡L亮開關(guān)S不一定閉合，故A中p是q的充分不必要條件；電路圖B中，開關(guān)S閉合，燈泡L亮，且燈泡L亮，則開關(guān)S一定閉合，故B中p是q的充要條件；電路圖C中，開關(guān)S閉合，燈泡L不一定亮，燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合，故C中p是q的必要不充分條件；電路圖D中，開關(guān)S閉合則燈泡L亮，燈泡L亮則一定有開關(guān)S閉合，故D中p是q的充要條件．故選B、D.9．若命題“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：命題“?x∈R，使得3x2＋2ax＋1<0”是假命題，即“?x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命題，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ .【答案】[－， ]10．已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：<的充要條件是xy>0.證明：法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.必要性：由<，得－<0，即<0.因?yàn)?/span>x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以<的充要條件是xy>0.法二：<?－<0?<0.由條件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.所以<?xy>0，即<的充要條件是xy>0.B級——綜合應(yīng)用11．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　)A．充分不必要條件    B．必要不充分條件C．充要條件    D．既不充分也不必要條件【答案】C　由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5等價(jià)于d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件．12．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則“＝”是“△ABC為等腰三角形”的(　　)A．充分不必要條件    B．必要不充分條件C．充要條件    D．既不充分也不必要條件【答案】A　充分性：∵＝，得＝，可得a2＋ac＝b2＋bc，則a2－b2＋ac－bc＝0，即(a－b)(a＋b＋c)＝0，∵a＋b＋c>0，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形，即充分性成立；必要性：若△ABC為等腰三角形，則a＝c或b＝c，那么等式＝不一定成立，即必要性不成立．綜上所述，“＝”是“△ABC為等腰三角形”的充分不必要條件．故選A.13．能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0，2]都成立，則f(x)在[0，2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________．解析：設(shè)f(x)＝sin x，則f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．由正弦函數(shù)圖象的對稱性知，當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，f(x)>f(0)＝sin 0＝0，故f(x)＝sin x滿足條件f(x)>f(0)對任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在[0，2]上不一直都是增函數(shù)．【答案】f(x)＝sin x(答案不唯一)14．已知函數(shù)f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2).(1)若?x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________；(2)若?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：(1)因?yàn)?/span>f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號成立．所以若?x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞).(2)因?yàn)楫?dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥3，g(x)≥a2，若?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，則a2≤3且a＞1，解得a∈(1， ].【答案】(1)[3，＋∞)　(2)(1， ]15．設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，求方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件．解：設(shè)α是兩方程的公共根，顯然α≠0，則α2＋2aα＋b2＝0，①α2＋2cα－b2＝0.②①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，∴α＝－(a＋c).代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2.以上求條件的過程事實(shí)上就是必要性的證明過程．再證明充分性：∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的解為x1＝－(a＋c)，x2＝c－a.同理方程x2＋2cx－b2＝0可化為x2＋2cx＋c2－a2＝0，它的解為x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根．綜上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是a2＝b2＋c2.C級——遷移創(chuàng)新16．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d，證明：(1)若ab>cd，則＋>＋；(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件．證明：(1)因?yàn)?/span>(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由a，b，c，d均為正數(shù)且a＋b＝c＋d，ab>cd，所以(＋)2>(＋)2，所以＋>＋.(2)必要性：若|a－b|<|c－d|，則(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因?yàn)?/span>a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得＋>＋.充分性：若＋>＋，則(＋)2>(＋)2，即a＋b＋2>c＋d＋2.因?yàn)?/span>a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.綜上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要條件． 

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