?§4.3　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
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考情考向分析
1.能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．
2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.
以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主，題目涉及三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性、最值、零點(diǎn)．考查三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，常與三角恒等變換結(jié)合，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用意識(shí)．題型既有選擇題和填空題，又有解答題，中檔難度.



1．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R
x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
遞增區(qū)間

[2kπ－π，2kπ]

遞減區(qū)間

[2kπ，2kπ＋π]
無
對(duì)稱中心
(kπ，0)


對(duì)稱軸方程
x＝kπ＋
x＝kπ
無

知識(shí)拓展
1．對(duì)稱與周期
(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是個(gè)周期．
(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則：
(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)．

題組一　思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函數(shù)．(　×　)
(2)由sin＝sin 知，是正弦函數(shù)y＝sin x(x∈R)的一個(gè)周期．(　×　)
(3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　×　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　×　)
(5)y＝sin|x|是偶函數(shù)．(　√　)
題組二　教材改編
2．[P35例2]函數(shù)f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案　π
3．[P46A組T2]y＝3sin在區(qū)間上的值域是________．
答案　
解析　當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域?yàn)?
4．[P45T3]y＝tan 2x的定義域是________．
答案　
解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定義域是.
題組三　易錯(cuò)自糾
5．下列函數(shù)中最小正周期為π且圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱的是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　B
解析　函數(shù)y＝2sin的周期T＝＝π，
又sin＝1，
∴函數(shù)y＝2sin的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱．
6．函數(shù)f(x)＝4sin的單調(diào)遞減區(qū)間是______________________．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝4sin＝－4sin.
所以要求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，
只需求y＝4sin的單調(diào)遞增區(qū)間．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小關(guān)系是________．
答案　sin 68°>cos 23°>cos 97°
解析　sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是減函數(shù)，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.

題型一　三角函數(shù)的定義域和值域
1．函數(shù)f(x)＝－2tan的定義域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由正切函數(shù)的定義域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故選D.
2．函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______．
答案　(k∈Z)
解析　方法一　要使函數(shù)有意義，必須使sin x－cos x≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的圖象，如圖所示．

在[0,2π]內(nèi)，滿足sin x＝cos x的x為，，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?
方法二　利用三角函數(shù)線，畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)．

所以定義域?yàn)?
3．已知函數(shù)f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案　
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵當(dāng)x＋∈時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋?br /> ∴由函數(shù)的圖象(圖略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.
4．(2018·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)函數(shù)y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域?yàn)開_________．
答案　
解析　設(shè)t＝sin x－cos x，則t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；
當(dāng)t＝－時(shí)，ymin＝－－.
∴函數(shù)的值域?yàn)?
思維升華 (1)三角函數(shù)定義域的求法
求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
(2)三角函數(shù)值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；
③通過換元，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域．


題型二　三角函數(shù)的單調(diào)性

命題點(diǎn)1　求三角函數(shù)的單調(diào)性
典例 (1)函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，
得－＜x＜＋(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為
(k∈Z)，故選B.
(2)(2017·哈爾濱、長(zhǎng)春、沈陽(yáng)、大連四市聯(lián)考)函數(shù)y＝sin x＋cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是____________．
答案　
解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)，
又x∈，∴單調(diào)遞增區(qū)間為.
命題點(diǎn)2　根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
典例 已知ω＞0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．
答案　
解析　由＜x＜π，ω＞0，得
＋＜ωx＋＜ωπ＋，
又y＝sin x的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函數(shù)f(x)＝cos在上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是____．
答案　
解析　函數(shù)y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，則k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思維升華 (1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要視“ωx＋φ”為一個(gè)整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(cuò)．
(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)．先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解．
跟蹤訓(xùn)練　(2017·濟(jì)南模擬)若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　由已知得＝，
∴T＝，∴ω＝＝.

題型三　三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性

命題點(diǎn)1　三角函數(shù)的周期性
典例 (1)在函數(shù)①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)為(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
答案　A
解析?、賧＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π；
②由圖象知y＝|cos x|的最小正周期為π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故選A.
(2)若函數(shù)f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1

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