2022年秋季湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試高二數(shù)學(xué)試卷命題教師：孫勇波考試時(shí)間：2022年11月11日8:00—10:00 試卷滿分：150分第Ⅰ卷 選擇題（共40分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．若方程表示一條直線，則實(shí)數(shù)滿足（    ）A．   B．   C．   D．且2．已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（    ）A．1    B．2    C．3    D．43．設(shè)、、分別是的對邊長，則直線與的位置關(guān)系是（    ）A．平行    B．垂直    C．重合    D．相交4．已知向量是空間的一個(gè)基底，向量是空間的另一個(gè)基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（    ）A．  B．  C．  D．5．已知圓和兩點(diǎn)，，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值和最大值分別為（    ）A．4，7    B．4，6    C．5，7    D．5，66．在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為4，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為2和4，對應(yīng)的圓心角為90°，則圖中異面直線與所成角的余弦值為（    ）A．    B．    C．    D．7．已知圓，圓．若過點(diǎn)的直線與圓、都有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是（    ）A．   B．   C． D．8．空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）A．    B．    C．   D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（多選）若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值可能為（    ）A．    B．1    C．    D．310．已知圓與圓交于不同的兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．    B．C．       D．11．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（    ）A．   B．C．向量與的夾角是60°   D．與所成角的余弦值為12．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．的方程為B．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線C．在上存在使得D．在軸上存在異于，的兩個(gè)定點(diǎn)，，使得第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．試寫出一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：______，使之與點(diǎn)，三點(diǎn)共線．14．已知，則直線必過定點(diǎn)______．15．過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．16．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為______．四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．除17題為10分外，18~22題均為12分．）17．已知圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在軸上（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求所得弦長的值．18．已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，．（1）若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與共線，求實(shí)數(shù)的值．19．已知直線，直線過點(diǎn)，______．在①直線的斜率是直線的斜率的2倍，②直線不過原點(diǎn)且在軸上的截距等于在軸上的截距的2倍這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并解答下列問題．（1）求的方程；（2）若與在軸上的截距相等，求在軸上的截距．20．在如圖所示的五面體中，面是邊長為2的正方形，平面，，且，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值的絕對值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．21．如圖，在長方體中，，，．（1）求與面所成角的正弦值；（2）如在上，在上，當(dāng)，時(shí)，求的長度．22．已知圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，圓心在直線上．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓與軸相交于，兩點(diǎn)（在上方）．直線與圓交于，兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)．請問點(diǎn)是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由．2022年秋季湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體期中考試高二數(shù)學(xué)試卷參考答案一．單選題1．B【分析】若表示一條直線，則，不能同時(shí)為0，即．【詳解】當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或．要使方程表示一條直線，則，不能同時(shí)為0，所以，故選：B．2．D【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面結(jié)論：若，，，四點(diǎn)共面，則且，【詳解】若，，，四點(diǎn)共面，則，則．故選：D3．C【分析】利用正弦定理直接判斷可知．【詳解】由正弦定理可知，，所以直線與重合．故選：C．4．A【分析】根據(jù)空間向量的基本定理和坐標(biāo)表示即得結(jié)果．【詳解】設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，解得，故在基底下的坐標(biāo)為．故選：A5．B【分析】由，知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交．由兩圓的位置關(guān)系可以得到代數(shù)關(guān)系，從而求出的取值范圍，進(jìn)而找到的最小值．【詳解】如圖解：∵，∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，又點(diǎn)在圓上，故點(diǎn)是圓與圓的交點(diǎn)，因此可得兩圓的位置關(guān)系是相切或相交，即，解得：，∴的最小值為4，最大值為6．故選：B．6．A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值．【詳解】如圖設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，則，又異面直線所成角的范圍為故異面直線與所成角的余弦值為．故選：A7．D【分析】由題意可知，過點(diǎn)的直線與兩個(gè)圓分別相切時(shí)為臨界位置，即直線介于圖形中的兩直線之間，用點(diǎn)線距離公式列式求出相切時(shí)的值，即可求解【詳解】如圖，由題意可知，過點(diǎn)的直線與兩個(gè)圓分別相切時(shí)為臨界位置，即直線介于圖形中的兩直線之間，設(shè)直線的方程為，與相切時(shí)有，解得或，由圖知舍去，與相切時(shí)有，解得或，由圖知舍去，所以直線斜率的取值范圍是．故選：D8．C【分析】求出直線的方向向量，平面的法向量，再根據(jù)空間向量法求出線面角的正弦值，即可得解．【詳解】∵平面的方程為，∴平面的法向量可取平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，令，則，，所以，則直線與平面所成角的大小為，．故選：C．二．多選題9．BC【分析】解方程即得解．【詳解】解：由題意得，即．解得或．故選：BC．10．ABD【分析】求得相交弦所在直線方程，由此對選項(xiàng)逐一分析，結(jié)合圓的性質(zhì)確定正確選項(xiàng)．【詳解】圓的方程為，兩圓的方程相減，可得直線的方程為，即得，分別把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，，兩式相減可得，即，所以選項(xiàng)A、B均正確；由圓的性質(zhì)可得，線段與線段互相平分，所以，，所以選項(xiàng)C不正確，選項(xiàng)D正確．故選：ABD11．AB【分析】直接用空間向量的基本定理，向量的運(yùn)算對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷．【詳解】以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長為1，則而，所以A正確．，所以B正確．向量，顯然為等邊三角形，則，所以向量與的夾角是120°，向量與的夾角是120°，則C不正確．又，則，,，，所以D不正確．故選：AB12．ABD【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意可求出的方程可判斷A，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可判斷B，求出點(diǎn)的軌跡方程與的方程聯(lián)立可判斷C，設(shè)，的坐標(biāo)結(jié)合的方程可判斷D．【詳解】設(shè)點(diǎn)，則由可得，化簡可得，故A正確；當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，因?yàn)?/span>，，，所以，所以，射線是的平分線，故B正確；設(shè)存在，則，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>不滿足，所以不存在滿足條件，故C錯(cuò)誤；假設(shè)軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得，可設(shè)，，可得，由的軌跡方程為，可得，，解得，或，（舍去），即存在，，故D正確．故選：ABD．三．填空題13．（答案不唯一）【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量共線得到，求出，，寫出一個(gè)符合要求的即可．【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè)，則設(shè)，即故，，不妨令，則，故．故答案為：14．【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，又直線，所以直線必過；故答案為：15．【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)可作圓的兩條切線，所以點(diǎn)在圓外，∴∴故答案為：16．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答．【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，因點(diǎn)在線段上，則，，，向量在向量上投影長為，而，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為．故答案為：四．解答題17．（1）（2）【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長．（1）由題意可得，圓心為，半徑為2．則圓的方程為；（2）由（1）可知：圓半徑為，設(shè)圓心到的距離為，則，由垂徑定理得：．18．（1）或2（2）或1【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可；（2）求出向量與的坐標(biāo)，設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值．（1）解：由已知可得，，所以，，，由題意可知，即，解得或2．（2）解：，，由題意，設(shè)，所以，，解得或．因此，．19．（1）（2）6【分析】（1）選擇①：根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可；選擇②：設(shè)直線的截距式求解即可；（2）先求得直線在軸上的截距為，再代入求解可得直線方程，進(jìn)而求得在軸上的截距即可．（1）選擇①．由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€的斜率是直線的斜率的2倍，所以，所以直線的方程為，即．選擇②．由題意可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得．所以直線的方程為，即．（2）由（1）可知直線的方程為，令，可得，所以直線在軸上的截距為，所以直線在軸上的截距為．故直線過點(diǎn)，代入，得．所以直線的方程為．因此直線在軸上的截距為6．20．（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法證線面平行，（2）利用平面法向量的夾角求二面角，（3）利用空間向量即可求解點(diǎn)面距離．（1）因?yàn)?/span>平面，，平面，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)槠矫?/span>是邊長為2的正方形，，且，為的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以，因?yàn)槠矫?/span>的法向量可以為，所以，即，又平面，所以平面；（2）因?yàn)?/span>，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)?/span>平面，，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，因?yàn)?/span>，，，平面，所以平面，所以平面的法向量可以為，設(shè)二面角為，則，所以二面角的余弦值為；（3）由（2）知平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離；21．【詳解】在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，，，，，，，，，設(shè)面法向量，，，令，則，，∴，∴（2）設(shè)，，，，∴，∴，即，∴，，，∴，∴，∴22．（1）（2）是，【分析】（1）由已知設(shè)出圓心，再由圓心到，的距離都為半徑列出方程解出答案即可；（2）聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線和的方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出答案．（1）依題意可設(shè)圓心，則半徑，解，，故，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，由（1）可知，，，聯(lián)立方程組，消去并化簡得，容易判斷直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線與圓一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，，直線的方程為①，直線的方程為②，由①②可得：，由，化簡得，故點(diǎn)在定直線上．     

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